Funciones Complejas: Aprende y Evalúa tus Conocimientos

Question 1

Si una función compleja f(z) se expresa como f(z) = u(x, y) + iv(x, y), donde u y v son funciones reales de las variables reales x e y, ¿qué condición debe cumplirse para que f(z) sea diferenciable en un punto z?

Accepted Answer

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann deben satisfacerse: ∂u/∂x = ∂v/∂y y ∂u/∂y = -∂v/∂x.

Answer

La derivada parcial de v con respecto a y debe ser cero.

Answer

La derivada parcial de u con respecto a x debe ser cero.

Question 2

Si una función compleja f(z) es continua en un conjunto cerrado y acotado, ¿qué podemos afirmar con certeza?

Accepted Answer

f(z) alcanza su valor máximo y mínimo en el conjunto.

Answer

f(z) es holomorfa en el conjunto.

Answer

f(z) es constante en el conjunto.

Answer

f(z) es diferenciable en el conjunto.

Question 3

¿Cuál de las siguientes expresiones representa una integral de línea en el plano complejo?

Accepted Answer

∫_C f(z) dz

Answer

∫_R f(x,y) dxdy

Answer

∫_t f(t) dt

Answer

∫_S f(x,y,z) dV

Question 4

Si una función compleja f(z) es holomorfa en un conjunto abierto y su derivada f'(z) es igual a cero para todo z en el conjunto, ¿qué se puede concluir sobre f(z) en ese conjunto?

Accepted Answer

f(z) es constante en el conjunto.

Answer

f(z) es un polinomio de grado 1 en el conjunto.

Answer

f(z) es una función exponencial en el conjunto.

Answer

f(z) es una función lineal en el conjunto.

Question 5

Identifica una función compleja que posee una singularidad esencial en z = 0.

Accepted Answer

f(z) = e^(1/z)

Answer

f(z) = 1/(z-1)

Answer

f(z) = z^2 - 1

Answer

f(z) = sin(z)

Question 6

¿Cuál es el dominio de la función f(z) = z^2 + 1?

Accepted Answer

El conjunto de todos los números complejos.

Answer

El conjunto de números racionales.

Answer

El conjunto de números reales positivos.

Answer

El conjunto de números enteros.

Question 7

Analiza la continuidad de la función f(z) = e^z en z = 0.

Accepted Answer

Sí, la función es continua en z = 0.

Answer

No, tiene una discontinuidad por salto en z = 0.

Answer

Sí, tiene una discontinuidad removible en z = 0.

Answer

No, tiene una discontinuidad esencial en z = 0.

Question 8

Calcula la derivada de la función f(z) = sin(z^2) con respecto a z.

Accepted Answer

2z⋅cos(z^2)

Answer

-sin(z^2)

Answer

cos(z^2)

Answer

sin(z)

Question 9

Las funciones de variable compleja son:

Accepted Answer

Extensiones de las funciones reales que pueden tomar valores complejos.

Answer

Funciones que no tienen relación con las funciones reales.

Answer

Funciones que solo pueden tomar valores reales.

Answer

Funciones que se definen únicamente en el plano complejo.

Question 10

¿Cuál de los siguientes números NO es un número complejo?

Accepted Answer

5

Answer

i

Answer

-2 - 5i

Answer

3 + 4i

Question 11

El módulo del número complejo z = 2 + 3i es:

Accepted Answer

√13

Answer

6

Answer

10

Answer

5

Question 12

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en todo el plano complejo?

Accepted Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = Re(z)

Answer

f(z) = |z|

Answer

f(z) = 1/z

Question 13

La derivada de la función f(z) = e^z es:

Accepted Answer

e^z

Answer

1/e^z

Answer

z

Answer

e

Question 14

El residuo de la función f(z) = (z-1)/(z^2-1) en z = 1 es:

Accepted Answer

1/2

Answer

-1/2

Answer

0

Answer

1

Question 15

La integral de contorno ∮(z^2)/(z+1) dz, donde C: |z-1| = 2, es igual a:

Accepted Answer

2πi

Answer

0

Answer

4πi

Answer

πi

Question 16

La serie de potencias que representa la función f(z) = 1/(1-z) en el disco unitario es:

Accepted Answer

∑(z^n) para n = 0 a infinito

Answer

∑(n!/z^n) para n = 0 a infinito

Answer

∑(z^n)/n! para n = 0 a infinito

Answer

∑(n*z^n) para n = 0 a infinito

Question 17

¿Cuál de los siguientes conjuntos es abierto y conexo en el plano complejo?

Accepted Answer

{z : |z| > 1}

Answer

{z : 0 < |z| < 1}

Answer

{z : |z| < 1}

Answer

{z : |z| = 1}

Question 18

El orden del polo de la función f(z) = 1/(z-1)^3 en z = 1 es:

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

Infinito

Answer

2

Question 19

De las siguientes opciones, ¿cuál NO es una función de variable compleja?

Accepted Answer

f(z) = |z|

Answer

f(z) = sin(z)

Answer

f(z) = e^z

Answer

f(z) = z^2 + 2z - 1

Question 20

Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es una función analítica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

Accepted Answer

u y v son funciones armónicas conjugadas si y solo si f(z) es continua.

Answer

Las funciones u y v son armónicas.

Answer

f'(z) existe y es independiente de la dirección en la que z se acerca a un punto.

Answer

Las partes real e imaginaria de f(z), u(x, y) y v(x, y), satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Question 21

Calcula el límite de la función f(z) = (z^2 - 1)/(z - 1) cuando z tiende a 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

No existe el límite.

Answer

1

Question 22

Determina la imagen del eje real bajo la transformación f(z) = iz.

Accepted Answer

Eje imaginario

Answer

Circunferencia unitaria

Answer

Eje real

Answer

Recta y = x

Question 23

La derivada de la función f(z) = z^3 - 2z + 1 es:

Accepted Answer

f'(z) = 3z^2 - 2

Answer

f'(z) no existe

Answer

f'(z) = z^2 - 2

Answer

f'(z) = 3z^2 - 2z + 1

Question 24

Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) y u(x, y) = x^2 - y^2, encuentra v(x, y) sabiendo que f(z) es analítica y f(0) = 0.

Accepted Answer

v(x, y) = 2xy

Answer

v(x, y) = x^2 + y^2

Answer

v(x, y) =  y^2 - x^2

Answer

v(x, y) = -2xy

Question 25

La función f(z) = |z|^2 es analítica:

Accepted Answer

Solo en z = 0.

Answer

En todo el plano complejo.

Answer

En todo el plano complejo excepto en z = 0.

Answer

En ningún punto del plano complejo.

Question 26

El valor principal de la raíz cuadrada de -4 es:

Accepted Answer

2i

Answer

-2i

Answer

2

Answer

-2

Question 27

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una singularidad esencial en z = 0?

Accepted Answer

f(z) = e^(1/z)

Answer

f(z) = 1/z

Answer

f(z) = sin(z)/z

Answer

f(z) = z^2