Espacios vectoriales: Conceptos básicos y aplicaciones

Question 1

¿Qué caracteriza a un espacio vectorial?

Accepted Answer

Es un conjunto con una suma y una multiplicación escalar.

Answer

Es un conjunto con una resta y una multiplicación matricial.

Answer

Es un conjunto con una división y una potencia.

Answer

Es un conjunto con un producto escalar y un producto vectorial.

Question 2

En R², ¿qué conjunto de vectores es linealmente independiente?

Accepted Answer

{ (1, 0), (0, 1) }

Answer

{ (1, 1), (2, 2) }

Answer

{ (1, 2), (2, 4) }

Answer

{ (1, 3), (2, 6) }

Question 3

¿Qué define una base?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio vectorial.

Answer

Un conjunto de vectores linealmente dependientes que no generan el espacio vectorial.

Answer

Un conjunto de vectores que no son linealmente independientes y generan el espacio vectorial.

Answer

Un conjunto de vectores que son linealmente independientes pero no generan el espacio vectorial.

Question 4

¿Qué teorema relaciona la dimensión de un espacio vectorial con la dimensión de sus subespacios?

Accepted Answer

Teorema de la dimensión

Answer

Teorema del rango-nulidad

Answer

Teorema de la base

Answer

Teorema de la independencia lineal

Question 5

Selecciona la definición correcta de espacio vectorial:

Accepted Answer

Un conjunto no vacío dotado de dos operaciones, suma y multiplicación escalar, que cumplen ciertas propiedades algebraicas, como conmutatividad, asociatividad y distributividad

Answer

Un conjunto de puntos en el plano que forman una recta

Question 6

Comprueba si el conjunto de polinomios de grado menor o igual que 3 es un espacio vectorial:

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada

Answer

Depende de los coeficientes de los polinomios

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las propiedades de los espacios vectoriales es INCORRECTA?

Accepted Answer

La suma de dos vectores es un escalar

Answer

Contiene un elemento neutro para la suma

Answer

Es un conjunto no vacío

Answer

Tiene dos operaciones: suma y multiplicación por escalares

Question 8

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio vectorial en R³?

Accepted Answer

{(x, y, z) | x - y + 2z = 0}

Answer

{(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}

Answer

{(x, y, z) | x² + y² + z² = 1}

Question 9

Sea W el subespacio vectorial de R³ generado por {(1, 0, 1), (0, 2, 1)}. ¿Cuál es la dimensión de W?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

1

Answer

3

Question 10

Si B = {(1, 0), (0, 1)} es una base para R², ¿cuál es la coordenada de (5, -3) relativa a B?

Accepted Answer

(5, -3)

Answer

(-3, 5)

Answer

(0, -3)

Answer

(5, 0)

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la independencia lineal es FALSA?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si span R³

Answer

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si todos ellos son distintos del vector cero

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto no vacío con dos operaciones: suma vectorial y multiplicación escalar, que satisfacen ciertas propiedades.

Answer

Un conjunto con elementos que pueden sumarse pero no multiplicarse.

Answer

Un conjunto con una única operación: la suma vectorial.

Question 13

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la independencia lineal es verdadera?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ningún vector del conjunto puede expresarse como combinación lineal de los demás.

Answer

Todos los vectores de un conjunto linealmente independiente son vectores nulos.

Question 14

¿Cuál de las siguientes operaciones NO está definida para los espacios vectoriales?

Accepted Answer

Producto escalar

Answer

Resta vectorial

Answer

Multiplicación escalar

Answer

Suma vectorial

Question 15

¿Cuál de los siguientes espacios vectoriales es de dimensión infinita?

Accepted Answer

El espacio de todas las funciones continuas en el intervalo [0, 1].

Answer

El espacio de todos los vectores de tamaño n.

Answer

El espacio de todos los números racionales.

Question 16

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío con dos operaciones, suma vectorial y multiplicación escalar, que satisfacen ciertas propiedades.

Answer

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores con longitud y dirección.

Answer

Un espacio vectorial es un subconjunto del plano cartesiano.

Question 17

Para que un subconjunto S de un espacio vectorial V sea un subespacio, ¿cuál de las siguientes condiciones debe cumplirse?

Accepted Answer

S debe estar cerrado bajo suma vectorial y multiplicación escalar, y contener el vector cero.

Answer

S debe contener todos los vectores de V.

Answer

S debe ser un conjunto finito.

Answer

S debe ser linealmente independiente.

Question 18

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es equivalente a decir que un conjunto de vectores es linealmente independiente?

Accepted Answer

El único vector lineal que puede escribirse como una combinación lineal de los vectores dados es el vector cero.

Answer

El conjunto de vectores forma una base.

Question 19

Sea W un subespacio de un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Accepted Answer

La dimensión de W es menor o igual que la dimensión de V.

Answer

La dimensión de W es siempre igual a la dimensión de V.

Answer

La dimensión de W puede ser mayor que la dimensión de V.

Question 20

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente una base de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio vectorial.

Answer

Una base es un conjunto de vectores que contiene el vector cero.

Answer

Una base es un conjunto de vectores ortogonales que generan el espacio vectorial.

Question 21

Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto de V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en S es un subespacio de V.

Answer

El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en S es siempre un espacio vectorial.

Answer

El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en S es un subespacio de V si y solo si S es linealmente independiente.

Question 22

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la intersección de subespacios es cierta?

Accepted Answer

La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Answer

La intersección de dos subespacios es un subespacio si y solo si los subespacios son ortogonales.

Answer

La intersección de dos subespacios es siempre el vector cero.

Question 23

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente la dimensión de un espacio vectorial?

Accepted Answer

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en una base.

Answer

La dimensión de un espacio vectorial es siempre infinita.

Answer

La dimensión de un espacio vectorial es el número total de vectores en el espacio.

Question 24

Define el concepto de espacio vectorial.

Accepted Answer

Es un conjunto no vacío con dos operaciones internas, la suma de vectores y el producto por un escalar, que satisfacen ciertas propiedades.

Answer

Es un conjunto de matrices con una operación de multiplicación.

Answer

Es un conjunto de números reales con una operación de suma.

Question 25

Explica la definición de independencia lineal de vectores en un espacio vectorial.

Accepted Answer

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única combinación lineal que resulta en el vector cero es la combinación trivial.

Answer

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si forman una base.

Question 26

Define el concepto de generadores de un espacio vectorial.

Accepted Answer

Son vectores que, mediante combinaciones lineales, generan todo el espacio vectorial.

Answer

Son vectores que forman una base.

Answer

Son vectores que son linealmente independientes.

Question 27

Describe el producto escalar en un espacio vectorial.

Accepted Answer

Es una operación bilineal que produce un escalar, que mide la magnitud relativa y el ángulo entre dos vectores.

Answer

Es una operación que solo está definida para vectores de la misma longitud.

Answer

Es una operación que produce un vector.

Answer

Es una operación que solo está definida para vectores ortogonales.

Question 28

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por un escalar definidas como la suma y el producto usuales de matrices?

Accepted Answer

El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n.

Answer

El conjunto de todas las matrices singulares de orden n.

Answer

El conjunto de todas las matrices rectangulares de orden m x n.

Question 29

¿Cuál de las siguientes definiciones describe correctamente un espacio vectorial?

Accepted Answer

Es un conjunto no vacío con dos operaciones, suma y multiplicación por un escalar, que cumplen ciertas propiedades (conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de elemento neutro para la suma y la multiplicación por escalar, y existencia de elemento opuesto para la suma).

Answer

Es un conjunto no vacío con operaciones de suma y resta.

Question 30

¿Cuál de los siguientes conjuntos es una base del espacio vectorial P1(R) de polinomios de grado menor o igual que 1?

Accepted Answer

{1, x}

Answer

{1, x, x² }

Answer

{1, x³ }

Answer

{ x, x² }

Question 31

¿Cuál es la norma euclidiana del vector v = (2, 1, -3) en R³?

Accepted Answer

√14

Answer

6

Answer

3

Question 32

Un espacio vectorial tiene una base con 3 vectores linealmente independientes. ¿Cuál es su dimensión?

Accepted Answer

3

Answer

Infinito

Answer

1

Question 33

En un espacio vectorial, el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores es un:

Accepted Answer

Subespacio

Answer

Espacio afín

Answer

Conjunto conexo

Answer

Conjunto acotado

Question 34

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si:

Accepted Answer

Ninguno de sus vectores es múltiplo de los demás

Answer

Su número es igual a la dimensión del espacio

Answer

Su suma es el vector cero

Answer

Forman una base del espacio

Question 35

Una base de un espacio vectorial es:

Accepted Answer

Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio

Answer

Un conjunto de vectores que forma un subespacio

Answer

Un conjunto de vectores que abarca el espacio

Question 36

En un espacio vectorial de dimensión n, el número máximo de vectores linealmente independientes es:

Accepted Answer

n

Answer

n/2

Answer

n-1

Answer

n+1

Question 37

El espacio vectorial de todas las funciones continuas en un intervalo cerrado es:

Accepted Answer

Infinito-dimensional

Answer

No es un espacio vectorial

Answer

Finito-dimensional

Answer

De dimensión cero

Question 38

Una matriz que representa una transformación lineal entre dos espacios vectoriales es:

Accepted Answer

Una matriz rectangular

Answer

Una matriz cuadrada

Answer

Una matriz diagonal

Answer

Una matriz simétrica

Question 39

El núcleo de una transformación lineal es:

Accepted Answer

El subespacio de los vectores que se transforman en el vector cero

Answer

El subespacio de los vectores que se transforman en un vector no cero

Answer

El conjunto de todos los vectores del espacio original

Question 40

El rango de una transformación lineal es:

Accepted Answer

El subespacio del espacio de destino generado por los vectores transformados

Answer

El subespacio del espacio original generado por los vectores transformadores

Answer

El conjunto de todos los vectores del espacio original

Question 41

Sea V = { (x, y) | x, y ∈ R } el espacio vectorial de todos los pares ordenados de números reales. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es una base de V?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 0), (1, 1)}

Answer

{(1, 1), (2, 2)}

Question 42

Sea W = {(x, y, z) ∈ R³ | x + y + z = 0} un subespacio vectorial de R³. ¿Cuál es la dimensión de W?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

0

Answer

1

Question 43

Considera el espacio vectorial de matrices 2x2 con entradas reales. ¿Cuál de las siguientes operaciones NO define una transformación lineal?

Accepted Answer

La multiplicación de matrices.

Answer

La suma de matrices.

Answer

La transpuesta de una matriz.

Answer

La multiplicación de una matriz por un escalar.

Question 44

Sea B = {v₁, v₂, ..., v_n} una base de un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

Accepted Answer

Todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal única de los vectores en B.

Answer

B es un subconjunto infinito de V.

Answer

B es un subconjunto linealmente dependiente de V.

Question 45

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es una propiedad de los espacios vectoriales?

Accepted Answer

La suma de dos vectores en V siempre es igual al vector cero.

Answer

Existe un vector cero en V, que cumple la propiedad  v + 0 = v para cualquier v en V.

Answer

Para cada vector v en V, existe un vector -v tal que v + (-v) = 0.

Question 46

Considera los vectores u = (1, 2) y v = (3, -1) en R^2. ¿Cuál es el vector resultante de la combinación lineal 2u - 3v?

Accepted Answer

(-7, 7)

Answer

(1, 7)

Answer

(5, 1)

Answer

(0, 0)

Question 47

Un conjunto de vectores en un espacio vectorial se considera linealmente independiente si...

Accepted Answer

ninguna combinación lineal no trivial de los vectores resulta en el vector cero.

Answer

la suma de todos los vectores es igual al vector cero.

Answer

todos los vectores son ortogonales entre sí.

Question 48

Sea S = {v1, v2, v3} un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza que S sea un conjunto generador de V?

Accepted Answer

Cualquier vector en V puede expresarse como una combinación lineal de v1, v2 y v3.

Answer

El número de vectores en S es igual a la dimensión de V.

Answer

Los vectores v1, v2 y v3 son linealmente independientes.

Question 49

Un subespacio de un espacio vectorial V es...

Accepted Answer

un subconjunto no vacío de V que es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.

Answer

un conjunto de vectores linealmente independientes.

Answer

un conjunto de vectores que genera V.

Question 50

Dado un espacio vectorial V con dimensión n, ¿cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes que se pueden encontrar en V?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

Infinito

Answer

n+1

Question 51

Sea V un espacio vectorial con base B = {v1, v2, ..., vn}. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

Accepted Answer

Cualquier vector en V puede expresarse de manera única como una combinación lineal de los vectores en B.

Answer

B contiene todos los vectores de V.