Cálculo integral: Conceptos, técnicas y aplicaciones

Question 1

Calcula la integral definida de f(x) = x^2 - 1 entre los límites x = -1 y x = 2.

Accepted Answer

6

Answer

12

Answer

-6

Answer

-12

Question 2

Utiliza el método de sustitución para evaluar la integral ∫(x^2 + 1)^3 * 2x dx.

Accepted Answer

(x^2 + 1)^4 / 4 + C

Answer

(x^2 + 1)^3 / 4 + C

Answer

(x^2 + 1)^4 / 2 + C

Answer

(x^2 + 1)^5 / 4 + C

Question 3

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva de f(x) = |x| en el intervalo [-2, 2]? (Donde |x| es el valor absoluto de x.)

Accepted Answer

∫[-2, 2] |x| dx

Answer

∫[0, 2] x dx

Answer

∫[-2, 2] x dx

Answer

∫[0, 2] |x| dx

Question 4

Usa la integración por partes para evaluar la integral ∫ x * e^x dx.

Accepted Answer

x * e^x - e^x + C

Answer

e^x - x * e^x + C

Answer

-x * e^x + e^x + C

Answer

e^x + x * e^x + C

Question 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las integrales impropias es verdadera? (Selecciona todas las aplicables.)

Accepted Answer

Pueden converger o divergir.

Answer

Siempre divergen.

Answer

Siempre convergen.

Question 6

Considera la función f(x) = 1 / (x^2 - 4). ¿En qué intervalos es integrable f(x) en los reales?

Accepted Answer

[-∞, -2) U (-2, 0) U (0, 2) U (2, ∞]

Answer

[-∞, -2] U (-2, 2) U (2, ∞]

Answer

[-2, -1) U (-1, 0) U (0, 1) U (1, ∞]

Answer

[-∞, -2) U (-2, 2) U (2, ∞]

Question 7

Calcula la integral de y = 1 / (x^2 + 1) usando integración por fracciones parciales:

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

log(x^2 + 1) + C

Answer

1 / (x^2 + 1) + C

Answer

x / (x^2 + 1) + C

Question 8

Halla la integral de y = cos(x) usando integración por partes:

Accepted Answer

sen(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sen(x) + C

Answer

xsen(x) + C

Question 9

¿Cuál de las siguientes técnicas de integración es apropiada para integrar la función f(x) = 1/(x^2+1)?

Accepted Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Sustitución

Answer

Integración fraccionaria

Answer

Integración por partes

Question 10

Calcula el área bajo la curva y=sqrt(x) entre 0 y 4.

Accepted Answer

(8/3)

Answer

4

Answer

2

Answer

8

Question 11

¿Cuál de los siguientes es una antiderivada de f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

x^2 + C

Answer

x + C

Answer

1 + C

Question 12

Utiliza la sustitución u=x^2 para integrar f(x) = sqrt(x^2+1) dx.

Accepted Answer

(1/2) * (x * sqrt(x^2+1)) + C

Answer

(x^2/2) * sqrt(x^2+1) + C

Answer

(x/2) * sqrt(x^2+1) + C

Answer

(1/2) * (x^2 * sqrt(x^2+1)) + C

Question 13

Integra la función f(x) = x/(x^2+1) utilizando la integración fraccionaria.

Accepted Answer

(1/2) * ln|x^2+1| + C

Answer

(1/2) * ln|x| + C

Answer

arctan(x) + C

Answer

1/(x^2+1) + C

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre integrales es correcta?

Accepted Answer

Las integrales se pueden utilizar para calcular el área bajo una curva.

Answer

Las integrales solo se pueden calcular para funciones polinómicas.

Answer

Las integrales siempre son positivas.

Question 15

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 2x + 3.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

2x + 3

Answer

x³ + 3x²

Answer

2x² + 6x

Question 16

Calcula la integral definida de la función f(x) = sin(x) en el intervalo [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

π/2

Question 17

Calcula el área bajo la curva de la función f(x) = x² en el intervalo [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

16/3

Answer

4

Question 18

¿Cuál es la integral indefinida de la función f(x) = x² + 2x + 3?

Accepted Answer

x³/3 + x² + 3x + C

Answer

3x² + 2x + C

Answer

x³ + 2x² + 3x + C

Answer

x² + 3x + C

Question 19

Determina la primitiva de la función f(x) = 1/(x - 2).

Accepted Answer

ln|x - 2| + C

Answer

x/(x - 2) + C

Answer

(x - 2)/x + C

Answer

1/(x - 2) + C

Question 20

Calcula el área del espacio limitado por la curva y = x² y el eje x entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 21

Determina la integral por sustitución de la función f(x) = (x² + 1)³ * 2x.

Accepted Answer

(1/2) * (x² + 1)⁴ + C

Answer

2(x² + 1)³ + C

Answer

(x² + 1)³ + C

Answer

(1/2) * (x² + 1)² + C

Question 22

Calcula la integral indefinida de 3x².

Accepted Answer

x³ + C

Answer

6x + C

Answer

9x² + C

Question 23

Si F(x) = 2x + 5 es una antiderivada de f(x), ¿cuál es el valor de la integral definida ∫[1, 3] f(x) dx?

Accepted Answer

12

Answer

10

Answer

14

Answer

8

Question 24

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una técnica de integración?

Accepted Answer

Derivación logarítmica

Answer

Integración por partes

Answer

Fracciones parciales

Answer

Sustitución trigonométrica

Question 25

La integral definida ∫[0, 2] (x² - 1) dx representa el área bajo la curva de y = x² - 1 entre x = 0 y x = 2. ¿Es esta afirmación verdadera o falsa?

Accepted Answer

Falsa

Answer

Depende del valor de la constante de integración

Answer

Solo si la curva es positiva en ese intervalo

Answer

Verdadera

Question 26

La integración por partes se utiliza para integrar productos de funciones. ¿Cuál es la fórmula correcta para la integración por partes?

Accepted Answer

∫ u dv = uv - ∫ v du

Answer

∫ u dv = uv + ∫ v du

Answer

∫ u dv = u'v - ∫ v' du

Answer

∫ u dv = uv / ∫ v du

Question 27

Una empresa descubre que su costo marginal de producir x unidades de un producto es C'(x) = 0.03x² + 2x, donde C(x) representa el costo total en euros. Si el costo fijo de producción es de 100 euros, ¿cuál es el costo total de producir 10 unidades?

Accepted Answer

210 euros

Answer

310 euros

Answer

200 euros

Answer

110 euros

Question 28

Calcula la integral indefinida de cos(2x).

Accepted Answer

(1/2)sin(2x) + C

Answer

(1/2)cos(2x) + C

Answer

-sin(2x) + C

Answer

-2sin(2x) + C

Question 29

La integral definida ∫[-a, a] f(x) dx = 0 si f(x) es una función impar. ¿Es esta afirmación verdadera o falsa?

Accepted Answer

Verdadera

Answer

Falsa

Answer

Solo si f(x) es continua

Answer

Depende del valor de a

Question 30

La sustitución trigonométrica se utiliza para integrar funciones que involucran expresiones radicales. ¿Qué sustitución se utiliza generalmente para  ∫ √(a² - x²) dx?

Accepted Answer

x = asin(θ)

Answer

x = atan(θ)

Answer

x = asec(θ)

Answer

x = acos(θ)

Question 31

Calcula el valor de la integral definida  ∫[0, π/2] sin(x) dx.

Accepted Answer

1

Answer

π/2

Answer

0

Answer

-1