Límites y derivadas: cuestionarios interactivos para Matemáticas Aplicadas

Question 1

Halla el punto crítico de la función f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2.

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = 3

Question 2

Determina si la función  f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) es continua en x = 2.

Accepted Answer

Discontinua evitable

Answer

Continua

Answer

Discontinua esencial

Answer

Discontinua de salto

Question 3

Calcula el límite cuando x tiende a 0 de la función f(x) = (sen(x) - 1) / x.

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Answer

2

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la derivada de una función constante?

Accepted Answer

Es cero

Answer

Es uno

Answer

Es igual a la constante

Answer

No existe

Question 5

Sea f(x) una función derivable en el intervalo [a, b]. Si f'(x) > 0 para todo x en (a, b), ¿qué se puede concluir sobre f(x) en este intervalo?

Accepted Answer

f(x) es creciente

Answer

f(x) es decreciente

Answer

f(x) tiene un máximo en b

Answer

f(x) tiene un mínimo en a

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre las series geométricas?

Accepted Answer

Tienen una suma finita si su razón es menor que 1

Answer

Tienen una suma finita si su razón es mayor que 1

Answer

Siempre tienen una suma finita

Answer

Nunca tienen una suma finita

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los límites define con precisión su comportamiento?

Accepted Answer

Un límite describe cómo se comporta una función cuando su variable independiente se acerca a un valor concreto.

Answer

Un límite muestra el valor exacto de una función en un punto específico.

Answer

Un límite es siempre un número finito.

Answer

Un límite nunca puede ser infinito.

Question 8

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x³ - 2x² + 1 en el punto (1, 0).

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = -2x + 1

Question 9

¿Cuál de las siguientes funciones no es derivable en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Question 10

Determina el valor mínimo de la función f(x) = x² + 2x + 3.

Accepted Answer

x = -1

Answer

x = -2

Answer

x = 1

Answer

x = 2

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la regla de la cadena es correcta?

Accepted Answer

La derivada de una composición de funciones es igual a la derivada de la función externa multiplicada por la derivada de la función interna.

Answer

La regla de la cadena sólo es aplicable a funciones polinómicas.

Answer

La regla de la cadena no se puede utilizar para derivar funciones trigonométricas.

Answer

La regla de la cadena siempre resulta en una derivada más sencilla.

Question 12

Encuentra el punto de máximo de la función f(x) = -x² + 4x - 2:

Accepted Answer

(2, 4)

Answer

(1, 3)

Answer

(3, 5)

Answer

(4, 6)

Question 13

Determina la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = e^x en el punto (0, 1):

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = e^x

Answer

y = x

Answer

y = 1

Question 14

Encuentra la derivada de la función f(x) = ln(x² + 1):

Accepted Answer

2x/(x² + 1)

Answer

x/(x² + 1)

Answer

1/(x² + 1)

Answer

(x² + 1)/x

Question 15

Determina el área bajo la curva de la función f(x) = x² en el intervalo [0, 2]:

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

8/3

Answer

16/3

Question 16

Reglas de la derivación: Halla la derivada de la función f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^3 - 2x^2 + 1

Answer

x^2 - 4x

Question 17

Optimización: Encuentra el valor máximo de la función f(x) = -x^2 + 4x - 3.

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = -2

Question 18

Ecuación de la recta tangente: ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = cos(x) en x = π/4?

Accepted Answer

y = -x + π/4

Answer

y = -x - π/4

Answer

y = x - π/4

Answer

y = x + π/4

Question 19

Reglas de la derivación para funciones trascendentes: ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la derivada de la función f(x) = e^x + ln(x)?

Accepted Answer

e^x + 1/x

Answer

e^x - 1/x

Answer

e^x * 1/x

Answer

e^x / x

Question 20

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función **f(x) = x³ - 2x² + 1** en el punto **(1, 0)**.

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 3x - 2

Answer

y = -x + 2

Question 21

¿Cuál de las siguientes funciones **NO** es derivable en **x = 0**?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 22

Calcula la integral indefinida de la función **f(x) = 2x + 3**.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

2x² + 3x + C

Answer

2x + 3x + C

Answer

x² + 3x

Question 23

Determina el área de la región limitada por las funciones **f(x) = x²** y **g(x) = 2x** en el intervalo **[0, 2]**.

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

16/3

Answer

32/3

Question 24

¿Cuál de los siguientes teoremas garantiza la existencia de un valor de **c** en el intervalo **(a, b)** tal que **f(c) = (f(a) + f(b)) / 2**?

Accepted Answer

Teorema del Valor Medio

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema de la Media Ponderada

Answer

Teorema del Punto Fijo

Question 25

¿Cuál es la definición de límite de una función en un punto?

Accepted Answer

El valor al que se aproxima la función cuando el punto se acerca al punto dado.

Answer

El valor de la función en ese punto.

Answer

El valor de la función en el punto dado si existe.

Answer

El valor de la función en el punto dado si la función es continua en ese punto.

Question 26

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sen(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sen(x)

Answer

-cos(x)

Answer

-sen(x)

Question 27

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = e^x en el punto (0, 1)?

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

e^2

Question 28

¿Qué es la regla de la cadena para la derivada de una función compuesta?

Accepted Answer

f'(g(x)) * g'(x)

Answer

f'(g(x)) / g'(x)

Answer

g'(f(x)) * f'(x)

Answer

g'(f(x)) / f'(x)

Question 29

¿Cuál es la definición de límite de una función en un punto?

Accepted Answer

El valor al que tiende la función cuando el argumento se aproxima al punto.

Answer

La pendiente de la recta secante a la gráfica en el punto.

Answer

El valor de la función en el punto.

Question 30

Calcula la derivada de f(x) = x^4 + 3x^3 - 2.

Accepted Answer

4x^3 + 9x^2

Answer

x^4 + 9x^2

Answer

4x^3 - 9x^2

Answer

x^4 - 3x^3 - 2

Question 31

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las derivadas en optimización?

Accepted Answer

Encontrar el máximo o mínimo de una función.

Answer

Determinar la concavidad de una gráfica.

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales.

Answer

Calcular integrales.

Question 32

¿Cuál es la relación entre la derivada de una función y su gráfica?

Accepted Answer

La derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en cada punto.

Answer

La derivada es el área bajo la gráfica.

Answer

La derivada es la longitud de la gráfica.

Question 33

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sen(2x)?

Accepted Answer

2cos(2x)

Answer

cos(2x)

Answer

sen(2x)

Answer

-2cos(2x)

Question 34

¿Cuál de las siguientes funciones es una antiderivada de f(x) = x^2 - 3x + 2?

Accepted Answer

x^3/3 - (3/2)x^2 + 2x + C

Answer

x^3 - 3x^2 + 2x

Answer

(x^2 - 3x + 2) / 2

Answer

x^2 - 3x + 2

Question 35

¿Cuál es el máximo de la función f(x) = -x^2 + 4x - 3?

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(0, -3)

Answer

No tiene máximo

Answer

(-2, 1)

Question 36

¿Cuál es el criterio de la primera derivada para determinar la monotonía de una función?

Accepted Answer

Si f'(x) > 0, entonces f(x) es creciente en ese intervalo.

Answer

Si f'(x) = 0, entonces f(x) es decreciente en ese intervalo.

Answer

Si f'(x) < 0, entonces f(x) es creciente en ese intervalo.

Question 37

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = e^(2x) * sen(x)?

Accepted Answer

2e^(2x) * sen(x) + e^(2x) * cos(x)

Answer

2e^(2x) * cos(x)

Answer

e^(2x) * sen(x)

Answer

e^(x) * sen(2x)

Question 38

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = ln(x^2 + 1)?

Accepted Answer

2x / (x^2 + 1)

Answer

x^2 / (x^2 + 1)

Answer

1 / (x^2 + 1)

Question 39

Concepto de límite: ¿Cuál es la definición de límite de una función?

Accepted Answer

El valor al que se acerca la función cuando la variable independiente se aproxima a un valor específico.

Answer

El punto en el que la función se vuelve indefinida.

Answer

El valor de la función en el punto preciso.

Question 40

Teoremas sobre límites: ¿Cuál de las siguientes opciones NO es un teorema sobre límites?

Accepted Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema del límite del cociente

Answer

Teorema del límite de la suma

Answer

Teorema del límite del producto

Question 41

Funciones diferenciables: ¿Cuál de las siguientes funciones NO es diferenciable en todos los números reales?

Accepted Answer

|x|

Answer

sen(x)

Answer

x^2

Answer

cos(x)

Question 42

Teorema del valor medio: ¿Cuál es el teorema del valor medio?

Accepted Answer

Si f(x) es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces existe c en (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

Answer

Si f(x) es diferenciable en [a, b], entonces f(x) es continua en [a, b].

Question 43

Regla de L'Hôpital: ¿Cuál es un requisito previo para aplicar la regla de L'Hôpital?

Accepted Answer

El límite de ambas funciones debe ser 0/0 o ∞/∞.

Answer

El límite de una función debe ser 0 y el límite de la otra función debe ser ∞.

Answer

El límite de ambas funciones debe ser distinto de cero.

Question 44

Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva y = x³ - 2x² + 1 en el punto (1, 0).

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

-2

Answer

-1

Question 45

¿Es la función f(x) = |x| continua en x = 0?

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Solo si x es positivo

Answer

Falso

Question 46

¿Cuál es la derivada de una función constante?

Accepted Answer

Es cero

Answer

Depende del valor de la constante

Answer

Es indefinida

Answer

Es igual a la constante

Question 47

Calcula la segunda derivada de la función f(x) = x⁴ + 2x² - 1.

Accepted Answer

12x² + 4

Answer

2x³ + 4

Answer

x³ + 4x

Answer

4x³ + 2

Question 48

¿Es la función f(x) = { x² si x < 0, 2x si x ≥ 0 } diferenciable en x = 0?

Accepted Answer

Falso

Answer

Solo si x es negativo

Answer

Solo si x es positivo

Answer

Verdadero

Question 49

¿Qué teorema se utiliza para determinar si una función es monótona en un intervalo?

Accepted Answer

Teorema de la Monotonía

Answer

Teorema del Máximo y Mínimo

Answer

Teorema del Valor Medio

Answer

Teorema de Rolle

Question 50

Calcula el límite de la función f(x) = (x² - 1) / (x - 1) cuando x tiende a 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

No existe

Answer

1

Question 51

Si f(x) = 3x² + 2x - 1, ¿cuál es la derivada de f(x)?

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 6x - 1

Answer

f'(x) = 3x + 2

Question 52

La derivada de la posición de un objeto en función del tiempo representa:

Accepted Answer

La velocidad instantánea

Answer

La velocidad promedio

Answer

La distancia total recorrida

Answer

La aceleración instantánea

Question 53

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera sobre una función derivable en un punto?

Accepted Answer

La función es continua en ese punto.

Answer

La segunda derivada de la función es positiva en ese punto.

Answer

La función tiene un máximo o mínimo en ese punto.

Question 54

Un agricultor quiere cercar un terreno rectangular con 100 metros de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que maximizan el área?

Accepted Answer

25 metros por 25 metros

Answer

20 metros por 30 metros

Answer

50 metros por 50 metros

Question 55

Si lim_(x→a) f(x) = L y lim_(x→a) g(x) = M, entonces lim_(x→a) [f(x) + g(x)] es igual a:

Accepted Answer

L + M

Answer

L - M

Answer

L * M

Question 56

La derivada de la función f(x) = e^x es:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Answer

f'(x) = 1 / x

Question 57

Si la derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función es:

Accepted Answer

Creciente en ese intervalo

Answer

No se puede determinar

Answer

Decreciente en ese intervalo

Answer

Constante en ese intervalo

Question 58

La ecuación de la recta tangente a la curva y = x² en el punto (1, 1) es:

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = -2x + 3

Answer

y = x + 1

Answer

y = -x + 2

Question 59

Un punto crítico de una función f(x) es un punto donde:

Accepted Answer

f'(x) = 0 o f'(x) no existe

Answer

f(x) = 0

Answer

f(x) cambia de signo

Answer

f''(x) = 0