Series de potencias: Concepto, convergencia y divergencia

Question 1

Señala la afirmación ERRÓNEA:

Accepted Answer

Si el radio de convergencia de una serie de potencias es finito, entonces la serie solo converge absolutamente en x = c.

Answer

Una serie de potencias es una serie de la forma ∑_{n=0}^∞ a_n(x-c)^n con a_n ≠ 0 para algún n.

Answer

El radio de convergencia de una serie de potencias es el valor de x para el que la serie es absolutamente convergente.

Answer

El intervalo de convergencia es el conjunto de valores de x para los que la serie converge absolutamente.

Question 2

¿Evalúa la serie de potencias ∑_{n=1}^∞ x^n/n en x = -1?

Accepted Answer

Diverge

Answer

Converge a -1

Answer

Converge a 1

Answer

No se puede determinar

Question 3

Encuentra la integral de la serie de potencias ∑_{n=0}^∞ x^(2n).

Accepted Answer

∑_{n=0}^∞ x^(2n+1)/(2n+1)

Answer

∑_{n=1}^∞ x^(2n)/(2n)

Answer

∑_{n=0}^∞ x^(2n+1)/(2n)

Answer

∑_{n=1}^∞ x^(2n)/(2n+1)

Question 4

¿Cuál de las siguientes definiciones describe mejor una serie de potencias?

Accepted Answer

Una serie de la forma ∑_{n=0}^{∞} a_n (x-c)^n, donde a_n son constantes y c es un número real

Answer

Una serie de la forma ∑_{n=1}^{∞} n^2

Answer

Una serie de la forma ∑_{n=1}^{∞} 1/n

Answer

Una serie de la forma ∑_{n=0}^{∞} (n+1)/(n+2)

Question 5

Obtenga el término general de la serie de potencias ∑_{n=0}^{∞} (x+1)^n

Accepted Answer

(x+1)^n

Answer

2^n(x+1)^n

Answer

n(x+1)^n

Answer

(x+2)^n

Question 6

¿Cuál de los siguientes criterios se utiliza para determinar la convergencia de una serie de potencias con término general a_n (x-c)^n?

Accepted Answer

Criterio de la razón: lim_{n→∞} |a_{n+1}/a_n| = L, donde L < 1 para convergencia, L > 1 para divergencia y L = 1 para la prueba de comparación

Answer

Criterio de comparación: Si ∑_{n=0}^{∞} |a_n| converge, entonces ∑_{n=0}^{∞} a_n (x-c)^n converge para todo x

Answer

Criterio de la integral: ∫f(x) dx = ∑_{n=0}^{∞} a_n (x-c)^{n+1}/(n+1)

Answer

Criterio de la derivada: f'(x) = ∑_{n=0}^{∞} na_n (x-c)^{n-1}

Question 7

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa la función f(x) = sen(x)?

Accepted Answer

∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!

Answer

∑_{n=1}^{∞} n^x

Answer

∑_{n=0}^{∞} x^n/n!

Answer

∑_{n=1}^{∞} 1/n^x

Question 8

¿Para qué valores de x la serie de potencias ∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^2n divergirá?

Accepted Answer

x≥1

Answer

x≤-1

Answer

-1<x<1

Answer

x=0

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las aplicaciones de las series de potencias es incorrecta?

Accepted Answer

Las series de potencias no se pueden utilizar para aproximar integrales

Answer

Las series de potencias se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Las series de potencias se pueden utilizar para obtener expansiones asintóticas

Answer

Las series de potencias se pueden utilizar para representar funciones en forma cerrada

Question 10

Halla el polinomio de Taylor de segundo orden para $f(x) = e^x$ en $x = 0$.

Accepted Answer

$1 + x + \frac{x^2}{2}$

Answer

$1 + x$

Answer

$1 + x^2 + \frac{x^3}{3}$

Answer

$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

Question 11

¿Cuál de las siguientes series de potencias es convergente para todo x?

Accepted Answer

∑(n=0)^∞ x^n

Answer

∑(n=0)^∞ (x-2)^n

Answer

∑(n=0)^∞ n*x^n

Answer

∑(n=0)^∞ 1/n^x

Question 12

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para encontrar el límite de una serie de potencias?

Accepted Answer

Límite del término general

Answer

Comparación con serie conocida

Answer

Derivación

Answer

Integración

Question 13

Determinar si la serie de potencias ∑_{n=1}^{∞} (n^2) / x^n converge uniformemente en el intervalo [1, ∞)

Accepted Answer

No converge uniformemente

Answer

Es absolutamente convergente

Answer

Converge uniformemente

Answer

Es semi-uniformemente convergente

Question 14

Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑_{n=0}^{∞} ((x - π)^n) / n!

Accepted Answer

[-π, π]

Answer

[1, ∞)

Answer

(-1, 1)

Answer

No converge

Question 15

Calcular el límite de la serie de potencias ∑_{n=0}^{∞} (x^n) / n cuando x tiende a 0

Accepted Answer

1

Answer

No existe

Answer

∞

Answer

0

Question 16

Determinar si la serie de potencias ∑_{n=0}^{∞} ((n + 1)x^n) / (2n + 1)! converge absolutamente para todo x real

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Answer

Depende de x

Answer

Solo converge para x > 0

Question 17

Encontrar la serie de potencias que representa la función f(x) = e^x

Accepted Answer

∑_{n=0}^{∞} (x^n) / n!

Answer

∑_{n=1}^{∞} (x^n) / n

Answer

∑_{n=0}^{∞} x^n

Answer

No se puede representar mediante una serie de potencias

Question 18

¿Cuál de las siguientes series de potencias converge absolutamente para todo valor de x?

Accepted Answer

∑(n=0 hasta ∞) (x^n) / (2^n)

Answer

∑(n=0 hasta ∞) (x^n) / n

Answer

∑(n=0 hasta ∞) (x^n) / (e^n)

Answer

∑(n=0 hasta ∞) (x^n) / (n^2)

Question 19

Determina el radio de convergencia de la serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (x-2)^n / (n+1).

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

∞

Answer

3

Question 20

Dada la serie de potencias ∑(n=1 hasta ∞) (n^2)x^n, ¿cuál es su intervalo de convergencia?

Accepted Answer

(-1, 1)

Answer

(0, 1)

Answer

(-∞, ∞)

Answer

[-1, 1]

Question 21

¿Cuál de los siguientes criterios se utiliza para determinar la convergencia de una serie de potencias centrada en 0?

Accepted Answer

Criterio de la razón

Answer

Criterio de Cauchy

Answer

Criterio de d'Alembert

Answer

Criterio de la integral

Question 22

La serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (x^n) / (n!) representa a la función:

Accepted Answer

Función exponencial

Answer

Función seno

Answer

Función coseno

Answer

Función logaritmo

Question 23

¿Cuál es la derivada de la serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (x^n) / (2^n)?

Accepted Answer

∑(n=1 hasta ∞) (n*x^(n-1)) / (2^n)

Answer

∑(n=0 hasta ∞) (x^(n+1)) / (2^(n+1))

Answer

∑(n=0 hasta ∞) (n*x^(n+1)) / (2^n)

Answer

∑(n=1 hasta ∞) (x^(n-1)) / (2^(n-1))

Question 24

¿Cuál de las siguientes series de potencias es divergente?

Accepted Answer

∑(n=1 hasta ∞) n^x

Answer

∑(n=1 hasta ∞) 1 / n^x

Answer

∑(n=1 hasta ∞) x^n / n

Answer

∑(n=1 hasta ∞) (x^n) / e^n

Question 25

Dada la serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (x-1)^n, ¿cuál es su suma ?

Accepted Answer

1 / (1-x)

Answer

x / (1-x)

Answer

(1-x) / x

Answer

1 / x

Question 26

La serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (-1)^n x^2n representa a la función:

Accepted Answer

cos(x^2)

Answer

sen(x^2)

Answer

ln(x^2)

Answer

e^x^2

Question 27

La serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (x-π/2)^n / n! es:

Accepted Answer

La función seno

Answer

La función exponencial

Answer

La función logaritmo

Answer

La función coseno