Técnicas de Integración: Aprende a Integrar con Sustitución, Partes y Fracciones Parciales

Question 1

Para integrar funciones racionales con factores complejos, ¿cómo se utilizan las fracciones parciales? Proporciona un ejemplo.

Accepted Answer

Factorizando el denominador en factores lineales y cuadráticos, y luego usando fracciones parciales para descomponer la función en una suma de funciones más simples.

Answer

Aplicando la regla de la cadena para integrar la función.

Answer

Racionalizando el denominador multiplicándolo por su conjugado.

Answer

Sustituyendo el numerador por una constante.

Question 2

En la técnica de integración por sustitución, ¿qué parte de la función original es reemplazada?

Accepted Answer

Una parte de la función

Answer

Toda la función

Answer

Ninguna parte de la función

Question 3

¿Cuál es la fórmula de integración por partes?

Accepted Answer

∫ u dv = uv - ∫ v du

Answer

∫ u dv = uv + ∫ v du

Answer

∫ u dv = u - ∫ v du

Question 4

Para integrar la función f(x) = sin(x^2), ¿cuál es el método de integración más apropiado?

Accepted Answer

Sustitución

Answer

Integración por partes

Answer

Fracciones parciales

Question 5

¿Cuál es la integral de la función f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

sen(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 6

¿Cuál es la fórmula correcta para la integración por sustitución?

Accepted Answer

∫[f(g(x)) * g'(x)] dx

Answer

∫[f'(x) / f(x)] dx

Answer

∫[f(x) / g(x)] dx

Answer

∫[g(x) / f(x)] dx

Question 7

Calcula la integral de ∫(1 / (x^2 - 4)) dx.

Accepted Answer

1 / 2 * arctan(x / 2) + C

Answer

1 / 2 * arctan(2x) + C

Answer

-1 / 2 * arctan(x / 2) + C

Answer

-1 / 2 * arctan(2x) + C

Question 8

¿Cuál es una condición esencial para que una integral impropia converja?

Accepted Answer

La integral de la función debe ser finita en el intervalo de integración.

Answer

La función debe ser continua en el intervalo de integración.

Answer

La función debe ser positiva en el intervalo de integración.

Answer

La función debe tener una asíntota vertical en el intervalo de integración.

Question 9

Determina si la integral ∫(e^(-x^2)) dx converge o diverge.

Accepted Answer

Converge

Answer

Diverge

Answer

No se puede determinar

Question 10

Para integrar ∫(x^2 + 1)^3 dx, ¿qué sustitución se utiliza?:

Accepted Answer

u = x^2 + 1

Answer

u = x

Answer

u = x^2

Answer

La sustitución no es aplicable.

Question 11

¿Cuál es el resultado de aplicar integración por partes a ∫x * e^x dx?

Accepted Answer

x * e^x - e^x + C

Answer

e^x - x * e^x + C

Answer

x * e^x + e^x + C

Answer

La integración por partes no es aplicable.

Question 12

¿Qué técnica de integración es adecuada para integrar ∫(x^3 + 2x^2 - 5) dx?

Accepted Answer

Suma de integrales

Answer

Sustitución

Answer

Integración por partes

Answer

Fracciones parciales

Question 13

Determina el resultado de la integral ∫(1 / x) dx:

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

x + C

Answer

1 / x + C

Answer

La integral no puede resolverse.

Question 14

Para integrar una función de la forma x^n, donde n es un número racional, se utiliza la fórmula:

Accepted Answer

x^(n+1)/(n+1) + C

Answer

x^(n-1)/(n-1) + C

Answer

nx^n + C

Answer

x^(-n) + C

Question 15

La integral de la función exponencial (e^x) es:

Accepted Answer

Exponencial (e^x) + C

Answer

Seno (sen(x)) + C

Answer

Coseno (cos(x)) + C

Answer

Logaritmo natural (ln(x)) + C

Question 16

Para resolver la integral ∫(1+x^2)^(1/2) dx, ¿cuál de los siguientes métodos de integración es el más adecuado?

Accepted Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración por partes

Answer

Fracciones parciales

Answer

Ninguno de los anteriores

Question 17

Para calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas y = x^2 e y = 4 alrededor del eje x, ¿cuál de las siguientes integrales representa dicho volumen?

Accepted Answer

π∫[0, 2] (4 - x^2)^2 dx

Answer

π∫[0, 2] (x^2)^2 dx

Answer

∫[0, 2] (4 - x^2)^2 dx

Answer

∫[0, 2] (x^2)^2 dx

Question 18

En la integración por sustitución, ¿qué técnica se utiliza para simplificar el integrando?

Accepted Answer

u = x^2

Answer

v = tan(x)

Answer

w = e^x

Answer

z = sen(x)

Question 19

En la integración por partes, ¿cuál es el factor diferencial?

Accepted Answer

du

Answer

dv

Answer

u

Answer

v

Question 20

El teorema fundamental del cálculo establece la relación entre:

Accepted Answer

Derivadas e integrales

Answer

Técnicas de integración

Answer

Integrales definidas

Answer

Integrales impropias

Question 21

¿Qué tipo de integrales pueden resolverse mediante integración por fracciones parciales?

Accepted Answer

Integrales de funciones racionales

Answer

Integrales de funciones trigonométricas

Answer

Integrales de funciones exponenciales

Answer

Integrales de funciones logarítmicas

Question 22

En la integración por sustitución, ¿cuál es el propósito de la sustitución?

Accepted Answer

Simplificar el integrando

Answer

Eliminar radicales

Answer

Cambiar el intervalo de integración

Answer

Eliminar fracciones

Question 23

Para integrar ∫(1 + x)^2 dx, ¿qué método es más adecuado?

Accepted Answer

Integración por partes

Answer

Sustitución

Answer

Fracciones parciales

Answer

Integración por potencia

Question 24

La integral definida ∫_a^b f(x) dx representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x)

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)

Answer

La longitud del arco de la gráfica de f(x)

Answer

El volumen del sólido generado al girar la gráfica de f(x) alrededor del eje y

Question 25

¿Cuál de las siguientes técnicas de integración implica sustituir u = g(x) en la integral?

Accepted Answer

Sustitución

Answer

Fracciones parciales

Answer

Integración por partes

Question 26

Calcular la integral impropia de ∫1/x dx en el intervalo [1, ∞).

Accepted Answer

ln(x) |_1^∞ = ∞

Answer

1 |_1^∞ = 0

Answer

ln(x) |_1^∞ = 1

Question 27

Para integrar la función f(x) = e^(x²+1), ¿cuál de las siguientes técnicas es la más adecuada?

Accepted Answer

Sustitución (u = x² + 1)

Answer

Integración tabular

Answer

Fracciones parciales

Answer

Integración por partes

Question 28

Al integrar la función f(x) = (x^2 + 3x)ln(x), ¿qué técnica de integración se utiliza?

Accepted Answer

Integración por partes (u = ln(x), dv = x² + 3x)

Answer

Sustitución

Answer

Integración trigonométrica

Answer

Fracciones parciales

Question 29

¿Qué técnica se utiliza para integrar funciones de la forma f(x) = (ax + b)/(cx + d)?

Accepted Answer

Fracciones parciales

Answer

Sustitución

Answer

Integración por fracciones

Answer

Integración por partes

Question 30

¿Cuál es el resultado de la integración de f(x) = 1 / (x^2 + 4x + 5)?

Accepted Answer

(1/2) * ln(|x^2 + 4x + 5|) + C

Answer

-ln(|x^2 + 4x + 5|) + C

Answer

(1/4) * ln(|x^2 + 4x + 5|) + C

Question 31

¿Qué técnica de integración se utiliza para encontrar la integral de f(x) = sin(x)cos(x)?

Accepted Answer

Sustitución trigonométrica (u = sin(x))

Answer

Integración por partes

Answer

Sustitución

Question 32

Integrar por sustitución ∫(1/(x + 2)) dx.

Accepted Answer

ln(|x + 2|) + C

Answer

(x + 2) + C

Answer

1/(x + 2) + C

Answer

-ln(|x + 2|) + C

Question 33

Calcular la integral definida de ∫(0 a π/2) cos(x) dx.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Question 34

Determinar si la integral ∫(1/(x^2 + 1)) dx de -∞ a ∞ converge.

Accepted Answer

Converge

Answer

Condicionalmente converge

Answer

No se puede determinar

Answer

Diverge

Question 35

Calcula la integral de ∫(x³ + 2x² - x) dx

Accepted Answer

(x⁴)/4 + (2x³)/3 - (x²)/2 + C

Answer

(x⁴)/3 + (2x³)/3 - (x²)/2 + C

Answer

(x⁴)/4 + (2x²)/3 - (x)/2 + C

Question 36

Integra la función ∫e^x dx

Accepted Answer

e^x + C

Answer

0

Answer

-e^x + C

Answer

x*e^x + C

Question 37

Calcula ∫(1/x) dx

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

-ln(|x|) + C

Answer

x*ln(|x|) + C

Answer

1/x + C

Question 38

Integra la función ∫(x*ln(x)) dx

Accepted Answer

(x²/2)*ln(x) - (x²/4) + C

Answer

(x)*ln(x) + C

Answer

1/(ln(x)) + C

Answer

(x³)*ln(x) + C

Question 39

Integra la función ∫(x/(x² - 1)) dx

Accepted Answer

(1/2)*ln(|x - 1|) - (1/2)*ln(|x + 1|) + C

Answer

-x/(x² - 1) + C

Answer

x² - 1 + C

Answer

ln(|x|) + C

Question 40

Calcula ∫(e^(2x) - cos(3x)) dx

Accepted Answer

(1/2)*e^(2x) - (1/3)*sin(3x) + C

Answer

-e^(2x) - cos(3x) + C

Answer

2*e^(2x) + 3*cos(3x) + C

Answer

e^(2x) + sin(3x) + C

Question 41

Integra la función ∫(x*e^(-x)) dx

Accepted Answer

-x*e^(-x) - e^(-x) + C

Answer

-x*e^(x) - e^(x) + C

Answer

x*e^(-x) + e^(-x) + C

Question 42

Calcula la integral de la función h(x) = e^(2x) utilizando el método de sustitución.

Accepted Answer

1/2e^(2x) + C

Answer

1/4e^(2x) + C

Answer

e^(2x) + C

Answer

2e^(2x) + C

Question 43

Descompone la fracción racional f(x) = (x^4 + 1) / (x^2 - 1) en fracciones parciales.

Accepted Answer

x^2 + 1 + 2/(x-1) - 2/(x+1)

Answer

x^2 + 1 + 1/(x-1) + 1/(x+1)

Answer

x^2 + 1 - 2/(x-1) + 2/(x+1)

Answer

x^2 + 1 - 1/(x-1) - 1/(x+1)

Question 44

¿Cuál es la integral indefinida de  $3x^2 + 2x - 5$?

Accepted Answer

$x^3 + x^2 - 5x + C$

Answer

$3x^3 + 2x^2 - 5x + C$

Answer

$x^3 + 2x^2 - 5x + C$

Answer

$x^3 + x^2 - C$

Question 45

Descomponer la fracción $\frac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)}$ en fracciones parciales.

Accepted Answer

$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}$

Answer

$\frac{1}{x-1} + \frac{4}{x+2}$

Answer

$\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x+2}$

Answer

$\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-1}$

Question 46

Determinar la integral definida $\int_0^2 (x^3 - 4x + 1) dx$.

Accepted Answer

-2

Answer

4

Answer

-4

Answer

2

Question 47

¿Cuál es el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por $y = \sqrt{x}$, $x = 0$ e $x = 4$ alrededor del eje x?

Accepted Answer

$8\pi$

Answer

$4\pi$

Answer

$16\pi$

Question 48

Determinar la longitud de la curva $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ desde $x = 0$ hasta $x = 3$.

Accepted Answer

$\frac{14}{3}$

Answer

14

Answer

7

Answer

$\frac{7}{3}$

Question 49

Al aplicar la integración por partes (∫u dv = uv - ∫v du) a la integral ∫x * e^x dx, ¿cuáles son las opciones apropiadas para 'u' y 'dv'?

Accepted Answer

u = x, dv = e^x dx

Answer

u = e^x, dv = x dx

Answer

u = 1, dv = x * e^x dx

Answer

u = x * e^x, dv = dx

Question 50

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una técnica de integración?

Accepted Answer

Derivación logarítmica

Answer

Integración por partes

Answer

Fracciones parciales

Answer

Integración por sustitución

Question 51

Para calcular el área bajo la curva y = x² desde x = 0 hasta x = 1, ¿qué integral definida debemos resolver?

Accepted Answer

∫(x²) dx  desde 0 hasta 1

Answer

∫(√x) dx  desde 0 hasta 1

Answer

∫(2x) dx  desde 0 hasta 1

Answer

∫(1/x) dx  desde 0 hasta 1