Cálculo integral: Aprende a resolver integrales paso a paso

Question 1

El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la integral de una función es su:

Accepted Answer

Primitiva

Answer

Derivada

Answer

Máximo

Answer

Mínimo

Question 2

¿Qué propiedad permite intercambiar el orden de integración en integrales dobles?

Accepted Answer

De Fubini

Answer

Conmutativa

Answer

Asociativa

Answer

Distributiva

Question 3

¿Cuál de las siguientes integrales impropias converge?

Accepted Answer

∫[0,∞]e^(-x) dx

Answer

∫[1,∞](1/x²) dx

Answer

∫[-1,1](1/x) dx

Answer

∫[0,1]1/(1-x) dx

Question 4

¿En qué consiste el método de integración por sustitución u-v?

Accepted Answer

Sustituir la variable de integración original por una nueva para simplificar la integral.

Answer

Sumar las integrales de dos funciones para obtener la integral de su suma.

Answer

Multiplicar la integral por una constante para obtener la integral del producto de la constante y la función.

Answer

Restar las integrales de dos funciones para obtener la integral de su resta.

Question 5

¿Cuál es la definición de integral definida?

Accepted Answer

El área bajo la curva de una función en un intervalo dado.

Answer

La derivada de una función en un punto particular.

Answer

El volumen del sólido generado al rotar una función alrededor del eje x.

Answer

La longitud del arco de una curva.

Question 6

Calcula la integral indefinida de x² + 2x - 1:

Accepted Answer

⅓x³ + x² - x + C

Answer

x³ + 2x² - x + C

Answer

⅓x³ + x² - 2x + C

Answer

x³ + x² - 2x + C

Question 7

¿Qué método de integración se utiliza cuando se puede sustituir una variable por una función más simple?

Accepted Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración por partes

Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Integración numérica

Question 8

¿Cuál es la fórmula de integración por partes?

Accepted Answer

∫ u dv = uv - ∫ v du

Answer

∫ u dv = v du - ∫ u ddv

Answer

∫ u dv = du v - ∫ v du

Answer

∫ u dv = uv + ∫ v du

Question 9

¿Cuál es la fórmula para calcular la longitud del arco de una curva?

Accepted Answer

L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx

Answer

L = ∫√(1 - (dy/dx)²) dx

Answer

L = ∫√((dx/dy)² + 1) dy

Answer

L = ∫√((dx/dy)² - 1) dy

Question 10

¿Qué fórmula de integración por partes se utiliza para resolver la integral ∫x^2 * e^x dx?

Accepted Answer

∫u dv = uv - ∫v du

Answer

∫x dv = x*v - ∫v dx

Answer

∫x^2 * e^x dx = ∫x * x * e^x dx

Answer

x = sen(u)

Question 11

¿En qué situaciones son ventajosos los métodos numéricos para calcular integrales?

Accepted Answer

Cuando la integral no tiene una solución analítica exacta.

Accepted Answer

Cuando se necesita una aproximación rápida y aceptable.

Answer

Cuando la integral representa una función periódica.

Answer

Nunca, los métodos analíticos son siempre mejores.

Question 12

El enunciado ∫(x^2 + 2x) dx corresponde a una integral de tipo:

Accepted Answer

Indefinida

Answer

Definida

Answer

Impropia

Answer

Triple

Question 13

Selecciona la fórmula que define la integral de una constante:

Accepted Answer

∫a dx = ax + C

Answer

∫x dx = x^2/2 + C

Answer

∫sen(x) dx = -cos(x) + C

Answer

∫e^x dx = e^x + C

Question 14

El área bajo la curva y = x^2 entre los puntos x = 0 y x = 2 se calcula mediante la integral:

Accepted Answer

∫(0 a 2) x^2 dx

Answer

∫(2 a 0) x^2 dx

Answer

∫(0 a 2) 2x dx

Answer

∫(2 a 0) 2x dx

Question 15

La integral ∫(1/x) dx es una integral:

Accepted Answer

Impropia divergente

Answer

Impropia convergente

Answer

Propiamente divergente

Answer

Propiamente convergente

Question 16

El volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas y = x y y = x^2 alrededor del eje x se calcula mediante la integral:

Accepted Answer

∫(0 a 1) π(x^2 - x^4) dx

Answer

∫(0 a 1) π(x^4 - x^2) dx

Answer

∫(1 a 0) π(x^2 - x^4) dx

Answer

∫(1 a 0) π(x^4 - x^2) dx

Question 17

¿Qué integral representa el área de la región limitada por la curva y = sen(x), el eje x y las líneas x = 0 y x = π/2?

Accepted Answer

∫(0 a π/2) sen(x) dx

Answer

∫(π/2 a 0) sen(x) dx

Answer

-∫(0 a π/2) sen(x) dx

Answer

-∫(π/2 a 0) sen(x) dx

Question 18

El método de integración por partes se utiliza para integrales que contienen:

Accepted Answer

Productos de funciones

Answer

Fracciones de funciones

Answer

Funciones trigonométricas

Answer

Integrales impropias

Question 19

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la integral definida de la función f(x) = sen(x) entre los límites a y b?

Accepted Answer

∫[a,b] sen(x) dx

Answer

ʃ[a,b] sen(x) dx

Answer

∫[b,a] sen(x) dx

Answer

ʃ[b,a] sen(x) dx

Question 20

Determina el área bajo la curva y = sen(2x) entre los límites x = 0 y x = π/2.

Accepted Answer

π/4 unidades cuadradas

Answer

1 unidad cuadrada

Answer

2 unidades cuadradas

Answer

π/2 unidades cuadradas

Question 21

Determina si la función f(x) = x³ - 3x² + 2 es una primitiva de g(x) = 3x² - 6x.

Accepted Answer

Sí, porque g'(x) = f(x).

Answer

No, porque f'(x) ≠ g(x).

Answer

No, porque g(x) no es una función derivable.

Answer

No, porque f(x) y g(x) tienen dominios diferentes.

Question 22

¿Cuál de las siguientes funciones no es integrable?

Accepted Answer

x^(-1/2)

Answer

sen(x)

Answer

cos(x)

Answer

e^x

Question 23

Utiliza la técnica de integración por sustitución para calcular ∫cos(2x) dx.

Accepted Answer

sen(2x)/2 + C

Answer

sen(2x) + C

Answer

cos(2x)/2 + C

Answer

2sen(2x) + C

Question 24

¿Qué teorema establece la relación entre las integrales y las áreas?

Accepted Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema de Stokes

Answer

Teorema de Green

Question 25

Si f(x) es continua en [a, b], ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

La integral de f(x) en [a, b] existe.

Answer

La derivada de f(x) es cero en algún punto de [a, b].

Answer

f(x) es diferenciable en [a, b].

Answer

f(x) es monótona en [a, b].

Question 26

Calcula la integral impropia de la función f(x) = 1/(x² + 1) en el intervalo [0, ∞):

Accepted Answer

π/2

Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 27

¿Cuál de las siguientes propiedades es válida para integrales definidas?

Accepted Answer

La integral de una suma es la suma de las integrales.

Answer

La integral de un cociente es el cociente de las integrales.

Answer

La integral de un producto es el producto de las integrales.

Question 28

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para calcular integrales de funciones racionales?

Accepted Answer

Descomposición en fracciones parciales.

Answer

Integración por partes.

Answer

Regla de la cadena.

Answer

Sustitución trigonométrica.

Question 29

¿Cuál de las siguientes integrales es una integral doble?

Accepted Answer

∫∫f(x, y) dA

Answer

∫f(x, y) dy

Answer

∫f(x) dx

Answer

∫∫∫f(x, y, z) dV

Question 30

¿Qué se entiende por integral definida?

Accepted Answer

Es el área bajo la gráfica de una función en un intervalo cerrado

Answer

Es el valor de la función en un punto determinado

Answer

Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función

Question 31

¿Cuál es una aplicación de las integrales para el cálculo de volúmenes?

Accepted Answer

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular como la integral de la sección transversal del sólido con respecto al eje de revolución.

Answer

El volumen de una esfera se puede calcular como la integral del cuadrado del radio de la esfera con respecto a su altura.

Answer

El volumen de un cilindro se puede calcular como la integral de la altura del cilindro con respecto a su radio.

Question 32

Calcula el trabajo realizado por una fuerza constante F = 10 N aplicada a un objeto que se desplaza 5 metros.

Accepted Answer

50 J

Answer

10 J

Answer

500 J

Answer

100 J

Question 33

¿Cuál es la integral de la función f(x) = 1 / (1 + x²)?

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

sen(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-arctan(x) + C

Question 34

La integral definida ∫[a,b] f(x) dx representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b

Answer

El valor máximo de f(x) entre x = a y x = b

Answer

La pendiente de la recta tangente a f(x) en x = b

Question 35

Calcula la integral indefinida ∫2x + 1 dx:

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

x² + 1 + C

Answer

2x + C

Answer

2x² + x + C

Question 36

Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces la integral definida ∫[a,b] f(x) dx es:

Accepted Answer

F(b) - F(a)

Answer

F(a) - F(b)

Answer

F'(b) - F'(a)

Answer

F(b) + F(a)

Question 37

Calcula la integral definida ∫[1,3] x³ dx:

Accepted Answer

20

Answer

40

Answer

30

Answer

10

Question 38

La integral indefinida ∫f(x) dx representa:

Accepted Answer

La familia de todas las funciones cuya derivada es f(x)

Answer

La pendiente de la recta tangente a f(x)

Answer

El valor máximo de f(x)

Question 39

La integral de la función f(x) = cos(x) es:

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Question 40

La integral indefinida de la función f(x) = e^x es:

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^(x+1) + C

Answer

x * e^x + C

Answer

ln(x) + C

Question 41

La integral de la función f(x) = 1/x es:

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

x²/2 + C

Answer

-1/x² + C

Answer

x + C

Question 42

Calcula la integral indefinida ∫(3x² + 2x - 1) dx.

Accepted Answer

x³ + x² - x + C

Answer

6x + 2 + C

Answer

9x² + 2x + C

Question 43

El valor de la integral ∫(x + 1) dx es:

Accepted Answer

(1/2)x² + x + C

Answer

x + C

Answer

(1/2)x² + C

Answer

x² + x + C

Question 44

Cuál es la integral indefinida de 1/x con respecto a x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

-1/x² + C

Answer

1/x² + C

Answer

x + C

Question 45

Si la integral de f(x) con respecto a x es F(x) + C, ¿cuál es la integral de 2f(x) con respecto a x?

Accepted Answer

2F(x) + C

Answer

F(x) + C

Answer

F(2x) + C

Answer

(1/2)F(x) + C

Question 46

Calcula la integral indefinida de x² + 2x con respecto a x.

Accepted Answer

x³/3 + x² + C

Answer

x² + 2x + C

Answer

2x³ + x + C

Answer

x³ + 2x² + C

Question 47

¿Cuál es el área bajo la curva y = e^x entre x = 0 y x = 1?

Accepted Answer

e - 1

Answer

e

Answer

1

Answer

e + 1

Question 48

Si la región limitada por las curvas y = x e y = x² gira alrededor del eje x, ¿cuál es el volumen del sólido generado?

Accepted Answer

π/6

Answer

π/4

Answer

π/3

Answer

π/2

Question 49

Calcula la integral indefinida de sen(x) + cos(x) con respecto a x.

Accepted Answer

-cos(x) + sen(x) + C

Answer

sen(x) - cos(x) + C

Answer

cos(x) - sen(x) + C

Answer

-sen(x) + cos(x) + C

Question 50

Determina el área de la región limitada por las curvas y = x² e y = 4.

Accepted Answer

32/3

Answer

4/3

Answer

16/3

Answer

8/3

Question 51

Cuál es la integral indefinida de 1/x con respecto a x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

-ln(|x|) + C

Answer

ln(x) + C

Answer

1/ln(|x|) + C