Integrales de funciones complejas: Test interactivo para Análisis Matemático III

Question 1

Calcular la integral ∫_C f(z) dz, donde f(z) = 1/z y C es el círculo unitario centrado en el origen recorrido en sentido antihorario.

Accepted Answer

2πi

Answer

0

Answer

πi

Answer

1/2πi

Question 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el residuo de una función f(z) en un polo de orden m?

Accepted Answer

Es igual al coeficiente del término (z-a)^(-m) en la expansión en serie de Laurent alrededor del polo.

Answer

Es igual a la integral de contorno de f(z) alrededor del polo.

Question 3

¿Cuál de las siguientes funciones es meromórfica en todo el plano complejo?

Accepted Answer

sen(z)/(z^2 + 1)

Answer

log(z)

Answer

e^z

Answer

1/(z^2 - 1)

Question 4

¿Cuál de las siguientes expresiones define una integral de línea sobre una curva cerrada?

Accepted Answer

∮ f(z) dz

Answer

∫ f(x, y) dx dy

Answer

∇∫ f(z) dS

Answer

∫ f(z) dy

Question 5

Sea f(z) = z². Calcular la integral ∫ f(z) dz a lo largo del arco de la circunferencia centrada en el origen y de radio 2, desde z = 1 hasta z = -1.

Accepted Answer

0

Answer

16

Answer

8πi

Answer

4πi

Question 6

¿Cuál de los siguientes enunciados describe correctamente el Teorema de Cauchy?

Accepted Answer

Si f(z) es holomorfa dentro y sobre una curva cerrada simple C, entonces la integral de línea de f(z) alrededor de C es cero.

Answer

La integral de línea de cualquier función holomorfa alrededor de cualquier curva cerrada no es cero.

Question 7

Calcular el residuo de la función f(z) = (z-1)/(z²+1) en el polo z = i.

Accepted Answer

-1/2

Answer

i/2

Answer

1/4

Answer

1/2

Question 8

¿Cuál de las siguientes integrales representa la suma de los residuos de la función f(z) = 1/(z-1) dentro del círculo unitario centrado en el origen?

Accepted Answer

2πi

Answer

πi

Answer

-2πi

Answer

0

Question 9

Determinar si la función f(z) = z/(z²-1) es meromorfa en el plano complejo.

Accepted Answer

Sí, tiene un polo simple en z = 1.

Answer

Sí, tiene polos en z = ±1.

Answer

Sí, tiene un polo doble en z = 1.

Answer

No, tiene una singularidad esencial en z = 1.

Question 10

Evaluar la integral ∫ e^(-z²/2) dz a lo largo del segmento de línea desde z = 0 hasta z = 1+i.

Accepted Answer

√π/2

Answer

-√π/2

Answer

-π

Answer

π

Question 11

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para evaluar integrales de funciones de variable compleja que contienen singularidades?

Accepted Answer

Teorema de residuos

Answer

Teorema de la divergencia

Answer

Teorema de Stokes

Answer

Teorema de Green

Question 12

Sea f(z) = 1/(z-a). Demostrar que ∫ f(z) dz a lo largo de cualquier curva cerrada simple que no pase por a es cero.

Accepted Answer

Aplicando el Teorema de Cauchy.

Answer

Aplicando el Teorema de Stokes.

Answer

Aplicando el Teorema de Green.

Answer

Aplicando el Teorema de la divergencia.

Question 13

Calcular el integral ∫ z^2 e^z dz utilizando la integración por partes.

Accepted Answer

z^2 e^z - 2z e^z + 2 e^z + C

Answer

(z^2 - 2z + 2) e^z + C

Answer

z^3 e^z + C

Answer

(z^3 - 2z^2 + 2) e^z + C