Números complejos: Aprende y practica con cuestionarios interactivos

Question 1

¿Cuál de las siguientes opciones representa la forma polar del número complejo $$z = 3e^{iπ/4}$$?

Accepted Answer

(3, π/4)

Answer

(-3, -π/4)

Answer

(3, -π/4)

Answer

(-3, π/4)

Question 2

Un número complejo $z$ cumple que $z cdot overline{z} = 25$. Calcula $a^2 + b^2$, donde $z = a + bi$:

Accepted Answer

$a^2 + b^2$

Answer

$a - b$

Answer

$a^2 - b^2$

Question 3

¿Qué es el Argumento Principal de un número complejo y por qué es importante en su representación polar única?

Accepted Answer

Es el ángulo que forma el vector del número complejo con el eje real positivo, permitiendo una representación única.

Answer

Es el ángulo que forma el vector del número complejo con el eje imaginario positivo, siempre entre 0 y 90 grados.

Answer

Es el ángulo formado por la parte real e imaginaria, siempre menor que π/2 radianes.

Answer

Es un valor arbitrario sin significado geométrico.

Question 4

¿Cuál es la principal aplicación de la forma polar de los números complejos en ingeniería eléctrica?

Accepted Answer

El análisis de circuitos eléctricos, incluyendo el cálculo de impedancias y desfases.

Answer

El diseño de antenas para comunicación inalámbrica.

Answer

La simulación de sistemas de control utilizando software especializado.

Question 5

¿Qué es el **módulo** de un número complejo? Proporciona su fórmula matemática.

Accepted Answer

La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes real e imaginaria: |z| = √(a² + b²) donde z = a + bi

Answer

Su parte real

Answer

Siempre mayor que su argumento

Answer

Su conjugado

Question 6

¿Cuál es la forma binómica del número complejo $z=3+2i$?

Accepted Answer

$z=3+2i$

Answer

$z=2+3i$

Answer

$z=3-2i$

Answer

$z=2-3i$

Question 7

¿Cuál de las siguientes fórmulas representa correctamente la fórmula de De Moivre para elevar un número complejo a una potencia entera positiva `n`?

Accepted Answer

Para cualquier número complejo `z = a + bi` y un entero positivo `n`, `z^n = (a^2 + b^2)^(n/2) * (cos(n * arg(z)) + i * sen(n * arg(z)))`.

Answer

Para cualquier número complejo `z = a + bi` y un entero positivo `n`, `z^n = a^n + b^n * i`.

Answer

Para cualquier número complejo `z = a + bi` y un entero positivo `n`, `z^n = (a^n - b^n) + i * (a^n + b^n)`.

Answer

Para cualquier número complejo `z = a + bi` y un entero positivo `n`, `z^n = (a + b)^n`.

Question 8

¿Qué es la raíz cuadrada de un número complejo? Proporciona un ejemplo de cómo calcularla.

Accepted Answer

Un número complejo que, al elevarlo al cuadrado, da como resultado el número complejo original

Answer

Un número real no negativo

Answer

Un número complejo con la misma parte real e imaginaria

Answer

La raíz cuadrada de un número complejo no existe

Question 9

¿Cuál de las siguientes expresiones no representa un número complejo?

Accepted Answer

π

Answer

2 + 3i

Answer

4 - i√5

Answer

i

Question 10

Calcula el módulo del número complejo z = 3 + 4i.

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

12

Answer

20

Question 11

Dados los números complejos z = 2 + 3i y w = 1 - 2i, calcula z * w.

Accepted Answer

11 - 5i

Answer

5 - i

Answer

-5 + i

Answer

-11 - 5i

Question 12

Calcula la suma de los dos primeros términos de la sucesión (1 + i)^n

Accepted Answer

2 + i

Answer

0

Answer

1

Answer

2

Question 13

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (2 + 3i) + (4 - 5i)?

Accepted Answer

6 + 2i

Answer

6 - 2i

Answer

2 - 2i

Answer

4 + 8i

Question 14

¿Cuál es el conjugado del número complejo z = 5 - 2i?

Accepted Answer

5 + 2i

Answer

5 - 2i

Answer

-5 + 2i

Answer

-5 - 2i

Question 15

Multiplicar los números complejos z = 1 + 2i y w = 3 - 4i. Expresa el resultado en forma a + bi.

Accepted Answer

-5 + 10i

Answer

5 + 10i

Answer

-5 - 10i

Answer

5 - 10i

Question 16

¿Cuál es la unidad imaginaria en el conjunto de los números complejos?

Accepted Answer

i

Answer

j

Question 17

Calcula $z^2$ para el número complejo $z = 1 + i$.

Accepted Answer

2

Answer

1

Question 18

Calcula la diferencia entre los números complejos $z_1 = 3 + 2i$ y $z_2 = 1 - i$.

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

2 - 3i

Question 19

Determina la forma polar del número complejo $z = -3 - 4i$.

Accepted Answer

5left(cos{rac{5pi}{4}} + isin{rac{5pi}{4}}ight)

Answer

5left(cos{rac{3pi}{4}} + isin{rac{3pi}{4}}ight)

Question 20

El número complejo $3-4i$ se representa gráficamente como un punto en:

Accepted Answer

El plano complejo

Answer

El eje real

Answer

El eje imaginario

Answer

Ninguno de los anteriores

Question 21

La forma polar del número complejo $3+4i$ es:

Accepted Answer

5(cos 53° + i sen 53°)

Answer

5(cos 53° - i sen 53°)

Answer

5(sen 53° + i cos 53°)

Answer

Ninguno de los anteriores

Question 22

El argumento del número complejo $-1+i$ es:

Accepted Answer

135°

Answer

45°

Answer

225°

Answer

315°

Question 23

¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a $i^4$?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

i

Answer

-i

Question 24

Expresa en forma polar el número complejo $z = 3sqrt{2} left(cos left(rac{pi}{4}ight) + i space sin left(rac{pi}{4}ight)ight)$.

Accepted Answer

$(3sqrt{2}, rac{pi}{4})

Answer

$(3sqrt{2}, -rac{pi}{4})

Answer

$(6, rac{pi}{4})

Answer

$(6, -rac{pi}{4})

Question 25

Calcula la conjugada del número complejo $z = 5 - 2i$.

Accepted Answer

5 + 2i

Answer

5 - 2i

Answer

-5 + 2i

Answer

-5 - 2i

Question 26

Calcula el módulo del número complejo $z = 3i$

Accepted Answer

3

Answer

0

Answer

1

Answer

9

Question 27

Determina el argumento del número complejo $z = 1 - i$

Accepted Answer

π/4

Answer

0

Answer

π/2

Answer

3π/4

Question 28

Resuelve la ecuación $z^2 + 2z + 5 = 0$

Accepted Answer

Soluciones complejas y conjugadas

Answer

Soluciones reales y distintas

Answer

Soluciones reales y coincidentes

Answer

Soluciones imaginarias y distintas

Question 29

Calcula el módulo del número complejo z = 4 + 3i.

Accepted Answer

5

Answer

25

Answer

1

Answer

25i

Question 30

¿Cuál es el conjugado del número complejo z = 2 + 5i?

Accepted Answer

2 - 5i

Answer

2 + 5i

Answer

-2 - 5i

Answer

-2 + 5i

Question 31

¿Qué define a un número complejo?

Accepted Answer

Un número expresable como a + bi, donde a y b son reales e i es la unidad imaginaria.

Answer

Un número representable como un punto en el plano cartesiano.

Answer

Un número con partes real e imaginaria.

Answer

Un número que no puede escribirse como fracción de enteros.

Question 32

Calcula (3 + 4i) - (2 - 5i).

Accepted Answer

5 + 9i

Answer

5 - 9i

Answer

1 + i

Answer

-1 + i

Question 33

Transforma 2√2(cos(π/4) + i sen(π/4)) a forma cartesiana.

Accepted Answer

√2 + √2i

Answer

√2 - √2i

Answer

2 + 2i

Answer

2 - 2i

Question 34

¿Qué expresión representa un número complejo en forma binómica?

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

4 - 5

Answer

6i

Answer

7 + 0i

Question 35

Calcula el producto del conjugado y el inverso del número complejo (3 - 4i).

Accepted Answer

25

Answer

5

Answer

1

Answer

0

Question 36

¿Cómo se representan las oscilaciones periódicas mediante números complejos?

Accepted Answer

Como vectores giratorios en el plano complejo.

Answer

Como sumas de ondas sinusoidales.

Answer

Como ecuaciones que describen el movimiento oscilatorio.

Answer

Como gráficas de funciones trigonométricas.

Question 37

¿Cuál es el propósito principal de la unidad imaginaria (i) en los números complejos?

Accepted Answer

Extender el conjunto de números reales para incluir raíces cuadradas de números negativos.

Answer

Simplificar operaciones con números racionales.

Answer

Representar números en el plano complejo usando coordenadas cartesianas.

Question 38

¿Cómo se relaciona la forma polar de un número complejo con su representación gráfica en el plano complejo?

Accepted Answer

El módulo representa la distancia al origen y el argumento, el ángulo con el eje real.

Answer

El argumento representa la distancia al origen y el módulo, el ángulo con el eje real.

Answer

Tanto el módulo como el argumento representan distancias al origen.

Answer

Tanto el módulo como el argumento representan ángulos.

Question 39

¿Cuál es la representación gráfica en el plano complejo del número complejo 2 - 3i?

Accepted Answer

Punto (-2, -3)

Answer

Punto (-3, 2)

Answer

Punto (2, 3)

Answer

Punto (3, -2)

Question 40

Sea $z = 3 + 4i$. Calcula el valor de su módulo.

Accepted Answer

5

Answer

-5

Answer

1

Answer

7

Question 41

¿Cuál es la forma binómica del número complejo $5(cos 60° + i sen 60°)$?

Accepted Answer

2,5 + 4,33i

Answer

5(cos 30° + i sen 30°)

Answer

4,33 + 2,5i

Answer

No se puede convertir a la forma binómica.

Question 42

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $i^2$?

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

2

Answer

0

Question 43

¿Cuál es la forma polar del número complejo $2+2i$?

Accepted Answer

$(2sqrt{2}, rac{pi}{4})$

Answer

$(1+i, rac{pi}{2})$

Answer

No tiene forma polar

Answer

$(2sqrt{2}, -rac{pi}{4})$

Question 44

¿Cuál de las siguientes representaciones gráficas corresponde al conjunto de números complejos $z$ tales que $|z-2| = 1$?

Accepted Answer

Una circunferencia de centro 2 y radio 1

Answer

Una línea vertical que pasa por $x=2$

Answer

Una parábola con vértice en $x=2$

Answer

Un círculo con centro en el origen y radio 2

Question 45

Encuentra el producto de los números complejos $(1+i)$ y $(2-i)$.

Accepted Answer

3 + i

Answer

3 - i

Answer

-3 + i

Answer

1 + 3i

Question 46

Determina si el número complejo $z = 2+3i$ es un número real, un número imaginario o un número complejo.

Accepted Answer

Número complejo

Answer

Número imaginario

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

Número real

Question 47

Resuelve la ecuación $(x+2i)(x-2i) = 0$.

Accepted Answer

$x = pm2$

Answer

$x = pm4$

Answer

$x = pm2i$

Question 48

El conjugado del número complejo 3 - 4i es:

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

-3 - 4i

Answer

-3 + 4i

Answer

4 + 3i

Question 49

La raíz cuadrada del número complejo 9i es:

Accepted Answer

3√2 (cos 45º + i sen 45º) o 3√2 (cos 225º + i sen 225º)

Answer

3√2 (cos 135º + i sen 135º)

Answer

3√2 (cos 225º + i sen 225º)

Answer

3√2 (cos 45º + i sen 45º)

Question 50

El módulo del número complejo 5 - 12i es:

Accepted Answer

13

Answer

17

Answer

7

Answer

5

Question 51

Calcula la suma de los números complejos (4 - 2i) + (-1 + 5i):

Accepted Answer

3 + 3i

Answer

5 + 3i

Answer

5 - 7i

Answer

-3 - 3i

Question 52

La representación gráfica del número complejo -3 - 4i en el plano complejo se encuentra en el:

Accepted Answer

Tercer cuadrante

Answer

Primer cuadrante

Answer

Segundo cuadrante

Answer

Cuarto cuadrante

Question 53

Si z = 2 + 3i y w = 1 - i, ¿cuál es el valor de z + w?

Accepted Answer

3 + 2i

Answer

3 - 4i

Answer

1 + 4i

Answer

1 - 2i

Question 54

Calcula el producto de (1 + i) y (2 - i).

Accepted Answer

3 + i

Answer

1 - 3i

Answer

3 - i

Answer

1 + 3i

Question 55

¿Cuál es el conjugado del número complejo 4 - 5i?

Accepted Answer

4 + 5i

Answer

-4 - 5i

Answer

5 - 4i

Answer

-4 + 5i

Question 56

El módulo del número complejo z = -3 + 4i es:

Accepted Answer

5

Answer

√7

Answer

7

Answer

25

Question 57

La representación gráfica del número complejo -2 - 2i en el plano complejo se encuentra en el:

Accepted Answer

Tercer cuadrante

Answer

Primer cuadrante

Answer

Segundo cuadrante

Answer

Cuarto cuadrante

Question 58

Convierte el número complejo z = 2(cos(π/3) + i sen(π/3)) a su forma binómica.

Accepted Answer

1 + √3 i

Answer

√3 - i

Answer

1 - √3 i

Answer

√3 + i

Question 59

Si z = 2√2 (cos(π/4) + i sen(π/4)), ¿cuál es el argumento principal de z?

Accepted Answer

π/4

Answer

3π/4

Answer

π/2

Answer

π

Question 60

Encuentra las raíces cuadradas de -16.

Accepted Answer

4i y -4i

Answer

2i y -2i

Answer

4 y -4

Answer

8i y -8i