Límites y continuidad: Aprende y practica con cuestionarios interactivos

Question 1

La función f(x) = |x - 1| es continua en el intervalo:

Accepted Answer

(-∞, ∞)

Answer

Ninguno

Answer

[-1, 1]

Answer

[0, 2]

Question 2

Calcula el límite de la función f(x) = (x³ - 8) / (x² - 4) cuando x se aproxima a 2.

Accepted Answer

4

Answer

-4

Answer

8

Answer

Indeterminado

Question 3

¿Cuál es el límite de la función f(x) = (x² - 1) / (x - 1) cuando x tiende a 1?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

El límite no existe.

Question 4

¿Cuál es la condición suficiente para que una función definida a trozos sea continua en un punto?

Accepted Answer

Que los límites laterales existan y sean iguales.

Answer

Que la función esté definida en ese punto.

Answer

Que la función sea derivable en ese punto.

Answer

Ninguna de las anteriores.

Question 5

Clasifica la discontinuidad de la función f(x) = |x| en x = 0.

Accepted Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad evitable

Answer

Discontinuidad esencial

Answer

La función es continua en x = 0

Question 6

¿Cuál de las siguientes funciones NO es continua en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sen(x)

Question 7

Dada la función f(x) = { x si x es racional, 0 si x es irracional }, ¿es continua en algún punto?

Accepted Answer

No, en ningún punto

Answer

Sí, en todos los puntos

Answer

Solo en los puntos racionales

Answer

Solo en los puntos irracionales

Question 8

Determina si la función f(x) = |x| es continua en x = 0.

Accepted Answer

Continua a izquierda y derecha, pero no en x = 0

Answer

Continua en x = 0 por definición

Answer

Continua a la izquierda, pero no a la derecha

Answer

No es continua en x = 0

Question 9

Calcula el límite de f(x) = (sen(x) - x) / x cuando x tiende a 0.

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Answer

Indeterminado

Question 10

Sobre el límite de una función cuando x tiende a infinito, ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

Accepted Answer

El límite puede ser infinito o finito

Answer

El límite siempre es finito

Answer

El límite es siempre cero

Answer

El límite no existe

Question 11

¿Cuál de las siguientes es la **definición** de límite?

Accepted Answer

El valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a un valor dado.

Answer

La pendiente de la tangente a la gráfica de la función en un punto determinado.

Answer

El área bajo la curva de la función entre dos puntos.

Answer

El máximo o mínimo de la función en un intervalo dado.

Question 12

¿En cuál de los siguientes puntos la función f(x) = ln(x-2) es **continua**?

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

Ninguno de los anteriores

Question 13

¿El límite de la función f(x) = (x^2 + 2x - 3)/(x - 1) cuando x tiende a 1 es:

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

4

Question 14

¿Cuál de los siguientes teoremas permite determinar la **continuidad** de una función en un intervalo?

Accepted Answer

Teorema de Continuidad

Answer

Teorema del Valor Intermedio

Answer

Teorema del Valor Extremo

Answer

Teorema de Rolle

Question 15

¿Cómo empleamos el concepto de límite para determinar la convergencia o divergencia de series?

Accepted Answer

Calculando el límite de la serie cuando el número de términos se aproxima al infinito.

Answer

Sumando los términos de la serie hasta que se aproximen a cero.

Answer

Comparando la serie con otra serie convergente o divergente.

Answer

Aplicando el teorema del valor medio a la serie.

Question 16

La función f(x) = {x², si x ≤ 0, -x², si x > 0} es:

Accepted Answer

Discontinua en el origen.

Answer

Continua en el origen.

Answer

Derivable en el origen.

Answer

Continua pero no derivable en el origen.

Question 17

La función f(x) = (x³ - 8) / (x - 2) tiene una asíntota vertical en:

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = -2

Answer

y = 2

Answer

y = -2

Question 18

La función f(x) = 1 / (x² - 4) tiene asíntotas horizontales en:

Accepted Answer

y = 0

Answer

y = 2

Answer

y = -2

Answer

No tiene asíntotas horizontales

Question 19

La función f(x) = {1, si x es racional, 0, si x es irracional} es:

Accepted Answer

Discontinua en todos los reales.

Answer

Continua en todos los reales.

Answer

Continua en los racionales e irracionales.

Answer

Discontinua solo en los irracionales.

Question 20

¿Cómo se utiliza el límite en infinito para analizar el comportamiento asintótico de una función?

Accepted Answer

Determina si la función tiende a un valor finito o infinito cuando x tiende a infinito.

Answer

Calcula la derivada de la función en infinito.

Answer

Comprueba si la función es continua en infinito.

Question 21

¿En qué punto es discontinua la función f(x) = |x|?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

f(x) es continua en todos los puntos

Question 22

Considera la función f(x) = { x si x ≤ 1, x² si x > 1 }. ¿En qué punto es discontinua la función?

Accepted Answer

Solo en x = 1

Answer

Ningún punto

Answer

En todos los puntos del dominio

Answer

En x = 1 y x ≠ 1

Question 23

Determina si la función f(x) = x³ - 2x² + 4 es continua en x = 0.

Accepted Answer

Es continua

Answer

No es continua

Question 24

Calcula el valor de c para el que la función f(x) = x² si x ≤ 1 y f(x) = 2x - c si x > 1 sea continua en x = 1.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 25

Sea $f(x) = 1 / (x^2 - 4)$. ¿En qué intervalos la función es creciente?

Accepted Answer

(-∞, -2) y (2, ∞)

Answer

(-2, 2)

Answer

(2, ∞)

Answer

En ningún intervalo

Question 26

Sea f(x) = x^3 - 2x^2 + 1. ¿En qué intervalo es f(x) continua?

Accepted Answer

Todo el conjunto de los números reales

Answer

(-∞, -1) U (1, ∞)

Answer

(0, 1)

Question 27

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo I. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta:

Accepted Answer

f(x) / g(x) es continua en I (siempre que g(x) ≠ 0)

Answer

f(x) + g(x) es continua en I

Answer

f(x) - g(x) es continua en I

Answer

f(x) * g(x) es continua en I

Question 28

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un intervalo I. Si lim h->0 f(x + h) = L y lim h->0 g(x + h) = M, ¿cuál es el valor de lim h->0 [f(x + h) + g(x + h)]?

Accepted Answer

L + M

Answer

L - M

Answer

M - L

Answer

No existe

Question 29

¿En qué intervalo la función $f(x) = rac{1}{x^2-1}$ es continua?

Accepted Answer

$(-infty, -1) cup (-1, 1) cup (1, infty)$

Answer

$(-1, 1)$

Answer

$(-infty, -1) cup (1, infty)$

Answer

No existe un intervalo donde sea continua

Question 30

¿Qué teorema nos permite hallar el límite de una función compuesta?

Accepted Answer

Teorema del límite de una composición

Answer

Teorema del límite de una suma

Answer

Teorema del límite de un producto

Answer

Teorema del límite del exponente

Question 31

Calcula el límite de la función f(x) = e^(x²) cuando x tiende a 0.

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

e

Question 32

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la función f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

Es continua en el intervalo (0, ∞).

Answer

Es continua en el intervalo (-∞, 0).

Answer

Es continua en el intervalo (-∞, ∞).

Question 33

Calcula el límite de la función f(x) = (sen x) / (1 - cos x) cuando x tiende a π/2.

Accepted Answer

-1

Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Question 34

¿Cuál de las siguientes funciones es discontinua en el punto x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = sen x

Question 35

Sea la función f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2). ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a 2?

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

2

Answer

No existe

Question 36

Si lim_(x->a) f(x) = L y lim_(x->a) g(x) = M, ¿cuál es el límite de f(x) + g(x) cuando x tiende a a?

Accepted Answer

L + M

Answer

L - M

Answer

L / M

Answer

L * M

Question 37

Sea la función f(x) = |x|. ¿Es f(x) continua en x = 0?

Accepted Answer

Sí

Answer

No se puede determinar

Answer

Depende del valor de x

Answer

No

Question 38

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en todo su dominio?

Accepted Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = |x| / x

Answer

f(x) = 1 / x

Question 39

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b]. Si f(a) < 0 y f(b) > 0, ¿qué podemos concluir?

Accepted Answer

Existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que f(c) = 0

Answer

La función tiene un máximo local en el intervalo (a, b)

Answer

La función no tiene raíces en el intervalo (a, b)

Question 40

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

Accepted Answer

f(x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en el intervalo [a, b]

Answer

f(x) es una función decreciente en el intervalo [a, b]

Answer

f(x) es una función creciente en el intervalo [a, b]

Question 41

Calcula el límite de la función f(x) = (x^3 - 8) / (x - 2) cuando x tiende a 2.

Accepted Answer

12

Answer

No existe

Answer

8

Answer

0

Question 42

¿Cuál es el límite de la función f(x) = (sin(x)) / x cuando x tiende a 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

No existe

Question 43

Sea la función f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1). ¿Cuál es el valor de f(1) que hace que la función sea continua en x = 1?

Accepted Answer

2

Answer

No se puede hacer continua

Answer

0

Answer

1

Question 44

Sea la función f(x) = (x^2 - 9) / (x + 3). ¿En qué punto la función es discontinua?

Accepted Answer

x = -3

Answer

x = 3

Answer

No tiene puntos de discontinuidad

Answer

x = 0

Question 45

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el límite de una función es **FALSA**?

Accepted Answer

El límite de una función en un punto siempre existe.

Answer

El límite de una función en un punto puede no ser igual al valor de la función en ese punto.

Answer

El límite de una función en un punto puede ser infinito.

Question 46

Calcula  $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

2

Question 47

Sea $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ para $x \neq 1$, y $f(1) = 3$. ¿Es $f(x)$ continua en $x = 1$?

Accepted Answer

No, porque $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$.

Answer

No se puede determinar la continuidad de  $f(x)$ en $x=1$.

Answer

Sí, porque $f(1)$ está definido.

Answer

Sí, porque $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe.

Question 48

Si $f(x)$ es continua en el intervalo $[a, b]$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones **NO** está garantizada por el Teorema del Valor Intermedio?

Accepted Answer

Existe un punto $c$ en $(a,b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Answer

La función $f(x)$ alcanza un máximo absoluto en el intervalo $[a,b]$.

Answer

Si $f(a) < 0$ y $f(b) > 0$, entonces existe un punto $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c) = 0$.

Question 49

Dada la función $f(x) = \frac{1}{x}$, ¿en qué punto $x$ la función tiene una asíntota vertical?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

y = 0

Question 50

Determina $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{3x^2 - 5}$.

Accepted Answer

$\frac{2}{3}$

Answer

$\infty$

Answer

-$\frac{1}{5}$

Answer

0

Question 51

¿Cuál de las siguientes funciones presenta una discontinuidad evitable en $x = 2$?

Accepted Answer

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Answer

$j(x) = |x - 2|$

Answer

$h(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 2 \ x - 1 & \text{si } x \ge 2  \end{cases}$

Answer

$g(x) = \frac{1}{x - 2}$

Question 52

Sea $f(x)$ una función tal que $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2$ y $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5$. ¿Qué se puede concluir sobre $\lim_{x \to 3} f(x)$?

Accepted Answer

El límite no existe.

Answer

El límite es 2.

Answer

El límite es 3.5.

Answer

El límite es 5.

Question 53

Una función $f(x)$ es continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si...

Accepted Answer

Es continua en cada punto del intervalo $(a,b)$.

Answer

No tiene asíntotas verticales en el intervalo $(a,b)$.

Answer

Existe el límite en cada punto del intervalo $(a,b)$.

Question 54

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en todos los números reales?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Question 55

Calcula el límite de la función f(x) = (x² - 4) / (x - 2) cuando x tiende a 2.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

0

Answer

No existe

Question 56

¿Cuál es el valor de la constante a para que la función f(x) = { x² + 2 si x < 2, ax + 4 si x ≥ 2 } sea continua en x = 2?

Accepted Answer

4

Answer

6

Answer

2

Question 57

Sea f(x) = sen(x). ¿En qué punto(s) la función es discontinua?

Accepted Answer

Cualquier número entero múltiplo de π

Answer

x = π / 2

Answer

x = 0

Answer

No es discontinua en ningún punto

Question 58

Determina si la función f(x) = 1 / (x² - 1) es continua en x = 1.

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua por la derecha pero no por la izquierda

Answer

Es continua por la izquierda pero no por la derecha

Answer

Es continua

Question 59

Si la función f(x) es continua en x = 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a 0 es igual a f(0).

Answer

La función f(x) es derivable en x = 0.

Answer

La derivada de f(x) en x = 0 es igual a 0.

Question 60

Encuentra el valor de la constante c para que la función f(x) = { x² + 2 si x ≤ 1, cx - 1 si x > 1 } sea continua en x = 1.

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

5

Question 61

¿Cuál de los siguientes teoremas garantiza la continuidad de una función racional?

Accepted Answer

Teorema del Cociente

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema del Valor Medio

Answer

Teorema Fundamental del Cálculo

Question 62

Si f(x) y g(x) son ambas continuas en x = a, ¿cuál de las siguientes operaciones garantiza que h(x) = f(x) + g(x) sea continua en x = a?

Accepted Answer

Suma

Answer

Multiplicación

Answer

Resta

Answer

División

Question 63

Determina si la función f(x) = x / (x² - 1) es continua en x = -1.

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua

Answer

Es continua por la derecha pero no por la izquierda

Answer

Es continua por la izquierda pero no por la derecha

Question 64

Sea f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2). ¿Cuál es el valor del límite de f(x) cuando x tiende a 2?

Accepted Answer

4

Answer

No existe

Answer

2

Answer

0