Cálculo para 2º de ESO: Aprende matemáticas con facilidad

Question 1

¿Qué relación existe entre la derivada y la representación gráfica de una función?

Accepted Answer

La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica en cada punto.

Answer

La derivada es la función inversa.

Answer

La derivada es el área bajo la curva de la función.

Answer

La derivada siempre es positiva.

Question 2

¿Por qué la función F(x) definida como F(x) = ∫[a, x] f(t) dt es continua en [a, b] si f(x) es continua en [a, b]?

Accepted Answer

Porque la integral de una función continua es continua.

Answer

Porque la derivada de F(x) es f(x) y f(x) es continua.

Answer

Porque la integral de Riemann es una suma de Riemann y las sumas de Riemann son siempre continuas.

Question 3

¿Cómo se utilizan las derivadas para encontrar el valor máximo o mínimo de una función?

Accepted Answer

Identificar puntos críticos (máximos y mínimos) usando la derivada.

Answer

Calcular la integral de la función.

Answer

Aplicar el valor absoluto a la función.

Question 4

¿Cómo permite la naturaleza incremental del cálculo aproximar valores continuos mediante procesos discretos?

Accepted Answer

El cálculo divide los valores continuos en partes más pequeñas y las suma o resta repetidamente.

Answer

El cálculo es un proceso continuo que no utiliza procesos discretos.

Answer

La naturaleza incremental del cálculo solo es útil para problemas simples.

Question 5

¿Cuál es la derivada de la función $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$?

Accepted Answer

$f'(x) = 3x^2 - 4x$

Answer

$f'(x) = 3x^2 + 4x$

Answer

$f'(x) = x^2 - 2x$

Answer

$f'(x) = x^3 - 2x + 1$

Question 6

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x³?

Accepted Answer

3x²

Answer

x²

Answer

3x

Answer

1

Question 7

¿Cuál es la derivada de f(x) = x³ + 2x² - 1?

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

x² + 2x

Answer

3x + 2

Answer

1

Question 8

Calcula la derivada de f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1.

Accepted Answer

3x² - 4x + 5

Answer

4x² - 2x + 4

Answer

x² - 2x + 5

Answer

2x² - 4x + 1

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el teorema del valor medio es correcta?

Accepted Answer

Si una función es continua en un intervalo cerrado y diferenciable en un intervalo abierto que lo contiene, entonces existe un punto en el que la derivada es igual al cociente de diferencia.

Answer

La derivada de una función es siempre positiva.

Answer

La integral de una función es igual al área bajo su curva.

Answer

La pendiente de una recta es igual al cambio en el eje y dividido por el cambio en el eje x.

Question 10

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 4x² + 6x - 2:

Accepted Answer

x³ + 3x² - 2x + C

Answer

4x³ + 6x² - 2x + C

Answer

x³ + 1,5x² - x + C

Answer

4x³ + 1,5x² - x + C

Question 11

¿En qué campos se utiliza el cálculo?

Accepted Answer

Matemáticas, física, ingeniería y otras áreas.

Answer

Solo en matemáticas.

Answer

Solo en física.

Answer

Solo en ingeniería.

Question 12

Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva y = x³ - 2x² + 1 en el punto (1, 0):

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

-1

Question 13

¿Cuál es el concepto de función inversa?

Accepted Answer

Una función que deshace el efecto de otra función.

Answer

Una función que es siempre creciente.

Answer

Una función que es siempre decreciente.

Answer

Una función que tiene raíces múltiples.

Question 14

Calcula el área bajo la curva y = cos(x) entre x = 0 y x = π/2:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

π/2

Answer

π

Question 15

¿Cuál es el teorema fundamental del cálculo?

Accepted Answer

Establece que la integral de una función es igual a F(b) - F(a), donde F es la antiderivada de la función.

Answer

Establece que la derivada de una función es igual a su integral.

Answer

Establece que la integral de una función es siempre positiva.

Answer

Establece que la derivada de una función es siempre negativa.

Question 16

Determina la derivada de la función f(x) = x².

Accepted Answer

2x

Answer

x

Answer

1

Answer

0

Question 17

Selecciona la función que es una antiderivada de f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x + C

Answer

sen(e^x) + C

Answer

ln(e^x) + C

Answer

e^(x²) + C

Question 18

¿Cuál es el valor de la derivada de f(x) = sen(x)cos(x) en x = π/4?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

π/4

Question 19

¿Cuál es la derivada de f(x) = x^3?

Accepted Answer

3x^2

Answer

x^2

Answer

3x

Answer

x

Question 20

Halla la derivada de la función implícita definida por x^3 + y^3 = 8.

Accepted Answer

y' = -(x^2)/y^2

Answer

y' = (x^2)/y^2

Answer

y' = y^2/x^2

Answer

y' = -y^2/x^2

Question 21

¿Cuál es la integral indefinida de f(x) = (x^2 - 1)/(x+1)?

Accepted Answer

x^2 - 2x + ln(|x+1|) + C

Answer

-x^2 + 2x - ln(|x+1|) + C

Answer

x^2 - 2x + C

Answer

-x^2 + 2x + C

Question 22

¿Cuál de las siguientes es la regla de la cadena?

Accepted Answer

Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

Answer

Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = h'(g(x)) * g'(x)

Answer

Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = g'(x) / h'(x)

Answer

Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = h'(x) / g'(x)

Question 23

Calcula la integral indefinida de x^2 dx.

Accepted Answer

x^3 / 3 + C

Answer

x^3 + C

Answer

2x + C

Answer

x^2 / 2 + C

Question 24

¿Cuál es el teorema fundamental del cálculo?

Accepted Answer

Si f(x) es continua en [a, b], entonces la integral de f(x) de a a b es igual al valor de F(b) - F(a), donde F(x) es una antiderivada de f(x).

Answer

Si f(x) es derivada en [a, b], entonces la integral de f(x) de a a b es igual al valor de F(b) - F(a), donde F(x) es una derivada de f(x).

Answer

Si f(x) es continua en [a, b], entonces existe una antiderivada F(x) de f(x) en [a, b].

Answer

Si f(x) es derivada en [a, b], entonces existe una antiderivada F(x) de f(x) en [a, b].

Question 25

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la derivada de la función f(x) = x² + 3x - 5?

Accepted Answer

2x

Answer

x²

Answer

3x

Answer

5

Question 26

¿Cuál es la derivada de f(x) = x^3?

Accepted Answer

3x^2

Answer

x^3

Answer

x

Answer

3

Question 27

Calcula la integral de f(x) = 2x + 1.

Accepted Answer

x^2 + x + C

Answer

x^2 - x + C

Answer

2x^2 + x + C

Answer

2x^2 - x + C

Question 28

¿Cuál de estas series converge?

Accepted Answer

∑ (n=1 hasta infinito) 1/n^2

Answer

∑ (n=1 hasta infinito) 1/n

Answer

∑ (n=1 hasta infinito) n

Answer

∑ (n=1 hasta infinito) 2^n

Question 29

¿Qué representa la derivada de una función?

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Answer

El área bajo la curva de la función entre dos puntos.

Answer

La función inversa de la función original.

Answer

La función que tiene la misma gráfica que la función original, pero desplazada hacia la derecha.

Question 30

¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

x + C

Answer

1 + C

Answer

ln(x) - C

Question 31

Calcula la derivada de la función f(x) = 2^x.

Accepted Answer

2^x * ln(2)

Answer

2^x * x

Answer

x * ln(2)

Answer

ln(2)

Question 32

¿Cuál de las siguientes propiedades es aplicable a las integrales indefinidas?

Accepted Answer

Pueden tener infinitas soluciones.

Answer

Son únicas para cada función.

Answer

Tienen un valor constante.

Answer

Dependen de las condiciones iniciales.

Question 33

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x² + 3x - 5?

Accepted Answer

2x + 3

Answer

x² + 3

Answer

3x - 5

Answer

-5

Question 34

Calcula el área bajo la curva de la función f(x) = x² entre x = 0 y x = 2 utilizando el método de integración.

Accepted Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

8/3

Answer

16/3

Question 35

Si F(x) es una función primitiva de f(x) = 1/(x² + 1), calcula la integral indefinida de f(x).

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

arctg(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

cot(x) + C

Question 36

Si la función f(x) es diferenciable en todos los puntos, ¿qué se puede afirmar sobre la continuidad de f(x)?

Accepted Answer

f(x) es continua en todos los puntos

Answer

f(x) puede ser discontinua en algunos puntos

Answer

f(x) es discontinua en todos los puntos

Answer

No se puede afirmar nada sobre la continuidad de f(x)

Question 37

¿En qué instante cambia de dirección el movimiento del objeto cuya función de desplazamiento es s(t) = -2t³ + 5t² - 3t + 2?

Accepted Answer

Cuando su velocidad es cero

Answer

Cuando su aceleración es cero

Answer

Cuando su posición es cero

Answer

Nunca cambia de dirección

Question 38

Calcula la derivada de f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1 paso a paso, demostrando tu comprensión de las reglas de derivación.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = 3x² + 2x - 5

Answer

f'(x) = 3x + 4 - 5

Question 39

Indica la derivada de la función f(x) = x² + 2x.

Accepted Answer

2x

Answer

x² + 2

Answer

2x + 2

Answer

x² - 2

Question 40

Indica la derivada de la función f(x) = log(x).

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

x/log(x)

Answer

log(x)

Question 41

Calcula la integral indefinida de la función g(x) = 1/x.

Accepted Answer

log(x) + C

Answer

1/x² + C

Answer

x + C

Answer

-1/x² + C

Question 42

Calcula el área bajo la curva de la función h(x) = cos(x) en el intervalo [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

π/2

Answer

π

Question 43

¿Cómo se pueden utilizar las integrales para calcular el área bajo la curva de una función?

Accepted Answer

Evaluando la integral definida de la función en el intervalo que define la curva.

Answer

Sumando los valores de la función en cada punto de la curva.

Answer

Midiendo la distancia entre los puntos más altos y más bajos de la curva.

Question 44

¿Qué mide la derivada de una función?

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente a su gráfica

Answer

El área bajo su curva

Answer

El punto máximo o mínimo de su gráfica

Answer

El volumen encerrado bajo su superficie

Question 45

¿Cuál de las siguientes técnicas se utiliza para encontrar el área bajo la curva de una función?

Accepted Answer

Integración

Answer

Derivación

Answer

Diferenciación

Answer

Límites

Question 46

El teorema fundamental del cálculo establece que:

Accepted Answer

La derivada y la integral son operaciones inversas

Answer

La derivada de una función es igual a su integral

Answer

La integral de una función es igual a su derivada

Answer

El área bajo la curva de una función es igual a su integral definida

Question 47

Para la función f(x) = 2x^2 + 3x, ¿cuál es el valor de f'(x)?

Accepted Answer

4x + 3

Answer

2x

Answer

x^2 + 3

Answer

4x^2

Question 48

Para calcular el área bajo la curva de la función y = x^2 entre x = 0 y x = 3, ¿cuál de las siguientes expresiones integrales es correcta?

Accepted Answer

∫0^3 x^2 dx

Answer

∫3^0 x^2 dx

Answer

∫0^3 2x dx

Answer

∫3^0 2x dx

Question 49

¿Cuál de los siguientes métodos de integración es adecuado para integrar funciones expresadas como el producto de dos funciones?

Accepted Answer

Integración por partes

Answer

Integración por sustitución

Answer

Integración trigonométrica

Answer

Integración por fracciones parciales

Question 50

Para resolver la integral ∫(sen x + cos x) dx, ¿cuál es la función F(x) que verifica ∫(sen x + cos x) dx = F(x) + C?

Accepted Answer

-cos x + sen x

Answer

cos x - sen x

Answer

sen x + cos x

Answer

-sen x - cos x

Question 51

Calcula la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + 5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta?

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

3x² + 4x

Answer

x² - 4x

Answer

x² + 4x

Question 52

Calcula la derivada de la función f(x) = e^(2x-1). ¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta?

Accepted Answer

2e^(2x-1)

Answer

e^(2x-1)

Answer

2x-1

Answer

e^2x-1

Question 53

¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = 1/(x²+1)?

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

1/(2x) + C

Answer

ln(x²+1) + C

Question 54

¿Cuál es la integral indefinida de la función **f(x) = sen(x)**?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

cot(x) + C

Question 55

¿Cuál es la derivada de la función **f(x) = e^x**?

Accepted Answer

e^x

Answer

x

Answer

e

Answer

x + e^x

Question 56

¿Cuál es la integral indefinida de la función **f(x) = 1 / x**?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

-ln(|x|) + C

Answer

1 / x² + C

Answer

-1 / x² + C

Question 57

Calcula la derivada de la función **f(x) = √x**.

Accepted Answer

1 / (2√x)

Answer

2√x

Answer

1 / x

Answer

x

Question 58

Para la función f(x) = x² + 2x, ¿cuál es su derivada?

Accepted Answer

2x

Answer

x²

Answer

2x + 2

Answer

1

Question 59

¿Cuál es la expresión equivalente a la derivada de f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x

Answer

e

Answer

x

Answer

x * e^x

Question 60

¿Cuál función tiene una derivada constante?

Accepted Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sen(x)

Question 61

La técnica utilizada para resolver integrales indefinidas de funciones trigonométricas es:

Accepted Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Integración por partes

Answer

Regla de la cadena

Answer

Factorización

Question 62

Si una función f(x) es diferenciable en x = 3 y f'(3) > 0, entonces la gráfica de la función:

Accepted Answer

Aumenta cerca de x = 3.

Answer

Disminuye cerca de x = 3.

Answer

Tiene un máximo en x = 3.

Answer

Tiene un mínimo en x = 3.

Question 63

¿Cuál de las siguientes NO es una aplicación del cálculo?

Accepted Answer

Análisis literario

Answer

Optimización en negocios

Answer

Modelado de crecimiento de la población

Answer

Diseño de estructuras

Question 64

El teorema que conecta las derivadas y las integrales es:

Accepted Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema de la integral de Cauchy

Answer

Teorema del residuo