Series de potencias: Definición, convergencia y desarrollo en serie

Question 1

¿Cuál de las siguientes series NO es una serie de potencias?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (n!)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n) x^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (x-2)^n

Answer

∑_(n=2)^∞ (n+1)/(2n-1) x^(n-2)

Question 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las series de potencias es correcta?

Accepted Answer

Convergen en un intervalo abierto centrado en el centro de la serie.

Answer

Siempre convergen absolutamente.

Answer

Solo convergen si el exponente es positivo.

Question 3

¿Cuál es el centro de la serie de potencias ∑ (x - a)^n / n?

Accepted Answer

a

Answer

1

Answer

0

Question 4

¿Cuál es el término general de la serie de Maclaurin para e^x?

Accepted Answer

x^n / n!

Answer

e^x

Answer

x^n

Answer

n^x

Question 5

¿Cuál de las siguientes series es una serie de potencias condicionalmente convergente?

Accepted Answer

∑ (-1)^n / n

Answer

∑ n^x

Answer

∑ x^n

Answer

∑ 1 / n

Question 6

¿Cuál de las siguientes series es una serie de potencias?

Accepted Answer

∑(n=0)^(∞) x^n

Answer

∑(n=1)^(∞) e^(-n)

Answer

∑(n=0)^(∞) (n+1)/(n+2)

Answer

∑(n=1)^(∞) sin(n)

Question 7

¿Cuál de las siguientes funciones no se puede desarrollar en serie de Taylor?

Accepted Answer

Función de Dirichlet

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Question 8

Desarrolla en serie de Maclaurin la función f(x) = cos(x).

Accepted Answer

∑(n=0)^(∞) (-1)^n x^(2n) / (2n)!

Answer

∑(n=1)^(∞) x^n / n!

Answer

∑(n=0)^(∞) x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑(n=1)^(∞) (-1)^(n-1) x^n / n!

Question 9

¿Cuál es el término general de la serie de Taylor para la función f(x) = e^x?

Accepted Answer

x^n / n!

Answer

(x-a)^n / n!

Answer

x^(n+1) / (n+1)!

Answer

1/n!

Question 10

Si una serie de potencias converge en un punto, ¿qué podemos afirmar sobre su convergencia en otros puntos?

Accepted Answer

Converge uniformemente en todo el intervalo de convergencia

Answer

Puede converger solamente condicionalmente

Answer

Es absolutamente convergente

Question 11

Desarrolla la función $f(x) = e^x$ en serie de Taylor centrada en $x=0$.

Accepted Answer

$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

Answer

$1 + x^2 + \frac{x^3}{2!} + \frac{x^4}{3!} + \cdots$

Answer

$1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

Answer

$1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

Question 12

La suma de la serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n x^n}{n!}$ en el intervalo $(-1, 1)$ es:

Accepted Answer

$\cosh x$

Answer

$\sinh x$

Answer

$\cosh 2x$

Question 13

¿Cuál de los siguientes criterios no permite determinar el radio de convergencia de una serie de potencias?

Accepted Answer

Criterio de Leibnitz

Answer

Criterio de d'Alembert

Answer

Criterio de la raíz

Answer

Criterio de Cauchy

Question 14

¿Cuál de las siguientes series de potencias es absolutamente convergente para todo $x$?

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{2^n}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty\frac{n x^n}{n+1}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n x^n}{n}$

Answer

$\sum_{n=0}^\infty\frac{n! x^n}{n^n}$

Question 15

¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $?

Accepted Answer

$\infty$

Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 16

Determina la serie de Taylor de la función $f(x) = e^x $ alrededor de $x=0$.

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n!}$

Question 17

La serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} x^n $ converge para:

Accepted Answer

$\vert x \vert < 1$

Answer

Ningún valor de $x$

Answer

Todos los valores de $x$

Answer

$\vert x \vert > 1$

Question 18

Usando la serie de Maclaurin de $sin(x)$, determina la serie de Maclaurin de $sin(x^2)$.

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Question 19

¿Cuál es el valor de la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} $?

Accepted Answer

$	ext{e}$

Answer

1

Answer

$\pi$

Answer

$\infty$

Question 20

Determina la serie de Taylor de la función $f(x) = \frac{1}{1-x} $ alrededor de $x=0$.

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

Question 21

Calcula el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n^2}$.

Accepted Answer

1

Answer

$\infty$

Answer

2

Answer

0

Question 22

La serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ representa la función:

Accepted Answer

$cosh(x)$

Answer

$sinh(x)$

Answer

$sin(x)$

Answer

$cos(x)$

Question 23

Usando la serie de Maclaurin de $e^x$, determina la serie de Maclaurin de $e^{-x^2}$.

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$