Interpolación polinómica: cuestionarios interactivos para Cálculo Numérico

Question 1

¿Cuál de las siguientes es una técnica de interpolación polinómica?

Accepted Answer

Polinomios de Lagrange

Answer

Integración por partes

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Regla de L'Hôpital

Question 2

Dados los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 5), calcula el polinomio de Lagrange que aproxima la función.

Accepted Answer

1 + x + 2x^2

Answer

1 - 2x - x^2

Answer

1 - x + 2x^2

Answer

1 + 2x + x^2

Question 3

¿Cuál es la fórmula general de una diferencia dividida?

Accepted Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = (f[x_1, ..., x_n] - f[x_0, ..., x_{n-1}]) / (x_n - x_0)

Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = f[x_0] + f[x_1] + ... + f[x_n]

Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = (f[x_0, ..., x_{n-1}] + f[x_1, ..., x_n]) / (x_n + x_0)

Question 4

Dados los puntos (0, 1), (1, 2), (2, 5) y (3, 10), calcula el polinomio interpolante de Newton.

Accepted Answer

1 + x + 2x^2 + 3x^3

Answer

1 + 2x + x^2 + 3x^3

Answer

1 - x + 2x^2 + 3x^3

Answer

1 - 2x - x^2 + 3x^3

Question 5

¿Qué técnica se puede utilizar para estimar el error de interpolación sin conocer la función real f(x)?

Accepted Answer

Estimación del residuo

Answer

Diferenciación numérica

Answer

Integración numérica

Answer

Transformada de Fourier

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa sobre la interpolación polinómica?

Accepted Answer

Siempre produce una aproximación exacta de la función dada.

Answer

Es un método eficiente para aproximar funciones continuas.

Answer

Puede использоваться para interpolar datos experimentales.

Question 7

Dados los puntos (x0, f0) y (x1, f1), el polinomio de Lagrange interpolante de grado 1 es:

Accepted Answer

L(x) = f0 * (x - x1) / (x0 - x1) + f1 * (x - x0) / (x1 - x0)

Answer

L(x) = f0 * (x + x1) / (x0 - x1) + f1 * (x - x0) / (x1 + x0)

Question 8

La forma de diferencias divididas de un polinomio de grado n es:

Accepted Answer

P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1] * (x - x_0) + ... + f[x_0, x_1, ..., x_n] * (x - x_0) * (x - x_1) * ... * (x - x_n)

Answer

P(x) = f[x_0] - f[x_0, x_1] * (x - x_0) - f[x_0, x_1, x_2] * (x - x_0) * (x - x_1) - ...

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la interpolación polinómica?

Accepted Answer

A medida que aumenta el grado del polinomio interpolante, en general, el error de aproximación disminuye.

Answer

La interpolación polinómica es insensible a la elección de los nodos de interpolación.

Answer

La interpolación polinómica siempre produce una aproximación exacta de la función.

Question 10

La interpolación polinómica de grado 1 es también conocida como:

Accepted Answer

Interpolación lineal

Answer

Interpolación cúbica

Answer

Interpolación cuadrática

Question 11

¿Cuál es la fórmula general para el polinomio de diferencias divididas de grado n que interpola los puntos (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)?

Accepted Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \frac{f[x_1, x_2, ..., x_n] - f[x_0, x_1, ..., x_{n-1}]}{x_n - x_0}

Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \frac{f[x_0, x_1, ..., x_{n-1}] - f[x_1, x_2, ..., x_n]}{x_n - x_0}

Answer

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \frac{f[x_1, x_2, ..., x_{n-1}] + f[x_0, x_1, ..., x_{n-1}]}{x_n - x_0}

Question 12

¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza que un polinomio interpolador de grado n sea único?

Accepted Answer

Los puntos de interpolación son distintos

Answer

El polinomio interpolador es el polinomio de menor grado que interpola los puntos

Answer

La función a interpolar es continua

Answer

El polinomio tiene un grado mayor que el número de puntos de interpolación

Question 13

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la interpolación de spline es correcta?

Accepted Answer

Las splines son curvas continuas que pasan por los puntos de datos

Answer

Las splines no son diferenciables en los puntos de unión

Answer

Las splines siempre son polinomios de grado n

Question 14

¿Qué orden de precisión se puede lograr con los polinomios de diferencias divididas de grado n?

Accepted Answer

(n+1)-ésima

Answer

n-ésima

Answer

Depende de la función a interpolar

Answer

(n+2)-ésima

Question 15

Dados los puntos (0, 1), (1, 2), (2, 5) y (3, 10), utilizar el método de Neville para encontrar el valor de f(4).

Accepted Answer

f(4) ≈ 19

Answer

f(4) ≈ 21

Answer

f(4) ≈ 17

Answer

f(4) ≈ 15

Question 16

¿Cuál de los siguientes es un beneficio de utilizar la interpolación polinómica?

Accepted Answer

Puede proporcionar aproximaciones eficientes de funciones sin conocer su forma analítica.

Answer

Es un método numéricamente inestable.

Answer

Siempre proporciona una aproximación precisa para cualquier valor de x.

Question 17

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la interpolación polinómica es correcta?

Accepted Answer

Puede utilizarse para estimar valores de funciones en puntos no tabulados.

Answer

Requiere una gran cantidad de puntos de datos para ser precisa.

Answer

Solo es aplicable a funciones polinómicas.

Question 18

En el polinomio de Lagrange L_i(x), ¿qué valor toma la función en el punto x_i?

Accepted Answer

L_i(x_i) = 1

Answer

L_i(x_i) = y_i

Answer

L_i(x_i) = 0

Answer

L_i(x_i) = x_i

Question 19

Al aproximar una función con interpolación de Newton, ¿cuál es su principal ventaja sobre la interpolación de Lagrange?

Accepted Answer

Mayor eficiencia computacional

Answer

Mayor precisión

Answer

Simplicidad

Answer

Versatilidad

Question 20

Dada una tabla de valores de una función f(x) en los puntos x_0, x_1, ..., x_n, ¿cómo se calcula la diferencia dividida de primer orden, f[x_0, x_1]?

Accepted Answer

(f(x_1) - f(x_0)) / (x_1 - x_0)

Answer

(f(x_1) - f(x_0)) / (x_0 - x_1)

Answer

(f(x_1) * f(x_0)) / (x_1 * x_0)

Answer

(f(x_1) + f(x_0)) / (x_1 + x_0)

Question 21

La fórmula de interpolación de Newton se basa en:

Accepted Answer

Diferencias divididas

Answer

Interpolación lineal

Answer

Polinomios de Lagrange

Question 22

¿Qué es el fenómeno de Runge y cómo se puede evitar?

Accepted Answer

El fenómeno de Runge es la oscilación del polinomio de interpolación cerca de los bordes del intervalo. Se puede evitar utilizando métodos de interpolación más avanzados, como la interpolación de Spline.

Answer

El fenómeno de Runge es la divergencia del polinomio de interpolación cuando el número de puntos de interpolación aumenta. Se puede evitar utilizando un polinomio de menor grado.

Answer

El fenómeno de Runge es la aparición de un punto singular en el polinomio de interpolación. Se puede evitar utilizando un polinomio de mayor grado.

Answer

El fenómeno de Runge es la pérdida de precisión en la interpolación debido a la presencia de puntos de interpolación muy próximos. Se puede evitar aumentando el grado del polinomio.

Question 23

Para aproximar la función f(x) = exp(x) en el intervalo [-1, 1] con un polinomio de grado 3, ¿cuántos puntos de interpolación se necesitan?

Accepted Answer

4

Answer

3

Answer

2

Answer

5