Concepto de Derivada: Definición, Notación y Propiedades

Question 1

Define la derivada de una función.

Accepted Answer

El límite de la razón de incremento cuando el incremento tiende a cero

Answer

La tasa de cambio promedio de la función

Answer

La pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en un punto

Answer

La antiderivada de la función

Question 2

Clasifica el punto crítico de la función f(x) = 2x⁴ - 8x² + 1.

Accepted Answer

Mínimo relativo

Answer

Máximo relativo

Answer

Punto de inflexión

Answer

Ninguno

Question 3

Utiliza la definición de derivada como límite de la razón de incremento para demostrar que la derivada del cociente de dos funciones f(x)/g(x) es (g(x)f'(x) - f(x)g'(x))/g(x)². Explica tu razonamiento paso a paso.

Accepted Answer

(g(x)f'(x) - f(x)g'(x))/g(x)²

Answer

(g(x)f'(x) + f(x)g'(x))/g(x)²

Answer

(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g(x)²

Answer

(f(x)g'(x) - g(x)f'(x))/g(x)

Question 4

¿Cuál es la derivada de f(x) = x^3?

Accepted Answer

3x^2

Answer

x^2

Answer

3x

Answer

x

Question 5

Calcula la derivada de f(x) = sen(x).

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sen(x)

Answer

x

Answer

1

Question 6

¿Cuál de las siguientes funciones presenta una derivada constante?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = log(x)

Question 7

En una gráfica, ¿qué representa el gradiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado?

Accepted Answer

La derivada de la función en dicho punto

Answer

La velocidad instantánea

Answer

La aceleración instantánea

Answer

La integral de la función en dicho punto

Question 8

¿Cuál es la derivada de f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

ln(x)

Answer

x^2

Question 9

Calcula la derivada de la función f(x) = x^2 + 3x - 4.

Accepted Answer

2x + 3

Answer

2x

Answer

x + 3

Answer

x^2 + 3

Question 10

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x

Answer

x^e

Answer

e^(x+1)

Answer

e*x

Question 11

Calcula la derivada de la función g(x) = ln(x).

Accepted Answer

1/x

Answer

x^-1

Answer

ln(x)

Answer

1

Question 12

Calcula la derivada de la función h(x) = √x.

Accepted Answer

1/2x^(1/2)

Answer

x^(1/2)

Answer

1/2x^(-1/2)

Answer

x^(-1/2)

Question 13

Calcula la derivada de la función g(x) = arctan(x).

Accepted Answer

1/(1+x^2)

Answer

(1+x^2)

Answer

arctan(x)

Answer

x/(1+x^2)

Question 14

Calcula la derivada de f(x) = x² + 2x - 1 usando el límite de la razón de incremento.

Accepted Answer

2x + 1

Answer

x² + 2

Answer

2x - 1

Answer

x + 1

Question 15

Utiliza la interpretación geométrica de la derivada para encontrar la derivada de h(x) = sin(x) + cos(x).

Accepted Answer

cos(x) + sin(x)

Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

-cos(x) + sin(x)

Answer

-cos(x) - sin(x)

Question 16

Si la derivada de k(x) es negativa para todo x, ¿qué implica esto sobre el comportamiento de k(x)?

Accepted Answer

k(x) es decreciente.

Answer

k(x) es creciente.

Answer

k(x) es constante.

Answer

k(x) tiene un máximo.

Question 17

¿Qué método se emplea para calcular la derivada de una función implícita?

Accepted Answer

Diferenciación implícita

Answer

Sustitución directa

Answer

Método del cociente

Answer

Método del producto

Question 18

¿Qué teorema conecta la derivada de una función con su integral definida?

Accepted Answer

Teorema del valor medio integral

Answer

Teorema de la derivada

Answer

Teorema del cambio

Answer

Teorema del álgebra diferencial

Question 19

Determina la derivada de f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x

Answer

xe^x

Answer

1/e^x

Answer

0

Question 20

Para f(x) = x^2, ¿cuál es la derivada?

Accepted Answer

2x

Answer

x

Answer

1

Answer

x^3

Question 21

Halle la derivada de f(x) = e^x:

Accepted Answer

e^x

Answer

xe^x

Answer

e

Answer

x

Question 22

¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada en un punto?

Accepted Answer

La pendiente de la tangente a la gráfica en ese punto

Answer

La tasa de cambio instantánea en ese punto

Answer

El área bajo la curva en ese punto

Answer

La integral de la función en ese punto

Question 23

La derivada de y = arctan(x) es:

Accepted Answer

1/(1+x^2)

Answer

-1/(1+x^2)

Answer

x/(1+x^2)

Answer

-x/(1+x^2)

Question 24

¿Qué información proporciona la derivada de una función?

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a la función en un punto

Answer

Los puntos máximos y mínimos de la función

Answer

El dominio y el rango de la función

Answer

La integral de la función

Question 25

Si f'(x) = 2x - 3, ¿cuál es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (2, 5)?

Accepted Answer

1

Answer

-2

Answer

2

Answer

-1

Question 26

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la derivada de una función constante?

Accepted Answer

Es cero

Answer

Es igual a la pendiente de la función

Answer

Es uno

Answer

No existe

Question 27

Si f(x) es derivable en un intervalo y f'(x) > 0 para todo x en ese intervalo, ¿qué conclusión se puede extraer sobre el gráfico de f(x)?

Accepted Answer

Es creciente

Answer

Es parabólico

Answer

Es constante

Answer

Es decreciente

Question 28

Si f(x) es una función diferenciable y f'(x) = 0 en un punto x0, ¿qué se puede afirmar sobre la función en ese punto?

Accepted Answer

Tiene un extremo relativo (máximo o mínimo)

Answer

Tiene un punto de inflexión

Answer

Cambia de concavidad

Question 29

¿Cuál de las siguientes funciones es la derivada de f(x) = sen(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sen(x)

Answer

sen(x)

Answer

cos(2x)

Question 30

Si f(x) es una función derivable y f'(x) > 0 para x > 0 y f'(x) < 0 para x < 0, ¿cuál es el intervalo de crecimiento de f(x)?

Accepted Answer

(0, ∞)

Answer

(-∞, 0)

Answer

(-∞, ∞)

Answer

(0, 1)

Question 31

Determinar la derivada de la función k(x) = (cos(x))^3.

Accepted Answer

3(cos(x))^2 * (-sin(x))

Answer

(cos(x))*(-sin(x))

Answer

cos(3x)

Answer

3(cos(x))*(-sin(x))

Question 32

Calcula la derivada de la función f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x

Answer

e^(1/x)

Answer

x*e^x

Answer

0

Question 33

Si f(x) es derivable en el intervalo [a, b] y f'(x) > 0 para todo x en [a, b], ¿qué propiedad cumple f(x)?

Accepted Answer

Estrictamente creciente

Answer

Estrictamente decreciente

Answer

Decreciente

Answer

Creciente

Question 34

Calcula la derivada de la función f(x) = x³:

Accepted Answer

3x²

Answer

3x

Answer

x²

Answer

1

Question 35

Calcula la derivada de la función f(x) = e^2x:

Accepted Answer

2e^2x

Answer

e^x

Answer

2x

Answer

x

Question 36

¿Cuál de las siguientes funciones NO es diferenciable en todos los números reales?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 37

¿Cuál es la definición de la derivada de la función f(x) en el punto x?

Accepted Answer

El límite de la razón de incremento cuando el incremento tiende a cero

Answer

La pendiente de la secante que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h, f(x+h))

Answer

La tasa de cambio promedio de f(x) en el intervalo [x, x+h]

Question 38

Selecciona la afirmación que describe correctamente una propiedad de la derivada:

Accepted Answer

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas.

Answer

La derivada del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus derivadas.

Answer

La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de sus derivadas.

Question 39

Indica cuál de las siguientes opciones representa el significado geométrico de la derivada de f(x) en el punto x:

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (x, f(x)).

Answer

El área bajo la curva de f(x) entre los puntos x y x+h.

Answer

La velocidad instantánea de un objeto que se mueve a lo largo de la gráfica de f(x) en el punto x.

Question 40

Calcula la derivada de la función f(x) = x³.

Accepted Answer

3x²

Answer

1

Answer

x²

Answer

3x

Question 41

Calcula la derivada de la función f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x

Answer

x*e^x

Answer

0

Answer

1

Question 42

Determina la derivada de la función f(x) = ln(x).

Accepted Answer

1/x

Answer

ln(x)

Answer

0

Answer

x*ln(x)

Question 43

Calcula la segunda derivada de la función f(x) = x⁴.

Accepted Answer

12x²

Answer

4x³

Answer

0

Answer

24x

Question 44

Halla la derivada de la función f(x) = √x.

Accepted Answer

1/(2√x)

Answer

0

Answer

√x

Answer

1/√x

Question 45

Si f(x) = x², ¿cuál es la derivada de f(x)?

Accepted Answer

2x

Answer

2

Answer

x

Answer

x³

Question 46

Si la derivada de una función f(x) es positiva en un intervalo, ¿qué podemos decir sobre f(x) en ese intervalo?

Accepted Answer

f(x) es creciente en ese intervalo.

Answer

f(x) es decreciente en ese intervalo.

Answer

f(x) tiene un mínimo en ese intervalo.

Answer

f(x) tiene un máximo en ese intervalo.

Question 47

La derivada de la función f(x) = sin(x) es:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

tan(x)

Answer

-tan(x)

Question 48

Si f(x) = g(h(x)), entonces la derivada de f(x) es:

Accepted Answer

g'(h(x)) * h'(x)

Answer

g(h'(x))

Answer

g'(x) * h'(x)

Answer

g(h(x)) * h'(x)

Question 49

La derivada de la función f(x) = ln(x) es:

Accepted Answer

1/x

Answer

1

Answer

x

Answer

e^x

Question 50

Si la derivada de una función f(x) es cero en un punto, ¿qué tipo de punto es ese?

Accepted Answer

Un punto crítico de f(x).

Answer

Un mínimo de f(x).

Answer

Un máximo de f(x).

Answer

Un punto de inflexión de f(x).

Question 51

La segunda derivada de una función f(x) nos da información sobre:

Accepted Answer

La concavidad de la gráfica de f(x).

Answer

La integral de f(x).

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x).

Answer

El valor de f(x) en un punto.