Cálculo para 1º de Bachillerato: Límites, Derivadas e Integrales

Question 1

¿En qué consiste la relación entre la derivada de una función y la pendiente de la recta tangente a dicha función en un punto determinado?

Accepted Answer

La derivada en ese punto es igual a la pendiente de la recta tangente.

Answer

La derivada en ese punto es igual a la distancia vertical entre la función y la recta tangente.

Answer

La derivada no guarda relación con la recta tangente.

Question 2

¿Cuál es la diferencia clave entre funciones diferenciables y continuas? ¿Cómo se refleja esta diferencia en sus gráficas?

Accepted Answer

Las funciones diferenciables tienen una derivada definida en cada punto, mientras que las funciones continuas pueden tener puntos donde no existe derivada.

Answer

Las funciones continuas siempre son diferenciables.

Answer

Las funciones diferenciables y continuas tienen el mismo tipo de gráficas.

Answer

Las funciones diferenciables y continuas son lo mismo.

Question 3

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x³ - 2x² + 1 en el punto (1, 0)?

Accepted Answer

y = 3x - 2

Answer

y = x² - 2x + 1

Answer

y = x³ - 2x² + 1

Answer

y = 0

Question 4

¿Cuál de las siguientes expresiones describe el concepto de límite?

Accepted Answer

El valor hacia el que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor específico.

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado.

Answer

La tasa de cambio de una función en un intervalo determinado.

Answer

El área bajo la curva de una función entre dos puntos.

Question 5

Calcula la derivada de la función f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1.

Accepted Answer

6x^2 - 10x + 3

Answer

2x^3 - 10x + 3

Answer

3x^2 - 10x + 3

Answer

x^3 - 10x + 3

Question 6

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = x^2.

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

x^4/4 + C

Answer

2x + C

Answer

x^2/2 + C

Question 7

Una función f(x) tiene una derivada f'(x) que es discontinua en x = 2. ¿Qué podemos concluir sobre el gráfico de f(x)?

Accepted Answer

Tiene un punto anguloso en x = 2

Answer

Tiene una cúspide en x = 2

Answer

Tiene un punto de inflexión en x = 2

Answer

No se puede determinar

Question 8

¿Cuál de los siguientes teoremas establece que la integral de una función continua es derivable?

Accepted Answer

Teorema de la integral fundamental del cálculo

Answer

Teorema de la derivada

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema del límite

Question 9

Un cilindro circular recto tiene un radio de 5 cm y una altura de 10 cm. Calcula el volumen del cilindro.

Accepted Answer

250π cm³

Answer

100π cm³

Answer

500π cm³

Answer

1000π cm³

Question 10

¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) = |x - 2|?

Accepted Answer

Dos líneas rectas con pendiente 1 y -1

Answer

Una línea recta con pendiente 1

Answer

Una parábola con vértice en (2, 0)

Answer

Una hipérbola con centro en (2, 0)

Question 11

Sea f(x) una función derivable. ¿Cuál es la interpretación geométrica de f'(x)?

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)

Answer

El área bajo la curva de f(x)

Answer

La velocidad de crecimiento de f(x)

Answer

El volumen del sólido generado por la rotación de la gráfica de f(x)

Question 12

Cuál de las siguientes funciones es continua pero no derivable en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 13

Encuentra una primitiva de la función f(x) = sen(x).

Accepted Answer

sen(x) + C

Answer

-cos(x)

Answer

cos(x)

Answer

-sen(x)

Question 14

Calcula la derivada de la función f(x) = |x|.

Accepted Answer

1 si x > 0, 0 si x = 0, -1 si x < 0

Answer

1 si x > 0, -1 si x < 0

Answer

0 si x > 0, 1 si x = 0, 0 si x < 0

Answer

No tiene derivada

Question 15

Calcula el límite de la función racional f(x) = (x - 1) / (x² - 1) cuando x tiende a 1.

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

2

Answer

El límite no existe

Question 16

El límite de la función f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) cuando x se aproxima a 2 es:

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

4

Answer

No existe

Question 17

La derivada de la función f(x) = sen(x) es:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sen(x)

Answer

sen(x)

Answer

x

Question 18

El volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas y = x y y = x^2 alrededor del eje x es:

Accepted Answer

π/3

Answer

π/6

Answer

2π/3

Answer

π

Question 19

La derivada de la función f(x) = |x| es:

Accepted Answer

1 para x > 0, 0 para x = 0, -1 para x < 0

Answer

1 para x > 0, -1 para x < 0

Answer

-1 para x > 0, 1 para x < 0

Answer

0 para x > 0, 1 para x = 0, 0 para x < 0

Question 20

¿Cuál es la definición de la derivada?

Accepted Answer

La tasa de cambio de la función con respecto a su argumento.

Answer

La pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en un punto específico.

Answer

El valor mínimo de la función en un intervalo.

Answer

El valor máximo de la función en un intervalo.

Question 21

Calcula la derivada de f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

x^2 - 4x + 1

Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^3 - 4x + 1

Question 22

¿Qué representa geométricamente la integral definida de una función?

Accepted Answer

El área bajo la curva de la función sobre un intervalo.

Answer

El volumen del sólido generado al girar la región bajo la curva alrededor del eje x.

Answer

La longitud del arco de la curva de la función sobre un intervalo.

Answer

La pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en un punto específico.

Question 23

¿Cuál es la aplicación de la derivada en la optimización?

Accepted Answer

Encontrar los máximos y mínimos de una función.

Answer

Calcular el área bajo la curva de una función.

Answer

Encontrar el volumen del sólido generado al girar una región alrededor de un eje.

Answer

Encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva.

Question 24

¿Qué método se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables?

Accepted Answer

Separación de variables

Answer

Integración por partes

Answer

Sustitución

Answer

Factorización

Question 25

¿Cuál de las siguientes gráficas representa a una función decreciente?

Accepted Answer

Una parábola que se abre hacia abajo

Answer

Una línea recta con pendiente positiva

Answer

Una hipérbola que se abre hacia arriba

Answer

Una función sinusoidal

Question 26

Calcula el área de la región bajo la curva de cos(x) en el intervalo [0, π/2] utilizando la integral definida.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

π/2

Answer

-1

Question 27

¿Qué es una integral?

Accepted Answer

El área bajo la curva de una función entre dos puntos

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado

Answer

El límite del cociente incremental cuando el incremento se aproxima a cero

Answer

El volumen del sólido generado al girar una función alrededor de un eje

Question 28

¿Cuál es una aplicación de las derivadas en la optimización?

Accepted Answer

Encontrar los puntos críticos (máximos, mínimos, puntos de inflexión) de una función

Answer

Calcular la velocidad instantánea de un objeto en movimiento

Answer

Encontrar el volumen del sólido generado al girar una función alrededor de un eje

Answer

Calcular el área bajo una curva

Question 29

¿Cuál es una aplicación de las integrales en el cálculo de volúmenes?

Accepted Answer

Encontrar el volumen del sólido generado al girar una función alrededor de un eje

Answer

Calcular el área bajo una curva

Answer

Encontrar los puntos críticos (máximos, mínimos, puntos de inflexión) de una función

Answer

Calcular la velocidad instantánea de un objeto en movimiento

Question 30

El límite de la función f(x) = (x² - 4) / (x - 2) cuando x tiende a 2 es:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

No existe

Question 31

La integral indefinida de la función f(x) = x^2 - 1 es:

Accepted Answer

x³/3 - x + C

Answer

x³ + x + C

Answer

x²/2 - x + C

Answer

x² + x + C

Question 32

¿Cuál de las siguientes funciones es una primitiva de f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x

Answer

-e^x

Answer

-e^x + C

Question 33

¿Qué afirmación define correctamente el concepto de límite?

Accepted Answer

El valor al cual se aproxima una función cuando el argumento se acerca a un valor determinado

Answer

El valor de la función en un punto específico

Answer

La pendiente de la gráfica de la función en un punto determinado

Question 34

Calcula el límite de la función f(x) = (x^2 - 9) / (x - 3) cuando x tiende a 3

Accepted Answer

6

Answer

El límite no existe

Answer

∞

Answer

0

Question 35

¿Cuál es la definición de derivada?

Accepted Answer

La tasa de cambio instantánea de una función

Answer

El área bajo la gráfica de una función en un intervalo

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto

Question 36

¿Cuál es la definición de integral?

Accepted Answer

El área bajo la gráfica de una función en un intervalo determinado

Answer

La suma de los valores de una función en un intervalo

Answer

La pendiente de la función en un punto determinado

Question 37

¿Cuál de las siguientes funciones es cóncava hacia abajo en el intervalo (-∞, ∞)?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Question 38

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre límites es verdadera?

Accepted Answer

El límite de una función cuando x tiende a c existe si y solo si el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen y son iguales.

Answer

El límite de una función cuando x tiende a c existe si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son 0.

Question 39

¿Cuál de las siguientes integrales es impropia?

Accepted Answer

∫(1/(x - 1)) dx de 1 a ∞

Answer

∫(e^x) dx de 0 a 1

Answer

∫(sin(x)) dx de 0 a π

Answer

∫(x²) dx de -1 a 1

Question 40

¿Cuál es una aplicación del cálculo en la física?

Accepted Answer

Determinar la velocidad y aceleración de un objeto en movimiento.

Answer

Predecir el clima

Answer

Analizar datos económicos

Question 41

Encuentra el límite de la función f(x) = (sen(x))/x cuando x tiende a 0.

Accepted Answer

1

Answer

infinito

Answer

indeterminado

Answer

0

Question 42

Calcula la derivada de la función f(x) = ln(x² + 1).

Accepted Answer

2x/(x² + 1)

Answer

1/(x² + 1)

Answer

x/(x² + 1)

Answer

2x

Question 43

Encuentra el punto de inflexión de la función f(x) = x³ - 3x² + 2x.

Accepted Answer

(2/3, 2/9)

Answer

(0, 0)

Answer

(1, 0)

Answer

(-2/3, 2/9)

Question 44

La función f(x) = x³ - 3x² tiene puntos críticos en:

Accepted Answer

x = 0 y x = 2

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = -1 y x = 1

Question 45

El límite de la función f(x) = (sen(x))/x cuando x tiende a 0 es:

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

No existe

Answer

0

Question 46

La derivada de la función f(x) = e^x es:

Accepted Answer

e^x

Answer

e^(x-1)

Answer

x * e^(x-1)

Answer

ln(x)

Question 47

La integral indefinida de la función f(x) = 1/x es:

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

-1/x² + C

Answer

1 + C

Answer

x + C

Question 48

¿Cuál de las siguientes opciones NO define la derivada de una función f(x) en un punto x = a?

Accepted Answer

El valor de la función en x = a.

Answer

El límite de la razón incremental de f(x) cuando h tiende a 0, siendo h la variación de x desde a.

Answer

La razón de cambio instantánea de f(x) en x = a.

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a.

Question 49

Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con 100 metros de valla. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para maximizar el área encerrada?

Accepted Answer

25 metros de ancho y 25 metros de largo

Answer

20 metros de ancho y 30 metros de largo

Answer

15 metros de ancho y 35 metros de largo

Answer

10 metros de ancho y 40 metros de largo

Question 50

Calcula el área bajo la curva y = x² + 1, entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

10/3 unidades cuadradas

Answer

4 unidades cuadradas

Answer

2 unidades cuadradas

Answer

8/3 unidades cuadradas

Question 51

Dada la función f(x) = |x|, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Accepted Answer

f(x) es continua en x = 0, pero no es derivable en x = 0.

Answer

f(x) es continua y derivable en x = 0.

Answer

f(x) es derivable en x = 0, pero no es continua en x = 0.

Question 52

La función f(x) = (x² - 4) / (x - 2) tiene una discontinuidad evitable en:

Accepted Answer

x = 2

Answer

No tiene discontinuidades evitables.

Answer

x = 0

Answer

x = -2

Question 53

Calcula  lim_(x→∞) (3x² + 2) / (x² - x).

Accepted Answer

3

Answer

∞

Answer

-2

Answer

0

Question 54

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e^x en el punto (0, 1).

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = 1

Answer

y = e^x

Answer

y = -x + 1

Question 55

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 2x + cos(x).

Accepted Answer

x² + sin(x) + C

Answer

2 + sin(x) + C

Answer

2x² + cos(x) + C

Answer

x² - sin(x) + C

Question 56

Sea la función f(x) = x² - 2x + 1. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a 2?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

∞

Answer

0

Question 57

Calcula la derivada de la función f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 1.

Accepted Answer

9x² - 4x + 5

Answer

3x² - 2x + 5

Answer

9x³ - 4x² + 5x

Answer

6x² - 4x + 5

Question 58

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 2x + 1.

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

2x + C

Answer

2x² + x + C

Answer

x² + 1 + C

Question 59

Calcula el área limitada por la gráfica de la función f(x) = x², el eje x, y las rectas x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

4/3

Answer

4

Question 60

La función f(x) = x² tiene un mínimo relativo en x = 0. ¿Cuál es el valor del mínimo?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 61

La derivada de la función f(x) = sin(x) es:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

-sin(x)

Answer

-cos(x)

Question 62

La integral de la función f(x) = e^x es:

Accepted Answer

e^x + C

Answer

ln(x) + C

Answer

e^(x+1) + C

Answer

x*e^x + C

Question 63

Si la derivada de la función f(x) es f'(x) = 2x - 1, entonces f(x) podría ser:

Accepted Answer

x² - x + C

Answer

2x² - x + C

Answer

x² - 2x + C

Answer

x² + x + C

Question 64

La función f(x) = x² + 1 tiene un punto de inflexión en:

Accepted Answer

No tiene puntos de inflexión

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 0