Concepto de Integral: Definición, Notación y Propiedades

Question 1

El proceso de determinar el área bajo una curva se denomina:

Accepted Answer

Integración

Answer

Derivación

Answer

Diferenciación

Answer

Trazado de gráficos

Question 2

¿Cuál es la notación utilizada para representar la integral?

Accepted Answer

∫

Answer

d/

Answer

fx

Answer

f'

Question 3

¿Cuál es el resultado de la integral ∫x^2 dx?

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

x^2 + C

Answer

x^3 + C

Answer

No se puede determinar sin límites de integración

Question 4

La integral de la derivada de una función es igual a:

Accepted Answer

La función original más una constante

Answer

La función original menos una constante

Answer

El cuadrado de la función original

Answer

La función original dividida por una constante

Question 5

El área bajo la curva y(x) = x^2 entre los puntos x = 0 y x = 2 es:

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

2

Answer

4

Question 6

¿Cuál es la integral de ∫e^x dx?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

xe^x + C

Answer

e^x/x + C

Answer

No se puede determinar sin límites de integración

Question 7

¿Cuál es la definición correcta de integral?

Accepted Answer

El límite de una suma cuando el número de subdivisiones tiende a infinito

Answer

El área bajo la gráfica de una función en un intervalo

Answer

La derivada de una función

Answer

La suma de los valores de una función en un intervalo

Question 8

¿Qué propiedad establece que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada función?

Accepted Answer

Aditividad

Answer

Linealidad

Answer

Continuidad

Answer

Monotonía

Question 9

Si una función es continua en un intervalo, ¿qué se puede asegurar sobre su integral?

Accepted Answer

Existe y es finita

Answer

Puede ser negativa

Answer

La gráfica de la función está por encima del eje x en el intervalo

Answer

La función es derivable en el intervalo

Question 10

Para calcular integrales de funciones racionales, ¿qué método es recomendable utilizar?

Accepted Answer

Descomposición en fracciones parciales

Answer

Integración por partes

Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Integración por series

Question 11

¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de una función discontinua que no es integrable?

Accepted Answer

f(x) = 1 si x es racional, 0 si x es irracional

Answer

f(x) = sen(x) + cos(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x² + 1

Question 12

Calcula el área bajo la curva y = x² y sobre la curva y = 2x.

Accepted Answer

1/3

Answer

1

Answer

2/3

Answer

0

Question 13

¿Cuál es la notación para la integral indefinida de f(x)?

Accepted Answer

∫ f(x) dx

Answer

d/dx f(x)

Answer

f'(x)

Answer

d/dy f(x)

Question 14

¿Qué método se utiliza para calcular la integral indefinida de ∫ x^2 dx?

Accepted Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración por partes

Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Integración trigonométrica

Question 15

¿Cómo se relaciona el área bajo la curva de una función positiva con su integral?

Accepted Answer

El área es igual a la integral

Answer

El área es mayor que la integral

Answer

El área es menor que la integral

Answer

El área no está relacionada con la integral

Question 16

¿Cuál es el símbolo de la integral indefinida de una función f(x)?

Accepted Answer

∫f(x)dx

Answer

lim ∫f(x)dx

Answer

f(x)dx

Answer

∫dxf(x)

Question 17

Si F(x) es una antiderivada de f(x), ¿cuál es el valor de ∫[a,b]f(x)dx?

Accepted Answer

F(b) - F(a)

Answer

F(a) - F(b)

Answer

F(b) + F(a)

Answer

0

Question 18

¿Cuál es el área bajo la curva de la función f(x) = x² entre los puntos x = 0 y x = 2?

Accepted Answer

4

Answer

1

Answer

2

Answer

8

Question 19

¿Cuál de las siguientes integrales tiene un intervalo de integración ilimitado?

Accepted Answer

∫[0,∞]e^(-x)dx

Answer

∫[0,1]1/xdx

Answer

∫[0,1]x^2dx

Answer

∫[-1,1]cos(x)dx

Question 20

Calcula el valor de la integral ∫[0,π/2]sen(x)dx:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

π/2

Question 21

¿Cuál es la integral indefinida de f(x) = 1?

Accepted Answer

x + C

Answer

x

Answer

x^2 + C

Answer

C

Question 22

Si ∫[0,x]f(t)dt = x^3 + 2x, ¿cuál es f(x)?

Accepted Answer

3x^2 + 2

Answer

x^3 + 2

Answer

3x + 2

Answer

x + 2

Question 23

Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la gráfica de y = √(x), el eje x y las rectas x = 0 y x = 4 alrededor del eje x.

Accepted Answer

π(4/3)

Answer

2π

Answer

π(4/5)

Question 24

Determina el valor de la integral definida ∫[0,2] (x² - 1) dx:

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

7

Answer

9

Question 25

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la integral de la función f(x) = x³ - 2x² + 1 entre los límites a y b?

Accepted Answer

∫[a,b] (x³ - 2x² + 1) dx

Answer

∫[b,a] (x³ - 2x² + 1) dx

Answer

∫[a,b] (x² - 4x + 1) dx

Answer

∫[b,a] (x² - 4x + 1) dx

Question 26

¿Qué propiedad de las integrales permite afirmar que ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx?

Accepted Answer

Propiedad aditiva

Answer

Propiedad del factor constante

Answer

Propiedad de la potencia

Answer

Propiedad del valor absoluto

Question 27

Según el concepto estudiado en esta unidad, ¿qué es una integral?

Accepted Answer

El límite de una suma de áreas infinitesimales.

Answer

El área bajo la curva de una función.

Answer

El volumen del cuerpo generado al rotar una curva alrededor del eje x.

Answer

La derivada de una función.

Question 28

En el contexto de las integrales, ¿qué representa el símbolo ∫?

Accepted Answer

Integración

Answer

Sumatorio

Answer

Límite

Answer

Derivación

Question 29

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva de la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π/2]?

Accepted Answer

∫[0, π/2] sen(x) dx

Answer

∫[-π/2, π/2] sen(x) dx

Answer

∫[π/2, 0] sen(x) dx

Answer

∫[0, π] sen(x) dx

Question 30

Calcula la integral ∫x*e^x dx.

Accepted Answer

x*e^x - e^x + C

Answer

e^x - x*e^x + C

Answer

(1/2)x*e^x - e^x + C

Answer

x*e^x + e^x + C

Question 31

Encuentra la integral de la función f(x) = 1/(x^2 + 1).

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

sen(x) + C

Question 32

Enuncia el teorema fundamental del cálculo.

Accepted Answer

Establece la relación entre la derivada y la integral, permitiendo calcular integrales definidas como la diferencia de los valores de la primitiva en los extremos del intervalo de integración.

Answer

Define el valor de π.

Answer

Calcula el volumen de un sólido.

Answer

Describe el área bajo una curva.

Question 33

¿Cuál es el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo?

Accepted Answer

Establece que la derivación y la integración son procesos inversos

Answer

Calcula el área bajo una curva

Answer

Determina la integral de funciones exponenciales

Answer

Define la integral como el límite de una suma

Question 34

En la siguiente lista, ¿cuál NO es una aplicación de las integrales?

Accepted Answer

Calcular la pendiente de una recta

Answer

Determinar el volumen de un sólido

Answer

Calcular la distancia recorrida por un objeto

Answer

Encontrar el área bajo una curva

Question 35

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], ¿qué representa ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

El área bajo la curva y = f(x) entre a y b

Answer

El valor máximo de f(x) en [a, b]

Answer

La derivada de f(x) en c, donde c ∈ [a, b]

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la región bajo y = f(x) alrededor del eje x

Question 36

¿Cuál es la definición de integral?

Accepted Answer

El límite de una suma de áreas rectangulares infinitesimales

Answer

La derivada de una función

Answer

El área bajo una curva

Answer

La primitiva de una función

Question 37

¿Cuál es la notación estándar para expresar una integral?

Accepted Answer

∫f(x)dx

Answer

d/dx∫f(x)dx

Answer

∫xdx

Answer

f(x)∫dx

Question 38

Indica la fórmula de integración de una función potencia:

Accepted Answer

∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + K

Answer

∫x^ndx = nx^(n-1) + K

Answer

∫x^ndx = (1/n)x^n + K

Answer

∫x^ndx = x^(n+1) - K

Question 39

La integral definida de una función f(x) entre los límites a y b representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b

Answer

El valor máximo de f(x) entre x = a y x = b

Answer

La pendiente de la recta tangente a f(x) en x = b

Answer

La derivada de f(x) en x = b

Question 40

¿Cuál es la fórmula para calcular el área bajo la curva de una función f(x) entre los puntos a y b?

Accepted Answer

∫a^b f(x) dx

Answer

(b - a)f(x)

Answer

f(a) - f(b)

Answer

f(b) - f(a)

Question 41

El volumen del sólido generado al rotar la curva f(x) entre a y b alrededor del eje x se calcula con la fórmula:

Accepted Answer

π∫a^b [f(x)]^2 dx

Answer

2π∫a^b f(x) dx

Answer

π(b - a)[f(x)]^2

Answer

2π(b - a)f(x)

Question 42

Si la integral definida de f(x) entre a y b es igual a 0, ¿qué podemos concluir?

Accepted Answer

El área neta bajo la curva de f(x) entre a y b es cero

Answer

f(x) = 0 para todo x entre a y b

Answer

La función f(x) es constante entre a y b

Question 43

La integral indefinida de una función f(x) representa:

Accepted Answer

La familia de todas las funciones cuyas derivadas son f(x)

Answer

La derivada de f(x)

Answer

El valor máximo de f(x)

Question 44

La integral de una suma de funciones es igual a:

Accepted Answer

La suma de las integrales de cada función

Answer

La integral de la función con mayor valor

Answer

El producto de las integrales de cada función

Answer

La integral de la función con menor valor

Question 45

La integral de una función multiplicada por una constante k es igual a:

Accepted Answer

k veces la integral de la función

Answer

La integral de la función menos k

Answer

La integral de la función dividida por k

Answer

La integral de la función elevada a la potencia k

Question 46

¿Qué teorema se utiliza para calcular la integral definida de una función f(x) entre a y b?

Accepted Answer

El teorema fundamental del cálculo

Answer

La regla del producto

Answer

La regla del cociente

Answer

La regla de la cadena

Question 47

La integral de una función f(x) entre a y b, donde a > b, es:

Accepted Answer

El negativo de la integral de f(x) entre b y a

Answer

Indefinida

Answer

Igual a la integral de f(x) entre b y a

Answer

Igual a cero

Question 48

Si la integral de f(x) entre a y b es igual a la integral de g(x) entre a y b, ¿qué podemos concluir?

Accepted Answer

f(x) y g(x) tienen la misma área neta bajo la curva entre a y b

Answer

f(x) y g(x) son funciones constantes entre a y b

Answer

f(x) = g(x) para todo x entre a y b

Question 49

La integral de una función par f(x) entre -a y a es:

Accepted Answer

El doble de la integral de f(x) entre 0 y a

Answer

Igual a cero

Answer

Igual a la integral de f(x) entre 0 y a

Answer

Indefinida

Question 50

La integral de una función impar f(x) entre -a y a es:

Accepted Answer

Igual a cero

Answer

Indefinida

Answer

El doble de la integral de f(x) entre 0 y a

Answer

El negativo de la integral de f(x) entre 0 y a