Derivadas e integrales de funciones de variable compleja: cuestionarios interactivos

Question 1

Define la derivada de una función de variable compleja.

Accepted Answer

Límite del incremento de la función dividido por el incremento del argumento cuando este último tiende a cero

Answer

Límite de la función cuando el argumento tiende a infinito

Answer

Valor de la función en un punto determinado

Answer

Integral de la función

Question 2

Señala cuál de estas afirmaciones sobre las integrales de funciones de variable compleja es falsa.

Accepted Answer

La integral de una función a lo largo de un camino cerrado depende del camino

Answer

La integral de una función continua en un camino cerrado es cero

Answer

La integral de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo es independiente del camino

Answer

La integral de una función meromorfa en un dominio tiene un número finito de polos

Question 3

Calcula la derivada de f(z) = e^(iz).

Accepted Answer

ie^(iz)

Answer

i^(iz)

Answer

e^(iz)

Answer

-ie^(iz)

Question 4

Calcula la integral de f(z) = 1/(z-1) alrededor del círculo unitario centrado en el origen.

Accepted Answer

2πi

Answer

-2πi

Answer

0

Answer

∞

Question 5

Calcula la derivada de la función compleja f(z) = z² - 2z + 1 respecto de z.

Accepted Answer

2z - 2

Answer

2

Answer

1

Answer

z² - 2

Question 6

Determina si la función f(z) = z*exp(z) es analítica en el punto z = 0.

Accepted Answer

Sí

Answer

Sólo si z es real

Answer

Sólo si z es imaginario

Answer

No

Question 7

Determina el tipo de singularidad de la función f(z) = 1/(z-1)² en el punto z = 1.

Accepted Answer

Polo de orden 2

Answer

Polo simple

Answer

Singularidad esencial

Answer

Punto regular

Question 8

Determina si la función f(z) = |z|² es analítica en el punto z = 0.

Accepted Answer

No

Answer

Sólo si z es imaginario

Answer

Sí

Answer

Sólo si z es real

Question 9

Calcula la integral de contorno ∫[C] 1/(z-i) dz, donde C es el círculo |z| = 2 recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj.

Accepted Answer

2πi

Answer

0

Answer

-2πi

Question 10

¿Cuál de las siguientes funciones es analítica en el punto z = 2?

Accepted Answer

f(z) = z^3 - 4z + 1

Answer

f(z) = e^(1/(z-2))

Answer

f(z) = 1/(z-2)^2

Answer

f(z) = |z-2|

Question 11

Determina la integral indefinida de la función f(z) = e^(2z).

Accepted Answer

1/2 * e^(2z) + C

Answer

No tiene integral indefinida

Answer

2 * e^(2z) + C

Answer

1/2 * e^(z) + C

Question 12

¿Cuál es la fórmula para determinar el residuo de una función compleja?

Accepted Answer

Res(f, z0) = lim (z->z0) (z - z0) * f(z)

Answer

Res(f, z0) = f'(z0)

Answer

Res(f, z0) = f(z0)

Answer

No existe una fórmula específica

Question 13

¿Cuál es la principal aplicación del teorema de los residuos?

Accepted Answer

Evaluación de integrales impropias

Answer

Cálculo de derivadas

Answer

Resolución de ecuaciones diferenciales

Question 14

¿Cuál de las siguientes funciones tiene un punto singular esencial en z = 0?

Accepted Answer

f(z) = e^(1/z)

Answer

f(z) = 1/(z-1)

Answer

f(z) = z²

Question 15

¿Cómo se define una integral de superficie de una función compleja?

Accepted Answer

El límite de una suma de integrales de línea

Answer

No existe una definición específica

Answer

El volumen encerrado por la superficie definida por la función

Answer

El área bajo la superficie definida por la función

Question 16

¿Cuál es el teorema que establece la equivalencia entre integrales de línea y de superficie para funciones holomorfas?

Accepted Answer

Teorema de Cauchy-Goursat

Answer

Teorema de la divergencia

Answer

Teorema de Stokes

Answer

No existe un teorema equivalente

Question 17

¿Cuál es la derivada de la función f(z) = |z|^2, donde |z| denota el módulo de z?

Accepted Answer

2z · ̅z

Answer

|z|

Answer

z

Answer

0

Question 18

Calcula el valor de la integral de contorno de la función f(z) = 1 / z alrededor de la unidad circular γ con centro en el origen, orientada en sentido antihorario.

Accepted Answer

2πi

Answer

π

Answer

0

Answer

-2πi

Question 19

Determina la función antiderivada de f(z) = e^(2iz).

Accepted Answer

(1/2i) e^(2iz) + C

Answer

e^(2iz)

Answer

2e^(2iz) + C

Answer

-e^(2iz) + C

Question 20

Calcula el residuo de la función f(z) = (z - 1) / (z^2 - 1) en el polo z = 1.

Accepted Answer

1 / 2

Answer

-1 / 2

Answer

1

Answer

0

Question 21

Determina el tipo de singularidad de la función f(z) = 1 / (z - 1)^3 en z = 1.

Accepted Answer

Polo de orden 3

Answer

Singularidad evitable

Answer

Polo simple

Answer

Singularidad esencial

Question 22

Si f(z) es una función analítica en el disco abierto |z| < R, ¿cuál es la serie de Taylor de f(z) alrededor del origen?

Accepted Answer

Σ_(n=0)^∞ (a_n)z^n

Answer

Σ_(n=-∞)^∞ (a_n)z^n

Answer

Σ_(n=1)^∞ (a_n)z^n

Answer

Σ_(n=-∞)^∞ (b_n)z^-n

Question 23

Si f(z) es una función meromórfica en el plano complejo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Accepted Answer

Tiene un número finito de ceros y polos.

Answer

Es analítica en todo el plano complejo.

Answer

Tiene un número infinito de puntos de ramificación.

Answer

Tiene un número infinito de singularidades esenciales.