Matrices: Aprende y domina las operaciones con matrices

Question 1

Considera la matriz A = [[a, b], [c, d]]. Explica cómo se relaciona el determinante de A con el área del paralelogramo formado por los vectores **fila** de la matriz.

Accepted Answer

El determinante es el doble del área del paralelogramo formado por los vectores **fila**.

Answer

El determinante es el área del paralelogramo formado por los vectores **columna**.

Answer

El determinante es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores **fila**.

Answer

El determinante no está relacionado con el área de ningún paralelogramo.

Question 2

¿Cómo se puede emplear una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres o más incógnitas?

Accepted Answer

Formando una matriz aumentada y aplicando operaciones elementales de fila para obtener una matriz escalonada.

Answer

Multiplicando la matriz de coeficientes por la inversa de la matriz de variables.

Answer

Calculando el rango de la matriz de coeficientes y verificando si coincide con el número de variables.

Answer

Hallando los autovalores y autovectores de la matriz de coeficientes.

Question 3

¿Qué es una matriz transpuesta y cómo se utiliza en el cambio de base?

Accepted Answer

Intercambiar filas y columnas para cambiar la orientación de la matriz.

Answer

Calcular la inversa de una matriz para resolver sistemas de ecuaciones.

Answer

Multiplicar matrices utilizando la matriz identidad.

Answer

No tiene aplicaciones prácticas.

Question 4

¿Cómo se puede utilizar una matriz para representar una función lineal? Explica el concepto de matriz de transformación y su uso en el cambio de base.

Accepted Answer

Una matriz puede representar una función lineal como una transformación lineal que asigna un vector de entrada a un vector de salida.

Accepted Answer

Una matriz de transformación se utiliza para cambiar la base de un vector.

Answer

Una matriz no puede representar una función lineal porque las matrices solo almacenan números, mientras que las funciones requieren variables.

Answer

Una matriz puede representar una función lineal, pero solo si es una matriz cuadrada.

Question 5

¿Cómo se emplean las matrices para representar transformaciones geométricas como traslaciones, rotaciones y escalados? Proporciona un ejemplo de cada una.

Accepted Answer

Una traslación se representa con una matriz de traslación, una rotación con una de rotación y un escalado con una de escalado. Proporciona un ejemplo de cada una.

Answer

Las matrices no sirven para representar transformaciones geométricas.

Answer

Una traslación se representa con una matriz de identidad, una rotación con una diagonal y un escalado con una triangular.

Question 6

¿Qué propiedad caracteriza a las matrices ortogonales?

Accepted Answer

Su inversa es igual a su transpuesta.

Answer

Su determinante es 1.

Answer

La suma de sus elementos es 0.

Question 7

¿Cuál es la aplicación de matrices en física que se utiliza para modelar el movimiento de objetos?

Accepted Answer

Matriz de transformación para representar el movimiento de un objeto en un sistema de coordenadas

Answer

Matriz de rigidez para analizar la deformación de estructuras

Answer

Matriz de covarianza para estudiar la dispersión de datos

Answer

Matriz de transferencia para describir el flujo de calor en un sistema

Question 8

¿Qué son las matrices idempotentes y cuál es su propiedad más notable?

Accepted Answer

Matrices que cumplen A² = A, proyectando vectores sobre subespacios.

Answer

Matrices con todos sus elementos iguales.

Answer

Matrices siempre invertibles.

Question 9

Calcula la matriz resultante de la suma de las matrices A=[[1, 2], [3, 4]] y B=[[5, 6], [7, 8]]

Accepted Answer

[[6, 8], [10, 12]]

Answer

[[1, 8], [3, 12]]

Answer

[[6, 2], [10, 4]]

Answer

La suma no es posible porque las matrices tienen dimensiones distintas

Question 10

Calcula el producto de las matrices A=[[1, 2], [3, 4]] y B=[[5, 6], [7, 8]]

Accepted Answer

[[19, 22], [43, 50]]

Answer

[[5, 6], [15, 16]]

Answer

[[1, 2, 5, 6], [3, 4, 7, 8]]

Answer

El producto no es posible porque las matrices no son compatibles

Question 11

Determina si el sistema de ecuaciones lineales representado por la matriz A[[2, -1], [-3, 4]]X=[[5], [7]] tiene solución única.

Accepted Answer

Sí, tiene solución única porque el determinante de A es distinto de cero.

Answer

No, no tiene solución porque el determinante de A es cero.

Answer

No es posible determinar si tiene solución única sin resolver el sistema.

Answer

Tiene infinitas soluciones porque el determinante de A es cero.

Question 12

Calcula la matriz adjunta de la matriz A=[[1, 2], [3, 4]]

Accepted Answer

[[4, -2], [-3, 1]]

Answer

[[1, -2], [3, -4]]

Answer

[[1, -2], [3, 4]]

Answer

La matriz A no tiene adjunta.

Question 13

¿Cuál de las siguientes matrices es invertible?

Accepted Answer

Una matriz triangular con todos sus elementos en la diagonal principal distintos de cero.

Answer

Una matriz cuadrada con determinante cero.

Answer

Una matriz rectangular con más filas que columnas.

Answer

Una matriz con dos filas idénticas.

Question 14

El sistema de ecuaciones lineales representado por la matriz aumentada [A | b] tiene solución única si:

Accepted Answer

El rango de A es igual al rango de [A | b].

Answer

El rango de A es mayor que el rango de [A | b].

Answer

El rango de A es menor que el rango de [A | b].

Answer

El rango de [A | b] es cero.

Question 15

¿Cuál de las siguientes matrices es ortogonal?

Accepted Answer

Una matriz cuadrada cuya inversa es igual a su traspuesta.

Answer

Una matriz rectangular cuya suma de cuadrados de sus elementos en cada fila es igual a 1.

Answer

Una matriz triangular con todos sus elementos en la diagonal principal iguales a 1.

Answer

Una matriz con todos sus elementos distintos de cero.

Question 16

El producto de dos matrices ortogonales siempre es:

Accepted Answer

Una matriz ortogonal.

Answer

Una matriz invertible.

Answer

Una matriz diagonal.

Answer

Una matriz triangular.

Question 17

El autovector correspondiente al autovalor λ de una matriz A es:

Accepted Answer

Un vector cuya dirección no cambia al ser multiplicado por A.

Answer

Cualquier vector cuya suma de componentes es λ.

Answer

El vector nulo.

Answer

Un vector linealmente independiente de todos los demás autovectores de A.

Question 18

La suma de los autovalores de una matriz es igual a:

Accepted Answer

La traza de la matriz.

Answer

El determinante de la matriz.

Answer

El rango de la matriz.

Answer

La norma de la matriz.

Question 19

Una matriz es una disposición rectangular de elementos representada en forma de tabla. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es una matriz?

Accepted Answer

[1 2; 3 4]

Answer

(1, 2, 3)

Answer

{{1, 2}, {3, 4}}

Answer

{1, 2, 3, 4}

Question 20

La suma de dos matrices de las mismas dimensiones resulta en una matriz cuyas entradas son:

Accepted Answer

La suma de las entradas correspondientes de las matrices

Answer

El producto de las entradas correspondientes de las matrices

Answer

La diferencia de las entradas correspondientes de las matrices

Answer

El cociente de las entradas correspondientes de las matrices

Question 21

La matriz identidad es una matriz cuadrada:

Accepted Answer

Con unos en la diagonal principal y ceros en el resto

Answer

Con ceros en la diagonal principal y unos en el resto

Answer

Con todos sus elementos iguales a 1

Answer

Con todos sus elementos iguales a 0

Question 22

La matriz inversa de una matriz singular:

Accepted Answer

No existe

Answer

Existe y es única

Answer

Existe pero no es única

Answer

Sólo existe si la matriz es cuadrada

Question 23

¿Cómo se denomina la matriz que no tiene inversa?

Accepted Answer

Matriz no invertible

Answer

Matriz invertible

Answer

Matriz diagonal

Answer

Matriz triangular

Question 24

Considerando las matrices A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]], ¿cuál es el resultado de A - B?

Accepted Answer

[[4, 4], [-4, -4]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[5, 6], [7, 8]]

Answer

No se puede restar

Question 25

Sea A una matriz cuadrada. ¿Cuál es el resultado de A * A^-1?

Accepted Answer

I

Answer

A

Answer

0

Answer

A^-1

Question 26

¿Qué tipo de matriz es antisimétrica?

Accepted Answer

Aquella que es igual a su opuesta

Answer

Aquella que tiene todos sus elementos iguales

Answer

Aquella que tiene la diagonal principal igual a cero

Answer

Aquella que tiene la diagonal secundaria igual a cero

Question 27

Calcula la traza de la matriz A = [[2, -1], [3, 4]]

Accepted Answer

6

Answer

-6

Answer

0

Answer

4

Question 28

La diagonal que pasa por los elementos a_11, a_22, ..., a_nn de una matriz cuadrada, ¿cómo se llama?

Accepted Answer

Diagonal principal

Answer

Diagonal secundaria

Answer

Diagonal ascendente

Answer

Diagonal descendente

Question 29

Considerando las matrices A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] y B = [[7, 8, 9], [10, 11, 12], [13, 14, 15]], ¿cuál es el resultado de B * A?

Accepted Answer

[[58, 64, 70], [139, 154, 169]]

Answer

[[7, 8, 9], [14, 16, 18]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Answer

Las matrices no se pueden multiplicar

Question 30

¿Cuál de las siguientes opciones representa una matriz de orden 3x2?

Accepted Answer

[(1, 2), (3, 4), (5, 6)]

Answer

[(1, 2, 3), (4, 5, 6)]

Answer

[(1, 2, 3), (4, 5), (6, 7)]

Answer

[(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)]

Question 31

En la matriz [(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)], ¿cuál es el elemento que se encuentra en la fila 2 y columna 3?

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

3

Answer

9

Question 32

Un sistema de ecuaciones lineales con matriz asociada no invertible es:

Accepted Answer

Incompatible

Answer

Compatible indeterminado

Answer

Compatible determinado

Answer

Imposible de determinar

Question 33

¿Cuál es la matriz identidad de orden 3?

Accepted Answer

[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]

Answer

[(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)]

Answer

[(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)]

Answer

[(0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)]

Question 34

¿Cuál es la inversa de la matriz [(2, 1), (1, 2)]?

Accepted Answer

[(2, -1), (-1, 2)]

Answer

[(1, -1), (-1, 2)]

Answer

[(2, 1), (1, 2)]

Answer

No tiene inversa.

Question 35

Considera las matrices A = [1, 2; 3, 4] y B = [5, 6; 7, 8]. ¿Cuál es el resultado de A + B?

Accepted Answer

[6, 8; 10, 12]

Answer

No se puede sumar estas matrices porque tienen distinto tamaño

Answer

[1, 2; 3, 4]

Answer

[-4, -4; -4, -4]

Question 36

¿Cuál es la inversa de la matriz [[2, 1], [3, 2]]?

Accepted Answer

[[2, -1], [-3, 2]]

Answer

[[1, -1], [-3, 2]]

Answer

[[2, -2], [-3, 3]]

Answer

La matriz no tiene inversa

Question 37

¿Cómo se utilizan las matrices para representar y resolver problemas de programación lineal, como minimizar funciones objetivo sujetas a restricciones?

Accepted Answer

Representando la función objetivo y las restricciones como matrices y resolviendo el sistema resultante mediante técnicas de optimización.

Answer

Convirtiendo el problema en un sistema de ecuaciones y resolviendo las matrices resultantes.

Answer

Usando matrices para calcular directamente los valores máximos y mínimos de la función objetivo.

Answer

Interpretando las filas y columnas de la matriz como variables y restricciones.

Question 38

¿Cuál de las siguientes matrices es de orden 3x4? (Recuerda que el orden de una matriz se indica como filas x columnas)

Accepted Answer

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

B = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]

Answer

C = [[1, 2, 3, 4]]

Answer

D = [[1], [2], [3]]

Question 39

¿Cuál de las siguientes operaciones NO es válida para matrices?

Accepted Answer

Resta

Answer

Suma

Answer

Multiplicación por un escalar

Answer

Multiplicación de matrices

Question 40

¿Qué es el determinante de una matriz? (El determinante se define únicamente para matrices cuadradas, es decir, aquellas que tienen el mismo número de filas y columnas)

Accepted Answer

Un número asociado a una matriz cuadrada que caracteriza sus propiedades

Answer

El valor de la suma de sus elementos

Answer

El inverso multiplicativo de la matriz

Answer

El producto de sus elementos principales

Question 41

¿En qué casos una matriz es invertible? (Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero)

Accepted Answer

Cuando su determinante es distinto de cero

Answer

Cuando su determinante es cero

Answer

Cuando es una matriz cuadrada

Answer

Cuando no contiene diagonales

Question 42

¿Cuál de las siguientes aplicaciones NO tiene que ver con el uso de matrices?

Accepted Answer

Hallar la probabilidad de un suceso

Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales

Answer

Representar transformaciones geométricas

Answer

Almacenar datos en un ordenador

Question 43

Una matriz cuadrada es aquella que:

Accepted Answer

Tiene el mismo número de filas y columnas

Answer

Tiene más filas que columnas

Answer

Tiene más columnas que filas

Answer

Tiene solamente elementos en la diagonal principal

Question 44

La matriz identidad es una matriz:

Accepted Answer

Cuadrada con todos sus elementos diagonales iguales a 1 y los demás elementos iguales a 0

Answer

Rectangular con todos sus elementos iguales a 1

Answer

Rectangular con todos sus elementos iguales a 0

Answer

Cuadrada con todos sus elementos iguales a 0

Question 45

El producto de dos matrices A y B es:

Accepted Answer

Una matriz C cuyas dimensiones son el número de filas de A y el número de columnas de B

Answer

Un número

Answer

Un polinomio

Answer

Un vector

Question 46

¿Cuál es la cofactora del elemento a_23 en la matriz A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]?

Accepted Answer

(-1)^5 * (5*9 - 6*8)

Answer

(-1)^5 * (4*9 - 6*7)

Answer

(-1)^5 * (5*8 - 6*7)

Answer

(-1)^5 * (4*8 - 6*9)

Question 47

Una matriz es invertible si:

Accepted Answer

Su determinante es distinto de cero

Answer

Su determinante es cero

Answer

Tiene más filas que columnas

Answer

Es una matriz identidad

Question 48

El sistema de ecuaciones lineales representado por la ecuación matricial Ax = b tiene solución única si:

Accepted Answer

A es invertible

Answer

b es el vector cero

Answer

x es un vector nulo

Answer

A es una matriz cuadrada

Question 49

La matriz adjunta de una matriz A es:

Accepted Answer

La transpuesta de la matriz de cofactores de A

Answer

La inversa de la matriz de cofactores de A

Answer

La matriz formada por los elementos de A tomados con signo alternado

Answer

La matriz formada por los determinantes de las submatrices de A

Question 50

¿Qué es una matriz?

Accepted Answer

Una disposición rectangular de números o elementos

Answer

Una ecuación algebraica con una variable desconocida

Answer

Un gráfico que representa una función

Answer

Una transformación lineal

Question 51

¿Cuál es la matriz adjunta de A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

[[4, -2], [-3, 1]]

Answer

[[2, -3], [1, 4]]

Answer

[[1, -4], [3, 2]]

Answer

[[3, -4], [1, 2]]

Question 52

¿Cuál es la definición correcta de una matriz?

Accepted Answer

Un conjunto ordenado de números dispuestos en filas y columnas.

Answer

Una ecuación lineal con dos variables.

Answer

Un gráfico que representa una función.

Answer

Una representación geométrica de un vector.

Question 53

¿Cuál es la matriz identidad de orden 3?

Accepted Answer

((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

Answer

((0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0))

Answer

((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0))

Answer

((0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0))

Question 54

¿Cuál es el determinante de la matriz ((2, 1), (3, 4))?

Accepted Answer

5

Answer

-5

Answer

1

Answer

-1

Question 55

Sea A = ((1, 2), (3, 4)). Calcula el resultado de A^2.

Accepted Answer

((7, 10), (15, 22))

Answer

((2, 4), (6, 8))

Answer

((1, 0), (0, 1))

Answer

((0, 0), (0, 0))

Question 56

¿Cuál es la matriz adjunta de A = ((2, 1), (3, 4))?

Accepted Answer

((4, -1), (-3, 2))

Answer

((2, -1), (3, 4))

Answer

((1, 2), (3, 4))

Answer

((0, 0), (0, 0))

Question 57

¿Qué matriz es una matriz cuadrada?

Accepted Answer

(2x2)

Answer

(2, 3)

Answer

((1, 2), (3, 4))

Answer

((2, 3, 4), (5, 6, 7))

Question 58

¿Cuál es la suma de las matrices A = ((1, 2), (3, 4)) y B = ((2, 3), (5, 6))?

Accepted Answer

((3, 5), (8, 10))

Answer

((4, 6), (10, 12))

Answer

((2, 4), (6, 8))

Answer

((1, 3), (5, 7))

Question 59

¿Cuál es la inversa de la matriz A = ((2, 3), (4, 5))?

Accepted Answer

((5, -3), (-4, 2))

Answer

((-5, 3), (4, -2))

Answer

((2, -3), (4, -2))

Answer

((5, 3), (-4, 2))

Question 60

Un sistema de ecuaciones lineales representado por una matriz A y un vector b tiene solución si:

Accepted Answer

det(A) ≠ 0

Answer

det(A) = 0

Answer

A es invertible

Answer

b es el vector cero

Question 61

¿Cuál es el rango de la matriz A = ((2, 3, 4), (4, 5, 6), (6, 7, 8))?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

0

Question 62

¿Qué caracteriza a una matriz cuadrada?

Accepted Answer

Tiene el mismo número de filas y columnas

Answer

No tiene inversa

Answer

Es simétrica

Answer

Su determinante es siempre positivo

Question 63

¿Cómo se denomina la matriz que tiene 1 en la diagonal principal y 0 en el resto de posiciones?

Accepted Answer

Matriz identidad

Answer

Matriz diagonal

Answer

Matriz triangular

Answer

Matriz simétrica

Question 64

¿Cuándo se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente?

Accepted Answer

El determinante de la matriz formada por los vectores es distinto de cero

Answer

El conjunto contiene el vector cero

Answer

El conjunto es ortogonal