Cálculo integral: Aprende a integrar funciones con facilidad

Question 1

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva y = x^2 en el intervalo [0, 1]? Esta integral representa el área de la región sombreada bajo la curva y = x^2 entre los puntos x = 0 y x = 1 en el plano cartesiano.

Accepted Answer

∫[0,1] x^2 dx

Answer

∫[1,0] x^2 dx

Answer

∫[0,1] x dx

Answer

∫[1,0] x dx

Question 2

Calcula la integral de la función seno (sen(x)) en el intervalo [0, π/2]. Esta integral representa el área bajo la curva de seno entre los puntos x = 0 y x = π/2.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

-1

Question 3

La integral ∫[a,b] f(x) dx representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [a, b]

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la función f(x) alrededor del eje x

Answer

La derivada de la función f(x)

Question 4

¿Cuál es la fórmula del teorema fundamental del cálculo? Este teorema establece la relación entre la integral y la derivada de una función.

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Answer

∫[a,b] f^(-1)(x) dx = f(b) - f(a)

Answer

∫[a,b] f'(x) dx = f(b) - f(a)

Answer

∫[a,b] f''(x) dx = f(b) - f(a)

Question 5

Determina si la integral ∫[0,∞] 1/(x^2 + 1) dx converge o diverge. Esta integral representa el área bajo la curva de la función 1/(x^2 + 1) en el intervalo [0, ∞).

Accepted Answer

Converge

Answer

Converge si x > 1

Answer

Diverge

Answer

Diverge si x < 1

Question 6

La integral ∫[0,1] (1/x) dx:

Accepted Answer

Diverge

Answer

Converge a ∞

Answer

Converge a 0

Answer

Converge a 1

Question 7

¿Cuál de las siguientes es una integral indefinida?

Accepted Answer

∫ x dx

Answer

x^2

Answer

dy/dx

Answer

∫^3_0 x dx

Question 8

Determina el método de integración más adecuado para calcular la integral de e^(2x).

Accepted Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

Integración por partes

Question 9

Calcula el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas y=x^2 e y=2x+1 alrededor del eje y.

Accepted Answer

(32π)/15

Answer

(8π)/15

Answer

(64π)/15

Answer

(16π)/15

Question 10

Determina el área de la región limitada por las curvas y=sen(x) y y=cos(x) entre x=0 y x=π/2.

Accepted Answer

2

Answer

π

Answer

-1

Answer

1

Question 11

¿Cuál es la integral indefinida de e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x * e^x

Answer

e^(-x) + C

Answer

1 / e^x + C

Question 12

El valor de la integral definida ∫[1, 4] 1 / sqrt(x) dx es:

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

4

Answer

1

Question 13

Enuncia la regla de integración por partes.

Accepted Answer

∫ u dv = uv - ∫ v du

Answer

∫ u dv = du / dv

Answer

∫ u dv = v du - ∫ u dv

Question 14

Indica la fórmula de integración por sustitución.

Accepted Answer

∫ f(u) du = ∫ f(g(x)) g'(x) dx

Answer

∫ f(u) du = ∫ f(g'(x)) g(x) dx

Answer

∫ f(u) du = ∫ f(g(u)) g'(u) dx

Answer

∫ f(u) du = ∫ f(g(x)) dx

Question 15

**Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 3x² + 2x - 1.**

Accepted Answer

x³ + x² - x + C

Answer

x³ + x - x² + C

Answer

3x³ + 2x² - x + C

Question 16

**Calcula el área bajo la curva y = x² entre x = 0 y x = 2.**

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

16/3

Answer

2/3

Question 17

**¿Cuál es la integral de la función f(x) = sen(x) + cos(x)?**

Accepted Answer

-cos(x) + sen(x) + C

Answer

cos(x) - sen(x) + C

Answer

sen(x) - cos(x) + C

Answer

-sen(x) + cos(x) + C

Question 18

**Calcula la integral de la función f(x) = e^(2x).**

Accepted Answer

1/2 e^(2x) + C

Answer

2 e^(x²)

Answer

1/2 e^(x²)

Answer

2 e^(2x)

Question 19

**Calcula la integral de la función f(x) = 1/(x² + 1).**

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

tan^(-1)(x)

Answer

sen^(-1)(x)

Answer

cos^(-1)(x)

Question 20

**¿Cuál es la integral de la función f(x) = |x|?**

Accepted Answer

x|x| + C

Answer

x² + C

Answer

|x|² + C

Question 21

La integral definida de una función representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de la función entre dos puntos dados.

Answer

La longitud del arco de la curva entre dos puntos dados.

Answer

La derivada de la función.

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la curva alrededor de un eje.

Question 22

La integral indefinida de la función f(x) = x² + 2x es:

Accepted Answer

(x³/3) + x² + C

Answer

2x² + 2x + C

Answer

x³ + 2x + C

Answer

No tiene integral indefinida

Question 23

Calcula la integral definida de la función f(x) = e^x desde x = 0 hasta x = 1.

Accepted Answer

e - 1

Answer

0

Answer

1

Answer

e + 1

Question 24

La integral de la función f(x) = 1/(x² + 1), utilizando el método de fracciones parciales, es:

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

1/(x² + 1) + C

Answer

x/(x² + 1) + C

Answer

-arctan(x) + C

Question 25

Para calcular el volumen de sólidos de revolución, se utiliza:

Accepted Answer

Integral definida con respecto a x o y

Answer

Integral de línea

Answer

Integral indefinida

Answer

Integral de superficie

Question 26

¿Cuál es la integral indefinida de f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

2x + C

Answer

1/x² + C

Answer

No se puede calcular

Question 27

Calcula la integral definida de f(x) = sen(x) entre 0 y π/2.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

π/2

Question 28

El área bajo la curva y = x³ entre x = 0 y x = 2 es:

Accepted Answer

16

Answer

8

Answer

4

Question 29

La integral de ∫(1/(x²+1)) dx es:

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

1/(x²+1) + C

Answer

No se puede calcular

Question 30

¿Qué método se utiliza para calcular la integral de una función racional?

Accepted Answer

Descomposición parcial

Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Integración por partes

Question 31

Calcula la integral de ∫e^(2x+1) dx.

Accepted Answer

(1/2)e^(2x+1) + C

Answer

No se puede calcular

Answer

e^(2x+1) + C

Answer

(2/e)e^(2x+1) + C

Question 32

Respecto a las integrales, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Accepted Answer

La integral de una función es una función.

Answer

La integral de una función es siempre positiva.

Answer

La integral de una función es siempre una constante.

Answer

La integral de una función siempre existe.

Question 33

Calcula la integral de ∫ln(x) dx.

Accepted Answer

xln(x) - x + C

Answer

No se puede calcular

Answer

ln(x) + C

Answer

1/x + C

Question 34

¿Cuál de las siguientes propiedades de las integrales es verdadera?

Accepted Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x)g(x)) dx = ∫f(x) dx ∫g(x) dx

Answer

∫f(x) dx = f'(x)

Answer

∫(1/f(x)) dx = 1/∫f(x) dx

Question 35

La integral de ∫cos(x)sen(x) dx es:

Accepted Answer

-cos²(x) + C

Answer

1/(2cos(x)sen(x)) + C

Answer

cos²(x) + C

Answer

sen(x)cos(x) + C

Question 36

¿Cuál es la fórmula para calcular la integral indefinida de x^2?

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

x/2 + C

Answer

x^2/2 + C

Question 37

¿Qué propiedad de las integrales permite calcular el área bajo una curva?

Accepted Answer

Teorema Fundamental del Cálculo

Answer

Regla de la cadena

Answer

Regla del producto

Answer

Regla del cociente

Question 38

Calcula la integral definida de (x + 2) entre los límites x = 0 y x = 1.

Accepted Answer

3/2

Answer

2

Answer

1/2

Answer

1

Question 39

¿Qué método de integración se utiliza para integrales que involucran funciones trigonométricas?

Accepted Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Integración por cambio de variables

Answer

Integración numérica

Answer

Integración por partes

Question 40

Calcula la integral impropia de 1/(x^2) en el intervalo [1, ∞).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

No converge

Answer

∞

Question 41

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

x^2

Answer

x^3 - 1

Answer

ln(x)

Answer

1/x

Question 42

Una función f(x) es derivable en el intervalo (a, b). ¿Qué se puede concluir sobre la integral de f(x) en ese intervalo?

Accepted Answer

Es continua

Answer

Es convexa

Answer

Es monótona

Answer

Es cóncava

Question 43

Calcula la integral de la función exponencial e^x + 2x.

Accepted Answer

e^x + x^2 + C

Answer

2e^x + 2x^2 + C

Answer

e^x + 2x^2 + C

Answer

2e^x + x^2 + C

Question 44

¿Qué aplicación tienen las integrales en la física?

Accepted Answer

Cálculo de trabajo, energía potencial y centro de masa

Answer

Cálculo de distancias y velocidades

Answer

Cálculo de ángulos y volúmenes

Question 45

¿Cuál de las siguientes integrales representa el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las funciones y = x^2 e y = 4 alrededor del eje x?

Accepted Answer

π∫[0,2](4 - x^2)^2 dx

Answer

π∫[0,2]x^2(4 - x^2) dx

Answer

2π∫[0,2]x^2(4 - x^2) dx

Answer

2π∫[0,2](4 - x^2)^2 dx