Límites y continuidad: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático II

Question 1

Sea f(x, y) = x^2 + y^2. ¿Cuál es el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0)?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

No existe.

Question 2

Sea g(x, y) = |x - y|. ¿En qué puntos del plano xy es g(x, y) discontinua?

Accepted Answer

En la recta x = y.

Answer

En la recta y = 0.

Answer

En el punto (0, 0).

Answer

En ningún punto.

Question 3

Sea f(x, y) = sen(x^2 + y^2). ¿Cuál es la matriz hessiana de f(x, y)?

Accepted Answer

2cos(x^2 + y^2) * [[1, 0], [0, 1]]

Answer

cos(x^2 + y^2) * [[1, 0], [0, 1]]

Answer

-sen(x^2 + y^2) * [[1, 0], [0, 1]]

Answer

sen(x^2 + y^2) * [[1, 0], [0, 1]]

Question 4

Calcula el límite de la función f(x, y) = (x² - y²) / (x² + y²) cuando (x, y) tiende al origen (0, 0).

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 5

Determina si la función f(x, y) = xy / (x² + y²) es continua en el origen (0, 0).

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua solo en el eje x

Answer

Es continua solo en el eje y

Answer

Es continua

Question 6

Sea f(x, y) una función definida en un dominio abierto que contiene el punto (a, b). Si el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) existe, ¿qué se puede concluir?

Accepted Answer

f(x, y) es continua en (a, b).

Answer

f(x, y) es integrable sobre cualquier dominio que contenga (a, b).

Answer

f(x, y) tiene un máximo en (a, b).

Answer

f(x, y) es diferenciable en (a, b).

Question 7

¿Cuál de los siguientes teoremas garantiza que una función f(x, y) es continua en un dominio abierto?

Accepted Answer

Teorema de continuidad de funciones compuestas

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema de la derivada

Answer

Teorema de Rolle

Question 8

Sea f(x, y) una función continua en un dominio cerrado y acotado. ¿Qué se puede afirmar?

Accepted Answer

f(x, y) alcanza un máximo y un mínimo absolutos en el dominio.

Answer

f(x, y) tiene un punto crítico en el dominio.

Answer

f(x, y) es diferenciable en el dominio.

Question 9

¿Cuál de las siguientes funciones NO es continua en su dominio?

Accepted Answer

f(x, y) = 1 / (x² - y²)

Answer

f(x, y) = x² + y²

Answer

f(x, y) = sin(x + y)

Answer

f(x, y) = e^(x*y)

Question 10

Calcula el límite de la función f(x, y) = (x³ - y³) / (x² - y²) cuando (x, y) tiende al punto (1, 1).

Accepted Answer

2

Answer

Infinito

Answer

0

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los límites de funciones es correcta?

Accepted Answer

Un límite existe si y solo si el valor de la función se aproxima a un valor finito cuando la variable independiente se acerca a un valor específico.

Answer

Un límite existe si y solo si el valor de la función se acerca a infinito cuando la variable independiente se acerca a un valor específico.

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la continuidad de las funciones es correcta?

Accepted Answer

Una función es continua en un punto si existe su límite en ese punto y el valor de la función en ese punto es igual al límite.

Answer

Una función es continua en un punto si existe su derivada en ese punto.

Question 13

¿Cuál de las siguientes funciones es continua pero no diferenciable en un punto?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = log(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los límites de funciones multivariables es correcta?

Accepted Answer

El límite de una función multivariable existe si y solo si el límite existe en cada dirección de aproximación.

Answer

El límite de una función multivariable siempre existe si las derivadas parciales existen.

Question 15

¿Cuál de los siguientes teoremas sobre continuidad de funciones multivariables es verdadero?

Accepted Answer

El Teorema de Continuidad para Funciones Multivariables establece que si una función es continua en cada componente de su dominio, entonces la función es continua en todo el dominio.

Answer

El Teorema de Continuidad para Funciones Unidimensionales establece que si una función es continua en un punto, entonces la función es continua en todo su dominio.

Question 16

¿Cuál de las siguientes funciones multivariables es continua pero no diferenciable en todos los puntos de su dominio?

Accepted Answer

f(x,y) = |x - y|

Answer

f(x,y) = x^2 + y^2

Answer

f(x,y) = cos(x^2 - y^2)

Answer

f(x,y) = sen(x + y)

Question 17

Calcula el límite  $\lim_{(x,y) 	o (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$, si existe.

Accepted Answer

El límite no existe.

Answer

0

Answer

$\infty$

Answer

1

Question 18

Sea $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ si $(x,y) 
eq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$. ¿Es $f$ continua en $(0,0)$?

Accepted Answer

No, porque el límite de $f$ cuando $(x,y)$ tiende a $(0,0)$ no existe.

Answer

No se puede determinar la continuidad de $f$ en $(0,0)$.

Answer

Sí, porque el límite de $f$ cuando $(x,y)$ tiende a $(0,0)$ es 0.

Answer

Sí, porque $f(0,0)$ está definido.

Question 19

Determina el conjunto de puntos donde la función $f(x,y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ es continua.

Accepted Answer

{(x,y) ∈ R² : x² + y² ≤ 9}

Answer

{(x,y) ∈ R² : x² + y² < 9}

Answer

R²

Answer

{(x,y) ∈ R² : x² + y² > 9}

Question 20

Sea $f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2$. Calcula el límite direccional de $f$ en $(1,1)$ en la dirección del vector $\vec{u} = \langle 1,1 \rangle$.

Accepted Answer

$4\sqrt{2}$

Answer

8

Answer

4

Answer

El límite no existe.

Question 21

Si $f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$, ¿en qué puntos no es diferenciable $f$?

Accepted Answer

$(0,0)$

Answer

En todos los puntos del plano.

Answer

No existe ningún punto donde $f$ no sea diferenciable.

Answer

$(1,1)$

Question 22

Determina si la función $f(x,y) = |x| + |y|$ es diferenciable en $(0,0)$.

Accepted Answer

No, porque las derivadas parciales de $f$ no son continuas en $(0,0)$.

Answer

Sí, porque las derivadas parciales de $f$ existen en $(0,0)$.

Answer

Sí, porque $f$ es continua en $(0,0)$.

Question 23

Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie $z = x^2 + y^2$ en el punto $(1,2,5)$.

Accepted Answer

$z = 2x + 4y - 5$

Answer

$z = x + 2y - 5$

Answer

$z = x^2 + y^2$

Answer

$z = 2x + 4y$

Question 24

Encuentra los puntos críticos de la función $f(x,y) = x^3 - 3xy + y^3$.

Accepted Answer

$(0,0), (1,1)$

Answer

$(1,1)$

Answer

No hay puntos críticos.

Answer

$(0,0)$

Question 25

Utiliza el criterio de la segunda derivada para clasificar el punto crítico $(0,0)$ de la función $f(x,y) = x^2 - y^2$.

Accepted Answer

Punto de silla

Answer

Mínimo local

Answer

El criterio de la segunda derivada no es concluyente.

Answer

Máximo local