Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior: Cálculo para Matemáticas Conocimientos Generales

Question 1

¿Cuál de los siguientes métodos NO es utilizado principalmente para resolver ecuaciones diferenciales no lineales?

Accepted Answer

Método de separación de variables

Answer

Integración directa

Answer

Método de la variación de parámetros

Answer

Transformada de Laplace

Question 2

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial de Bessel de orden 0?

Accepted Answer

J0(x)

Answer

Y0(x)

Answer

I0(x)

Answer

K0(x)

Question 3

¿Es la siguiente ecuación diferencial lineal o no lineal? Justifica tu respuesta: y' = x + sen(y).

Accepted Answer

No lineal

Answer

Lineal

Question 4

Considera la ecuación diferencial y'' - 4y' + 3y = 0. ¿Cuál es su solución general?

Accepted Answer

y = c1e^x + c2e^-3x

Answer

y = c1cos(x) + c2sen(x)

Answer

y = c1x + c2

Answer

y = c1e^x + c2x

Question 5

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden separables?

Accepted Answer

Método de separación de variables

Answer

Método de variación de parámetros

Answer

Método de integración numérica

Answer

Método de factor integrante

Question 6

En la ecuación diferencial y' = y(y-1)(y-2), ¿cuál es el comportamiento de las soluciones cercanas al punto singular y = 0?

Accepted Answer

Decaen exponencialmente hacia y = 0

Answer

Crecen exponencialmente alejándose de y = 0

Answer

Oscilan alrededor de y = 0

Answer

Permanecen constantes en y = 0

Question 7

Considera la ecuación diferencial y'''' + y = 0. ¿Cuál es el orden y el grado de esta ecuación?

Accepted Answer

Orden 4, grado 1

Answer

Orden 4, grado 0

Answer

Orden 1, grado 4

Answer

Orden 0, grado 4

Question 8

El método adecuado para resolver la ecuación diferencial y'' - 4y' + 3y = 0 es el método de los polinomios característicos.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Question 9

El movimiento de proyectiles no es una aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior.

Accepted Answer

Falso

Answer

Verdadero

Question 10

La serie de potencias de la función y = exp(x) es ∑(n=0)^∞ (xⁿ/n!).

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Question 11

La teoría de Sturm-Liouville se utiliza para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales de la forma y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, donde p(x) y q(x) son funciones continuas.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Question 12

Resuelve la ecuación diferencial y' = x²y.

Accepted Answer

y = c₁e^(x³/3)

Answer

y = c₁x³

Answer

y = c₁sen(x²) + c₂cos(x²)

Answer

y = c₁eˣ + c₂e⁻ˣ

Question 13

¿En qué consiste el método de Frobenius para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con puntos singulares regulares?

Accepted Answer

Sustituir la solución general por una serie de potencias.

Answer

Factorizar el operador diferencial.

Answer

Utilizar la transformada de Laplace.

Answer

Resolver la ecuación característica.

Question 14

Define las ecuaciones diferenciales con retardo y explica su importancia en la modelización de situaciones reales.

Accepted Answer

Son ecuaciones donde la derivada de una función depende de sus valores en instantes previos.

Answer

Se resuelven fácilmente con métodos analíticos.

Answer

No tienen aplicaciones prácticas relevantes.

Answer

Son un tipo de ecuaciones diferenciales parciales.

Question 15

¿Qué representa la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n?

Accepted Answer

El conjunto de todas las soluciones particulares

Answer

Una solución específica que satisface las condiciones iniciales

Answer

El número de soluciones particulares linealmente independientes

Answer

La ecuación diferencial en su forma estándar

Question 16

Considera la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes: y'' - 4y = 0. ¿Cuál es su solución general?

Accepted Answer

y = c1 * e^(2x) + c2 * e^(-2x)

Answer

y = c1 * e^(4x) + c2 * e^(-4x)

Answer

y = c1 * sin(2x) + c2 * cos(2x)

Answer

y = c1 * x + c2

Question 17

Determina el tipo de punto singular de la ecuación diferencial: (x - 2)^2 * y'' + (x - 2) * y' - y = 0.

Accepted Answer

Punto singular regular en x = 2

Answer

Punto singular irregular en x = 0

Answer

Punto singular irregular en x = 2

Answer

Punto singular regular en x = 0

Question 18

¿Qué tipo de ecuación diferencial es: y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, donde p(x) y q(x) son funciones continuas y diferenciables?

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial no lineal de primer orden

Answer

Ecuación diferencial lineal inhomogénea de primer orden

Question 19

Una ecuación diferencial no lineal de tercer orden puede tener como solución general:

Accepted Answer

Una función con tres constantes arbitrarias.

Answer

Una función con una sola constante arbitraria.

Answer

Una función sin constantes arbitrarias.

Answer

Una función con un número infinito de constantes arbitrarias.

Question 20

Encuentra la solución particular de la ecuación diferencial y'' - 2y' + y = x^2, que satisface las condiciones iniciales y(0) = 1, y'(0) = 0.

Accepted Answer

y(x) = x^2 + 2x + 1

Answer

y(x) = x^2

Answer

y(x) = x^2 + 1

Answer

y(x) = x^2 + 2x

Question 21

La ecuación diferencial y'' + (1/x)y' + (1 - 1/x^2)y = 0 es una ecuación:

Accepted Answer

De Cauchy-Euler.

Answer

Lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

Answer

De Bernoulli.

Answer

No lineal de segundo orden.

Question 22

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial y'' + 4y = 0, dado que y(0) = 1 y y'(0) = 0.

Accepted Answer

y(x) = cos(2x)

Answer

y(x) = sin(2x)

Answer

y(x) = e^(2x)

Answer

y(x) = e^(-2x)

Question 23

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación diferencial lineal de tercer orden?

Accepted Answer

y''' + 2y'' + y' = 0

Answer

y'' + sin(y) = 0

Answer

y' + y^2 = 0

Answer

y' + y^3 = 0

Question 24

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 2y' + 5y = 0 es:

Accepted Answer

y(x) = e^(-x)(C1cos(2x) + C2sin(2x))

Answer

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Answer

y(x) = C1e^(-x) + C2e^(2x)

Answer

y(x) = C1e^(-x) + C2xe^(-x)

Question 25

¿Cuál de los siguientes métodos NO se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior?

Accepted Answer

Método de separación de variables

Answer

Método de variación de parámetros

Answer

Método de Laplace

Answer

Método de coeficientes indeterminados

Question 26

La ecuación diferencial y''' - 2y'' + y' = x² es una ecuación diferencial:

Accepted Answer

Lineal no homogénea de tercer orden

Answer

No lineal no homogénea de tercer orden

Answer

No lineal homogénea de tercer orden

Answer

Lineal homogénea de tercer orden

Question 27

La solución general de la ecuación diferencial y'' - 4y = 0 es:

Accepted Answer

y(x) = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ

Answer

y(x) = (C₁ + C₂x)e²ˣ

Answer

y(x) = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)

Question 28

Encuentra la solución particular de la ecuación diferencial y'' + y = x, que satisface las condiciones iniciales y(0) = 1, y'(0) = 0.

Accepted Answer

y(x) = x + 1 - sin(x)

Answer

y(x) = x - 1 + sin(x)

Answer

y(x) = x - 1 + cos(x)

Answer

y(x) = x + 1 - cos(x)

Question 29

La ecuación diferencial y'' + 2y' + y = 0 se puede resolver mediante el método de:

Accepted Answer

Ecuación característica

Answer

Coeficientes indeterminados

Answer

Separación de variables

Answer

Variación de parámetros

Question 30

En la ecuación diferencial y'' + 3y' + 2y = 0, la ecuación característica es:

Accepted Answer

r² + 3r + 2 = 0

Answer

r² + 2r + 3 = 0

Answer

r³ + 3r² + 2r = 0

Question 31

La ecuación diferencial y'' + 2y' + y = sin(x) es una ecuación diferencial:

Accepted Answer

Lineal no homogénea de segundo orden

Answer

Lineal homogénea de segundo orden

Answer

No lineal no homogénea de segundo orden

Answer

No lineal homogénea de segundo orden

Question 32

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 9y = 0 es:

Accepted Answer

y(x) = C₁cos(3x) + C₂sin(3x)

Answer

y(x) = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ

Answer

y(x) = C₁e⁻³ˣ + C₂e⁻⁹ˣ

Answer

y(x) = (C₁ + C₂x)e³ˣ

Question 33

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es lineal?

Accepted Answer

y'' + 2y' + 3y = 0

Answer

y'' + 2y' + 3y = sin(x)

Answer

y'' + 2y' + 3y = y^2

Answer

y'' + 2y' + 3y = e^x

Question 34

¿Qué tipo de punto singular tiene la ecuación diferencial y'' + (x^2 - 1)y' + xy = 0 en x = 0?

Accepted Answer

Regular

Answer

Esencial

Answer

Defectivo

Answer

Irregular

Question 35

¿Cuál es el orden de la ecuación diferencial parcial ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + u = 0?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

3

Answer

1

Question 36

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial y'' + 4y' + 4y = 0.

Accepted Answer

y(x) = (c1 + c2x)e^(-2x)

Answer

y(x) = c1e^(-x) + c2e^(-3x)

Answer

y(x) = c1cos(2x) + c2sin(2x)

Answer

y(x) = c1e^(2x) + c2e^(-2x)

Question 37

Encuentra la solución particular de la ecuación diferencial y'' - 2y' + y = e^x, con las condiciones iniciales y(0) = 1, y'(0) = 0.

Accepted Answer

y(x) = e^x + xe^x - 1

Answer

y(x) = e^x + xe^x + 1

Answer

y(x) = e^x + xe^x

Question 38

¿Cuál de las siguientes es una solución de la ecuación diferencial y''' - 3y'' + 3y' - y = 0?

Accepted Answer

y(x) = e^x

Answer

y(x) = sin(x)

Answer

y(x) = e^(-x)

Answer

y(x) = cos(x)

Question 39

Un objeto de masa m se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0. Si la única fuerza que actúa sobre el objeto es la gravedad, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe su movimiento?

Accepted Answer

m*y'' = -mg

Answer

m*y'' = mg

Answer

m*y' = -mg

Answer

m*y' = mg

Question 40

La ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 es llamada:

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial no lineal de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden

Question 41

El método de coeficientes indeterminados se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

Lineales no homogéneas con términos no homogéneos de forma específica.

Answer

No lineales.

Answer

Lineales homogéneas.

Question 42

La ecuación diferencial y'' + y = 0 tiene como solución general:

Accepted Answer

y(x) = c1cos(x) + c2sin(x)

Answer

y(x) = c1e^x + c2e^(-x)

Answer

y(x) = c1e^x

Answer

y(x) = c1 + c2x

Question 43

En una ecuación diferencial lineal de orden superior, el orden se refiere a:

Accepted Answer

La derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Answer

La variable independiente.

Answer

La cantidad de términos en la ecuación.

Question 44

La ecuación diferencial y'' + 2y' + y = sin(x) es una ecuación diferencial:

Accepted Answer

Lineal no homogénea de segundo orden.

Answer

Lineal homogénea de segundo orden.

Answer

No lineal de segundo orden.

Answer

De primer orden.

Question 45

Un circuito RLC se modela mediante una ecuación diferencial de segundo orden. ¿Cuál es la variable dependiente en este modelo?

Accepted Answer

La corriente o la carga en el circuito.

Answer

La capacitancia.

Answer

La inductancia.

Answer

La resistencia.

Question 46

¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es una ecuación diferencial de segundo orden?

Accepted Answer

y = x^2 + 1

Answer

y''' - 3y'' + 2y' = 0

Answer

y'' + sin(x)y' + x^2 y = 0

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Question 47

Resuelve la ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0.

Accepted Answer

y = c1e^(2x) + c2e^(-2x)

Answer

y = c1e^(4x) + c2e^(-4x)

Answer

y = c1cos(2x) + c2sen(2x)

Answer

y = c1x + c2

Question 48

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas?

Accepted Answer

Variación de parámetros

Answer

Ecuaciones de Euler

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Separación de variables

Question 49

Halla la solución general de la ecuación diferencial y''' + 2y'' + y' = 0.

Accepted Answer

y = c1 + c2e^(-x) + c3e^(-2x)

Answer

y = c1e^(-x) + c2sen(x) + c3cos(x)

Answer

y = c1x^2 + c2x + c3

Answer

y = c1e^x + c2e^(-x) + c3

Question 50

¿Cuál es la ecuación característica de la ecuación diferencial y'''' + 4y''' + 6y'' + 4y' + y = 0?

Accepted Answer

r^4 + 4r^3 + 6r^2 + 4r + 1 = 0

Answer

r^4 - 4r^3 + 6r^2 - 4r + 1 = 0

Answer

r^3 + 4r^2 + 6r + 4 + 1 = 0

Answer

r^3 + 4r^2 + 6r + 4 - 1 = 0

Question 51

Resuelve la ecuación diferencial y'' + 4y = sin(2x).

Accepted Answer

y = c1cos(2x) + c2sen(2x) - (x/2)cos(2x)

Answer

y = c1x + c2 + (x/2)cos(2x)

Answer

y = c1e^(2x) + c2e^(-2x) + (x/2)sin(2x)

Answer

y = c1cos(2x) + c2sen(2x) + (x/2)cos(2x)

Question 52

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Eliminación

Answer

Separación de variables

Answer

Sustitución

Answer

Transformada de Laplace

Question 53

Halla la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales: x' = y, y' = -x.

Accepted Answer

x = c1cos(t) + c2sen(t), y = -c1sen(t) + c2cos(t)

Answer

x = c1 + c2t, y = -c1 + c2t

Answer

x = c1x + c2, y = -c1x + c2

Answer

x = c1e^t + c2e^(-t), y = -c1e^t + c2e^(-t)

Question 54

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial y'' - y' = 0?

Accepted Answer

y = c1 + c2e^x

Answer

y = c1e^x + c2e^(-x)

Answer

y = c1x + c2

Answer

y = c1cos(x) + c2sen(x)

Question 55

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación diferencial no lineal?

Accepted Answer

y' = x + y^2

Answer

y''' + y'' - y' + y = 0

Answer

y' + 2y = 0

Answer

y'' - 4y' + 3y = 0