Aplicaciones de las integrales: Cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de arco

Question 1

Calcula el área de la región limitada por las funciones f(x) = x² y g(x) = 2x:

Accepted Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

1

Answer

1/2

Question 2

Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las funciones f(x) = x e y = 4 alrededor del eje x:

Accepted Answer

32π/5

Answer

16π/5

Answer

64π/5

Answer

128π/5

Question 3

Calcula la fuerza de flotación sobre un objeto sumergido en un líquido de densidad ρ, donde el volumen del objeto es V:

Accepted Answer

ρgV

Answer

gρV

Answer

ρV/g

Question 4

Calcula la longitud de arco de la curva y = ln(x) entre x = 1 y x = e.

Accepted Answer

∫₁ᵉ √(1 + 1/x²) dx

Answer

∫₁ᵉ √(1 + 1/x) dx

Answer

∫₁ᵉ √(1 - 1/x²) dx

Answer

∫₁ᵉ √(1 - 1/x) dx

Question 5

Un objeto se mueve con una velocidad de v(t) = t² + 1 m/s. ¿Qué distancia total recorre el objeto entre t = 0 y t = 2 segundos?

Accepted Answer

∫₀² (t² + 1) dt

Answer

∫₀² (2t + 1) dt

Answer

∫₀² (t² + 1)² dt

Answer

∫₀² (2t + 1)² dt

Question 6

Una fuerza F(x) = x³ N actúa sobre un objeto que se mueve a lo largo del eje x desde x = 0 hasta x = 2 m. ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el objeto?

Accepted Answer

∫₀² x³ dx

Answer

∫₀² (x³)² dx

Answer

∫₀² 3x² dx

Answer

∫₀² 3x² dx

Question 7

La velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo está dada por v(t) = 2t + 1 m/s. ¿Cuál es la posición del objeto en el tiempo t = 3 segundos si su posición inicial es x(0) = 2 metros?

Accepted Answer

x(3) = 14 metros

Answer

x(3) = 11 metros

Answer

x(3) = 10 metros

Answer

x(3) = 7 metros

Question 8

¿Cuál es el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas y = x^2 e y = 4 alrededor del eje x?

Accepted Answer

64π/5

Answer

64π

Answer

32π/5

Question 9

Se desea construir una rampa de acceso para personas con discapacidad. Si la rampa debe tener una longitud de 10 metros y una altura de 1 metro, ¿qué ángulo debe formar la rampa con el suelo?

Accepted Answer

5,71°

Answer

20,87°

Answer

10,43°

Answer

15,15°

Question 10

El área bajo la curva y = x^3 + 2x^2 - x + 1 entre x = 0 y x = 2 es:

Accepted Answer

13/2

Answer

9/2

Answer

5/2

Answer

7/2

Question 11

La longitud del arco de la parábola y = x^2 entre x = 0 y x = 2 es:

Accepted Answer

8/3(sqrt(13) - 1)

Answer

4/3(sqrt(13) + 1)

Answer

4/3(sqrt(13) - 1)

Answer

8/3(sqrt(13) + 1)

Question 12

Un tanque se llena a una velocidad constante de 5 litros por minuto. Si el tanque inicialmente contiene 10 litros, ¿cuántos litros habrá en el tanque después de 30 minutos?

Accepted Answer

160

Answer

150

Answer

180

Answer

170

Question 13

¿Cuál es la masa de una varilla cuya densidad es dada por la función ρ(x) = x^2 + 1 si la varilla tiene una longitud de 5?

Accepted Answer

125/3

Answer

100/3

Answer

150/3

Question 14

Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad dada por la función v(t) = 3t^2 - 2t + 1. ¿Cuál es la distancia recorrida por el objeto entre t = 0 y t = 2?

Accepted Answer

14

Answer

10

Answer

18

Question 15

¿Cuál es el centro de masa de una lámina delgada con densidad constante ρ si la lámina está definida como la región limitada por las curvas y = x^2 e y = 4?

Accepted Answer

(0, 8/3)

Answer

(0, 4/3)

Answer

(0, 16/3)

Answer

(0, 32/3)

Question 16

¿Cuál es el momento de inercia alrededor del eje y de una lámina delgada con densidad constante ρ si la lámina está definida como la región limitada por las curvas y = x^2 e y = 4?

Accepted Answer

32π/15

Answer

64π/15

Answer

128π/15

Answer

16π/15

Question 17

Una presa tiene una sección transversal determinada por la función y = (1/4)x^2 + 1. Si la presa tiene una altura de 10 metros, ¿cuál es la fuerza total del agua sobre la presa?

Accepted Answer

1333,33

Answer

666,66

Answer

5333,32

Answer

2666,66

Question 18

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = x^2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 3.

Accepted Answer

8/3

Answer

26/3

Answer

16/3

Answer

4/3

Question 19

Se gira la región limitada por la gráfica de la función f(x) = √x, el eje x y la recta x = 4 alrededor del eje x. Encuentra el volumen del sólido resultante.

Accepted Answer

8π

Answer

16π/3

Answer

32π/3

Answer

16π

Question 20

Encuentra la longitud del arco de la curva y = x^(3/2) desde x = 0 hasta x = 4.

Accepted Answer

8/3(5√5 - 1)

Answer

16/3(5√5 - 1)

Answer

4/3(5√5 - 1)

Question 21

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad dada por v(t) = 2t + 1. Encuentra la distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 hasta t = 3.

Accepted Answer

12

Answer

18

Answer

6

Answer

9

Question 22

Una placa metálica tiene la forma de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = x^2, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2. Si la densidad de la placa es constante y es igual a 5 g/cm^2, ¿cuál es la masa de la placa?

Accepted Answer

40/3 g

Answer

20/3 g

Answer

80/3 g

Answer

10/3 g

Question 23

Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x^2 y g(x) = x alrededor del eje y.

Accepted Answer

π/6

Answer

π/3

Answer

π

Answer

π/2

Question 24

Encuentra la longitud de la curva y = ln(x) desde x = 1 hasta x = e.

Accepted Answer

√2

Answer

2

Answer

√3

Answer

1

Question 25

Una placa rectangular tiene una densidad variable dada por ρ(x, y) = x + y. Si la placa está limitada por los ejes coordenados y las rectas x = 2 e y = 3, ¿cuál es la masa total de la placa?

Accepted Answer

18

Answer

27

Answer

9

Answer

36

Question 26

Encuentra el área de la superficie del sólido generado al rotar la curva y = √x desde x = 0 hasta x = 4 alrededor del eje x.

Accepted Answer

π/6(17√17 - 1)

Answer

π/3(17√17 - 1)

Answer

π/2(17√17 - 1)

Question 27

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración dada por a(t) = 2t. Si la velocidad inicial de la partícula es 1 m/s, ¿cuál es su velocidad después de 2 segundos?

Accepted Answer

5 m/s

Answer

3 m/s

Answer

4 m/s

Answer

6 m/s

Question 28

Calcula el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y = √x, y = 0 y x = 4.

Accepted Answer

8/3

Answer

8

Answer

4

Answer

2

Question 29

¿Cuál es el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de las funciones y = x^2 e y = 4, alrededor del eje x?

Accepted Answer

(32π/5)

Answer

(8π/5)

Answer

(64π/5)

Answer

(16π/5)

Question 30

Calcula la longitud del arco de la función y = ln(x) desde x = 1 hasta x = e.

Accepted Answer

e - 1

Answer

e + 1

Answer

(e + 1)/2

Answer

(e - 1)/2

Question 31

¿Cuál es el centro de gravedad de la región limitada por las gráficas de las funciones y = x^2 e y = 4?

Accepted Answer

(2/3, 8/3)

Answer

(1, 8/3)

Answer

(1, 4)

Answer

(2/3, 3)

Question 32

Calcula el trabajo realizado por la fuerza F(x) = x^2 + 1 sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje x desde x = 0 hasta x = 2.

Accepted Answer

9

Answer

13

Answer

5

Question 33

¿Cuál es la presión hidrostática sobre un panel rectangular de 2 metros de alto sumergido verticalmente en un líquido con densidad ρ = 1000 kg/m³, donde el panel superior está a una profundidad de 1 metro?

Accepted Answer

10000

Answer

5000

Answer

20000

Answer

15000

Question 34

Calcula la masa del objeto con densidad ρ(x) = x^2 en el intervalo [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

16/3

Answer

32/3

Answer

4

Question 35

¿Cuál es el momento de inercia de un objeto con densidad ρ(x) = 2x en el intervalo [0, 1], respecto al eje x?

Accepted Answer

1/3

Answer

1/6

Answer

1

Answer

2/3

Question 36

Calcula la coordenada x del centroide de la región limitada por las gráficas de las funciones y = x y y = x^2.

Accepted Answer

3/5

Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

2/5

Question 37

¿Cuál es el valor de la integral impropia ∫[0, ∞) e^(-x) dx?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

∞

Question 38

Calcula el área de la región limitada por la curva  y = x² + 1, el eje x, y las rectas x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

7/3 unidades cuadradas

Answer

10/3 unidades cuadradas

Answer

4 unidades cuadradas

Answer

8/3 unidades cuadradas

Question 39

Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = √x, el eje x y la recta x = 4 alrededor del eje x.

Accepted Answer

32π/3 unidades cúbicas

Answer

8π unidades cúbicas

Answer

16π/3 unidades cúbicas

Question 40

Calcula la longitud de arco de la curva y = ln(x) desde x = 1 hasta x = e.

Accepted Answer

√2 unidades

Answer

2 unidades

Answer

e - 1 unidades

Answer

e unidades

Question 41

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad dada por v(t) = 2t + 1. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula entre t = 0 y t = 3?

Accepted Answer

12 unidades

Answer

3 unidades

Answer

9 unidades

Answer

6 unidades

Question 42

Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x² y y = x.

Accepted Answer

1/6 unidades cuadradas

Answer

1/3 unidades cuadradas

Answer

1/2 unidades cuadradas

Question 43

Determina el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = e^x, el eje x, y las rectas x = 0 y x = 1 alrededor del eje y.

Accepted Answer

π(e² - 1) unidades cúbicas

Answer

π(e² + 1) unidades cúbicas

Answer

πe² unidades cúbicas

Answer

π(e - 1) unidades cúbicas

Question 44

¿Cuál es la longitud de arco de la curva y = x^(3/2) desde x = 0 hasta x = 4?

Accepted Answer

(8/3)(√10 - 1) unidades

Answer

(4/3)(√10 + 1) unidades

Answer

(4/3)(√10 - 1) unidades

Answer

(8/3)(√10 + 1) unidades

Question 45

Una fuerza de F(x) = x² newtons actúa sobre un objeto que se mueve a lo largo del eje x desde x = 0 hasta x = 2 metros. ¿Cuánto trabajo se realiza?

Accepted Answer

8/3 joules

Answer

4 joules

Answer

2 joules

Answer

16/3 joules

Question 46

Calcula el área de la región limitada por las curvas y = sin(x) y y = cos(x) en el intervalo [0, π/4].

Accepted Answer

√2 - 1 unidades cuadradas

Answer

1 - √2 unidades cuadradas

Answer

√2 + 1 unidades cuadradas

Answer

1 + √2 unidades cuadradas

Question 47

Un tanque tiene la forma de un cono invertido con radio de la base de 4 metros y altura de 8 metros. Si el tanque está lleno de agua, ¿cuál es el trabajo necesario para bombear toda el agua por encima del borde del tanque?

Accepted Answer

64000π joules

Answer

32000π joules

Answer

128000π joules

Answer

16000π joules