Distancias y ángulos: Aprende fórmulas y conceptos

Question 1

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6).

Accepted Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x + 2

Question 2

Determina el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son paralelas a los ejes coordenados y tienen longitudes 2, 3 y 4 unidades.

Accepted Answer

24

Answer

6

Answer

12

Answer

36

Question 3

Calcula la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7) usando la fórmula de distancia.

Accepted Answer

√(5² + 4²)

Answer

√(3² + 4²)

Answer

√(7² + 4²)

Answer

√(5² + 7²)

Question 4

Dos rectas son paralelas si su pendiente es:

Accepted Answer

Igual

Answer

Distinta

Answer

Perpendicular

Answer

Cero

Question 5

El ángulo entre dos planos perpendiculares mide:

Accepted Answer

90°

Answer

0°

Answer

30°

Answer

60°

Question 6

¿Cuál de estas fórmulas calcula el ángulo "θ" entre dos vectores "v1" y "v2"?

Accepted Answer

θ = arccos((v1 · v2) / (||v1|| ||v2||))

Answer

θ = arcsen((v1 · v2) / (||v1|| ||v2||))

Answer

θ = arctan((v1 · v2) / (||v1|| ||v2||))

Answer

θ = arccot((v1 · v2) / (||v1|| ||v2||))

Question 7

¿Cuál de estas condiciones indica que dos planos son paralelos?

Accepted Answer

Tienen la misma normal

Answer

Tienen diferentes normales

Answer

Tienen la misma intersección

Answer

Tienen diferentes intersecciones

Question 8

Calcula la distancia entre el punto Q(0, 2, 1) y la recta que pasa por P(1, 0, -2) y tiene vector director v = (2, -1, 3).

Accepted Answer

√14

Answer

1

Answer

2√14

Answer

2

Question 9

¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano?

Accepted Answer

d = √((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)

Answer

d = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2

Answer

d = |x1 - x2| + |y1 - y2|

Answer

d = 2(x1 + x2) + 2(y1 + y2)

Question 10

¿Qué fórmula se emplea para calcular la distancia entre una recta y un punto?

Accepted Answer

d = |ax + by + c| / √(a² + b²)

Answer

d = |x1 - x2| + |y1 - y2|

Answer

d = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2

Answer

d = √((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)

Question 11

Si un plano es paralelo al eje z, ¿cuál es su ecuación?

Accepted Answer

z = 0

Answer

x + y = 0

Answer

x - y = 0

Answer

y = 0

Question 12

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente -2?

Accepted Answer

y = -2x + 7

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = -x + 5

Answer

y = x - 1

Question 13

¿Cuál es la fórmula correcta para calcular la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en un plano cartesiano?

Accepted Answer

d = √((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)

Answer

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) / 2

Answer

d = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²

Answer

d = |x2 - x1| + |y2 - y1|

Question 14

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 6).

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 15

Si dos rectas tienen pendientes de 2 y -1 respectivamente, ¿qué tipo de rectas son?

Accepted Answer

Perpendiculares

Answer

Paralelas

Answer

Secantes

Answer

Coincidentes

Question 16

Calcula el ángulo entre el plano x + y - z = 0 y el eje z.

Accepted Answer

90°

Answer

30°

Answer

45°

Answer

60°

Question 17

¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), en el plano cartesiano?

Accepted Answer

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Answer

d = |x2 - y2| - |x1 - y1|

Answer

d = (x2 - x1) + (y2 - y1)

Answer

d = ((x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2)^1/2

Question 18

Dados los puntos A(1, 2) y B(3, 5), calcula la distancia entre ellos.

Accepted Answer

2√5

Answer

√5

Answer

5

Answer

10

Question 19

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la distancia entre dos puntos es verdadera?

Accepted Answer

Todas las afirmaciones son verdaderas.

Answer

La distancia es siempre un número positivo o cero.

Answer

La distancia puede ser cero si los puntos coinciden.

Answer

La distancia es igual a la longitud del segmento que une los dos puntos.

Question 20

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el ángulo entre dos rectas es verdadera?

Accepted Answer

Todas las afirmaciones son verdaderas.

Answer

El ángulo es siempre un número menor o igual a 180°.

Answer

El ángulo puede ser de 0° si las rectas son paralelas.

Answer

El ángulo puede ser de 90° si las rectas son perpendiculares.

Question 21

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un triángulo con vértices (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) en el plano cartesiano?

Accepted Answer

A = (1/2) * |(x1*(y2 - y3) + x2*(y3 - y1) + x3*(y1 - y2))|

Answer

A = (1/2) * |(x1*(y2 + y3) + x2*(y3 + y1) + x3*(y1 + y2))|

Answer

A = (x1*y2 - x2*y1) / 2

Answer

A = (x1*y3 - x3*y1) / 2

Question 22

¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano?

Accepted Answer

d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Answer

d = x2 - x1 + y2 - y1

Answer

d = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²

Answer

d = x1 - x2 + y1 - y2

Question 23

Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de:

Accepted Answer

90°

Answer

45°

Answer

120°

Answer

180°

Question 24

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta en el plano cartesiano?

Accepted Answer

y = mx + b

Answer

x + y = 1

Answer

x² + y² = r²

Answer

xy = k

Question 25

La distancia entre un punto y una recta se mide mediante:

Accepted Answer

La perpendicular desde el punto a la recta

Answer

La proyección del punto sobre la recta

Answer

El segmento que une el punto con la recta

Answer

El ángulo formado por el punto y la recta

Question 26

¿Cuál es la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas en el plano cartesiano?

Accepted Answer

θ = arctan((y2 - y1)/(x2 - x1))

Answer

θ = (x2 - x1) / (y2 - y1)

Answer

θ = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Answer

θ = x1 - x2 + y1 - y2

Question 27

Dos planos paralelos forman un ángulo de:

Accepted Answer

0°

Answer

45°

Answer

90°

Answer

180°

Question 28

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para un triángulo rectángulo?

Accepted Answer

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Answer

La mediana a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

Answer

La altura sobre la hipotenusa divide a la hipotenusa en dos segmentos iguales.

Answer

Todos los ángulos interiores son menores que 90°.

Question 29

¿Cuál de las siguientes es una propiedad de los ángulos diedros?

Accepted Answer

Están determinados por dos semirrectas que no pertenecen al mismo plano.

Answer

Son siempre mayores que 180°.

Answer

Son iguales o mayores que 90°.

Answer

Son iguales o menores que 45°.

Question 30

La bisectriz de un ángulo es la recta que:

Accepted Answer

Divide el ángulo en dos ángulos iguales.

Answer

Es perpendicular a uno de los lados del ángulo.

Answer

Forma un ángulo de 45° con uno de los lados del ángulo.

Answer

Es paralelo a uno de los lados del ángulo.

Question 31

¿Cuál de las siguientes figuras tiene todos sus ángulos interiores iguales a 60°?

Accepted Answer

Triángulo equilátero

Answer

Triángulo isósceles

Answer

Triángulo rectángulo

Answer

Trapecio isósceles

Question 32

Dados los puntos A(2, 3) y B(5, -1), ¿cuál es la distancia entre ellos?

Accepted Answer

√29

Answer

3

Answer

15

Answer

10

Question 33

Calcula la distancia entre los puntos A(2, -3) y B(6, 1).

Accepted Answer

5

Answer

7

Answer

3

Answer

9

Question 34

Determina el ángulo formado por las rectas y = x y x - y + 2 = 0.

Accepted Answer

45°

Answer

180°

Answer

135°

Answer

90°

Question 35

Determina la distancia desde el punto P(1, 2, 3) al plano x - 2y + z = 0.

Accepted Answer

√6

Answer

1

Answer

5/√6

Answer

5

Question 36

Calcula el ángulo entre los planos x + y + z = 0 y 2x - y + z = 0.

Accepted Answer

cos⁻¹(1/3)

Answer

cos⁻¹(1/2)

Answer

cos⁻¹(√3/2)

Answer

cos⁻¹(√2/2)

Question 37

Calcula la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7).

Accepted Answer

5

Answer

7

Answer

3

Answer

√13

Question 38

Determina el ángulo formado por las rectas r y s, donde r: y = 2x + 1 y s: y = -x + 3.

Accepted Answer

90°

Answer

135°

Answer

120°

Answer

45°

Question 39

Calcula la distancia desde el punto P(2, 3) a la recta r: 2x - y + 5 = 0.

Accepted Answer

2,5

Answer

4,5

Answer

1,5

Answer

3,5

Question 40

Determina el ángulo entre el plano α: x + y - z = 0 y el plano β: 2x - y + z = 0.

Accepted Answer

60°

Answer

45°

Answer

90°

Answer

30°

Question 41

Calcula la distancia entre las rectas paralelas r: x - 2y + 1 = 0 y s: x - 2y - 3 = 0.

Accepted Answer

2

Answer

6

Answer

4

Answer

8

Question 42

Determina si los planos α: 2x + 3y - z = 0 y β: x - y + 2z = 0 son perpendiculares.

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Paralelos

Answer

Secantes

Question 43

Calcula la distancia desde el punto A(1, 2, 3) al plano α: x + y + z - 6 = 0.

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

2

Answer

4

Question 44

Determina el ángulo entre el plano α: y - z = 0 y la recta r: x + y - z = 0.

Accepted Answer

45°

Answer

90°

Answer

30°

Answer

60°

Question 45

Calcula la distancia entre los planos α: 2x - y + 2z = 0 y β: x + 3y - z = 0.

Accepted Answer

1

Answer

4

Answer

2

Answer

3

Question 46

Determina si las rectas r: x = 2, y = 3 - t y z = 1 + 2t y s: x = 1 + t, y = 2 y z = 3 - t son paralelas.

Accepted Answer

Sí

Answer

Secantes

Answer

No

Answer

Coincidentes

Question 47

Calcula la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7).

Accepted Answer

5

Answer

25

Answer

3

Answer

13

Question 48

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a la recta y = 2x + 1 y que pasa por el punto (1, 2).

Accepted Answer

y = -1/2x + 5/2

Answer

y = 2x + 2

Answer

y = -1/2x + 1

Answer

y = 2x

Question 49

Determina el ángulo entre las rectas y = 3x + 2 e y = -x + 5.

Accepted Answer

arctan(4)

Answer

arctan(-4)

Answer

arctan(1/4)

Answer

arctan(-1/4)

Question 50

Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, 0, 1), B(2, 1, 0) y C(0, 1, 1).

Accepted Answer

x + 2y - z = 1

Answer

x + 2y + z = 1

Answer

x - 2y + z = 1

Answer

x - 2y - z = 1

Question 51

Calcula la distancia entre el punto P(1, 2, 3) y el plano 2x - y + z = 1.

Accepted Answer

2/√6

Answer

4/√6

Answer

3/√6

Answer

1/√6

Question 52

Determina el ángulo entre el plano 2x + y - z = 3 y la recta x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t.

Accepted Answer

arccos(1/√14)

Answer

arccos(3/√14)

Answer

arccos(2/√14)

Question 53

Encuentra la distancia entre las rectas r: x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + t y s: x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 4 - t.

Accepted Answer

√21/√6

Answer

√14/√6

Answer

√7/√6

Question 54

Dos planos son paralelos si...

Accepted Answer

Sus vectores normales son proporcionales.

Answer

Tienen un punto en común.

Answer

Sus ecuaciones son idénticas.

Answer

Sus vectores direccionales son ortogonales.

Question 55

Un punto pertenece a un plano si...

Accepted Answer

Sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano.

Answer

Sus coordenadas son paralelas al vector normal del plano.

Answer

Sus coordenadas son ortogonales al vector normal del plano.

Answer

Sus coordenadas son iguales a los coeficientes de la ecuación del plano.

Question 56

Calcula la distancia entre la recta x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t y el punto A(1, 2, 1).

Accepted Answer

√14/√6

Answer

√7/√6

Answer

√35/√6

Answer

√21/√6