Aprende Cálculo Integral: Conceptos, Reglas y Aplicaciones

Question 1

¿Qué representa geométricamente la integral indefinida de una función?

Accepted Answer

El área bajo la curva de la función y el eje x

Answer

La pendiente de la tangente a la curva de la función

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la curva de la función alrededor del eje x

Answer

La longitud del arco de la curva de la función

Question 2

Calcula la integral indefinida de la función (f(x) = 2x + 3).

Accepted Answer

(x² + 3x + C)

Answer

(2x² + 3 + C)

Answer

(x² + 3 + C)

Answer

(2x² + C)

Question 3

¿Cuál de las siguientes integrales define el área de la región bajo la gráfica de la función (f(x) = x²) entre (x = 0) y (x = 2)?

Accepted Answer

(int_0^2 x² dx)

Answer

(int_2^0 x² dx)

Answer

(frac{1}{2} int_0^2 x² dx)

Answer

(frac{1}{2} int_2^0 x² dx)

Question 4

Determina el área de la región limitada por las curvas y = x² e y = 2x:

Accepted Answer

4/3 unidades cuadradas

Answer

2/3 unidades cuadradas

Answer

8/3 unidades cuadradas

Answer

16/3 unidades cuadradas

Question 5

¿Cuál de las siguientes funciones no es integrable en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Question 6

¿Cuál de las siguientes técnicas de integración se utiliza para calcular ∫(x * sen(x)) dx?

Accepted Answer

Integración por partes

Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración por cambio de variable

Answer

Integración por fracciones parciales

Question 7

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 2x - 3:

Accepted Answer

x² - 3x + C

Answer

x³ - 3x² + C

Answer

2x² - 3x + C

Answer

4x - 6 + C

Question 8

Calcula la integral definida de la función f(x) = sen(x) entre 0 y π/2:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

2

Question 9

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para calcular la integral de la función f(x) = √(4 - x²)?

Accepted Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Fracciones parciales

Answer

Integración por partes

Answer

Ninguno de los anteriores

Question 10

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área encerrada bajo la curva y = x^2 + 1 entre x = 0 y x = 2?

Accepted Answer

∫[0,2] (x^2 + 1) dx

Answer

∫[2,0] (x^2 + 1) dx

Answer

∫[1,2] (x^2 + 1) dx

Answer

∫[0,1] (x^2 + 1) dx

Question 11

¿Qué método de integración se utiliza para resolver ∫(x^2 + 1)/(x + 1) dx?

Accepted Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Sustitución algebraica

Answer

Integración por partes

Question 12

¿Cuál es el volumen del sólido generado al girar la región bajo la curva y = x^3 entre x = 0 y x = 1 alrededor del eje x?

Accepted Answer

π/2

Answer

π/4

Answer

π

Answer

2π

Question 13

¿Cuál es la integral impropia de ∫[0,∞] e^(-x) dx?

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

1/e

Answer

0

Question 14

¿Cuál es el área de la región acotada por las curvas y = x^2 - 4 y y = 2x + 4?

Accepted Answer

24

Answer

16

Answer

32

Answer

40

Question 15

Dados los puntos A(-2, 1) y B(2, 3), ¿cuál es la integral que calcula el trabajo realizado por la fuerza F(x) = x + 1 a lo largo de la trayectoria del objeto que se mueve de A a B?

Accepted Answer

∫[-2,2] (x + 1) sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

Answer

∫[-2,2] (x + 1) sqrt(1 + (dx/dy)^2) dx

Answer

∫[2,-2] (x + 1) sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

Answer

∫[2,-2] (x + 1) sqrt(1 + (dx/dy)^2) dx

Question 16

Determina si la siguiente integral es convergente o divergente: $$\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2} \ dx$$

Accepted Answer

Divergente

Answer

Convergente

Answer

No se puede determinar

Answer

Depende de la constante de integración

Question 17

Encuentra la integral impropia de f(x) = 1/(x-1) en [0, 1].

Accepted Answer

∞

Answer

-∞

Answer

0

Answer

1

Question 18

Encuentra el sólido generado al girar la región limitada por y = x e y = x² alrededor del eje y.

Accepted Answer

Un paraboloide

Answer

Un cono

Answer

Una esfera

Answer

Un cilindro

Question 19

¿Cuál es el resultado de la siguiente integral: ∫e^x dx?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x - C

Answer

x * e^x + C

Answer

x * e^x - C

Question 20

¿Qué método de integración se emplea para resolver la integral ∫(ax + b)/(cx + d) dx?

Accepted Answer

Por fracciones parciales

Answer

Por partes

Answer

Por sustitución

Answer

Por cambio de variable

Question 21

Integra la función f(x) = sen(x) cos(x) utilizando integración por partes.

Accepted Answer

1/2 sen^2(x) - 1/2 cos^2(x) + C

Answer

-1/2 sen^2(x) + 1/2 cos^2(x) + C

Answer

sen(x) - cos(x) + C

Answer

sen(x) + cos(x) + C

Question 22

¿Cuál es el área de la región limitada por la curva y = x^2 y las rectas x = 0 y x = 2 calculada mediante integrales?

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

8/3

Answer

16/3

Question 23

¿Cuál de las siguientes integrales es impropia?

Accepted Answer

∫(1 / x) dx

Answer

∫(x^2) dx

Answer

∫(e^x) dx

Answer

∫(sen(x)) dx

Question 24

¿Cuál de las siguientes integrales es una integral trigonométrica?

Accepted Answer

∫(sin(x)) dx

Answer

∫(x^2) dx

Answer

∫(e^x) dx

Answer

∫(1 / x) dx

Question 25

Calcula la integral de ∫(sen(x) + cos(x)) dx.

Accepted Answer

-cos(x) + sen(x) + C

Answer

-sen(x) - cos(x) + C

Answer

cos(x) + sen(x) + C

Answer

sen(x) - cos(x) + C

Question 26

Calcula la integral de ∫(e^x + 1/x) dx.

Accepted Answer

e^x + ln(|x|) + C

Answer

-e^x + ln(|x|) + C

Answer

e^x - ln(|x|) + C

Answer

e^x + 1/x + C

Question 27

Calcula la integral de ∫(cos^2(x)) dx.

Accepted Answer

x/2 + sen(x)cos(x)/2 + C

Answer

sen(x)cos(x)/2 + C

Answer

x/2 - sen(x)cos(x)/2 + C

Answer

-x/2 + sen(x)cos(x)/2 + C

Question 28

Calcula la integral de ∫(1/(x^2 + 1)) dx.

Accepted Answer

arctg(x) + C

Answer

-arctg(x) + C

Answer

x/(x^2 + 1) + C

Answer

1/(x^2 + 1) + C

Question 29

Calcula el valor de la integral definida de f(x) = x² entre los límites 0 y 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

4

Question 30

¿Cuál es el área encerrada por la curva y = x³, el eje X y las rectas x = 1 y x = 2?

Accepted Answer

15/4

Answer

3/4

Answer

1

Question 31

Determina la integral de la función f(x) = 1/x:

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

x + C

Answer

1/x² + C

Answer

-1/x² + C

Question 32

Calcula la integral indefinida de f(x) = 1/(1+x²).

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

ln(1+x²) + C

Answer

-1/(1+x²) + C

Answer

1/2 * ln(1+x²) + C

Question 33

Si la derivada de una función es f'(x) = 2x + 1, determina la función original f(x).

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

2x² + x + C

Answer

2x + 1 + C

Answer

x² + C

Question 34

¿Cuál es la integral indefinida de ∫x^2 dx?

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

2x + C

Answer

x^2 + C

Answer

1/x + C

Question 35

Calcula la integral definida ∫[0,1] (2x + 1) dx.

Accepted Answer

3/2

Answer

2

Answer

5/2

Answer

1/2

Question 36

Usa el método de sustitución para calcular ∫(1 + x^2) dx.

Accepted Answer

x + tan^-1(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

x^2 + C

Answer

1/2(1 + x^2)^2 + C

Question 37

¿Cuál es el resultado de ∫(e^x + sen(x)) dx?

Accepted Answer

e^x - cos(x) + C

Answer

-e^x - cos(x) + C

Answer

1/(e^x + sen(x)) + C

Answer

(e^x + sen(x)) + C

Question 38

¿Qué función es la primitiva de f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

x + C

Answer

1/x^2 + C

Answer

-1/x + C

Question 39

Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por y = x^2 e y = 4 alrededor del eje x.

Accepted Answer

32π/5

Answer

16π/5

Answer

π/5

Answer

64π/5

Question 40

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área de la región acotada por y = sen(x) y y = cos(x) para x entre 0 y π/4?

Accepted Answer

∫[0,π/4] (sen(x) - cos(x)) dx

Answer

∫[0,π/4] |sen(x) - cos(x)| dx

Answer

∫[0,π/4] (sen(x) + cos(x)) dx

Question 41

Usa el método de integración por partes para calcular ∫x*e^x dx.

Accepted Answer

x*e^x - e^x + C

Answer

1/x*e^x + C

Answer

x*e^x + e^x + C

Answer

e^x + C

Question 42

¿Cuál es la integral impropia de ∫[0,∞] e^(-x) dx?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

-1

Question 43

Calcula la integral ∫(1/(x^2 + 1)) dx.

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

ln(|x^2 + 1|) + C

Answer

sen(x) + C

Answer

1/(x^2 + 1) + C