Error en la Integración Numérica: Conceptos y Ejercicios

Question 1

En la fórmula de integración trapezoidal, que aproxima la integral $int_a^b f(x)  dx$ con $n$ subintervalos, ¿qué expresión estima el error?

Accepted Answer

$E_n approx rac{(b-a)^3}{12 n^2} f''(c)$

Answer

$E_n approx rac{(b-a)^3}{12 n} f''(c)$

Answer

$E_n approx rac{(b-a)^2}{12 n^2} f'(c)$

Answer

$E_n approx rac{(b-a)^2}{12 n} f''(c)$

Question 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el error en la integración numérica es correcta?

Accepted Answer

El error disminuye al disminuir el tamaño del paso de integración.

Answer

El error disminuye al aumentar el tamaño del paso de integración.

Answer

El error no depende del número de puntos de integración utilizados.

Question 3

El método de integración numérica más preciso es:

Accepted Answer

Gauss-Legendre

Answer

Rectángulos

Answer

Trapecio

Answer

Simpson 1/3

Question 4

El método de integración numérica que utiliza pesos y puntos específicos es:

Accepted Answer

Gauss-Legendre

Answer

Simpson 1/3

Answer

Rectángulos

Answer

Trapecio

Question 5

El error que surge cuando la función integrada no es lo suficientemente suave se denomina:

Accepted Answer

Error de truncamiento

Answer

Error de propagación

Answer

Error de extrapolación

Answer

Error de redondeo

Question 6

La convergencia de un método de integración numérica implica que:

Accepted Answer

El error disminuye a medida que aumenta el número de intervalos.

Answer

El error aumenta.

Answer

El error se mantiene constante.

Question 7

El método de Simpson 1/3 se caracteriza por tener:

Accepted Answer

Orden de convergencia 3

Answer

Inutilidad para funciones discontinuas

Answer

Orden de convergencia 2

Answer

Menor número de evaluaciones de función que el método de los trapecios

Question 8

El error de redondeo en integración numérica es causado por:

Accepted Answer

Representación finita de números en la computadora

Answer

Errores en el algoritmo de integración

Answer

Suavidad insuficiente de la función integrada

Question 9

El propósito de la integración numérica es:

Accepted Answer

Aproximar el valor de una integral definida

Answer

Optimizar funciones

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Encontrar raíces de polinomios

Question 10

El error por truncamiento en la fórmula del punto medio para la integración numérica es proporcional a:

Accepted Answer

h³

Answer

h

Answer

h⁴

Answer

h²

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el error de cuadratura es correcta?

Accepted Answer

Es el error debido a la aproximación de la integral por una suma finita.

Answer

Es el error debido a la integración sobre un intervalo finito.

Answer

Es el error debido a la elección del método de integración numérica.

Question 12

¿Qué método de integración numérica es conocido por su alta precisión para funciones con derivadas de orden superior continuas?

Accepted Answer

Regla de Gauss-Legendre

Answer

Regla de Simpson de 3/8

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla trapezoidal

Question 13

La convergencia de un método de integración numérica implica que:

Accepted Answer

El error disminuye a cero cuando el tamaño del paso tiende a cero.

Answer

El error aumenta cuando el tamaño del paso tiende a cero.

Answer

El error permanece constante cuando el tamaño del paso tiende a cero.

Question 14

¿Cuál de los siguientes factores NO afecta la precisión de la integración numérica?

Accepted Answer

La potencia de cálculo disponible

Answer

La continuidad de la función integrada

Answer

El tamaño del paso

Answer

La precisión del método utilizado

Question 15

Para estimar el error en la integración de ∫[a,b] f(x) dx usando la regla trapezoidal, se puede utilizar la fórmula:

Accepted Answer

E ≈ -(b-a)³ f''(ξ) / 12

Answer

E ≈ -(b-a)⁵ f''''(ξ) / 12

Answer

E ≈ (b-a)⁵ f''''(ξ) / 12

Answer

E ≈ (b-a)³ f''(ξ) / 12

Question 16

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la integración numérica es cierta?

Accepted Answer

Es una técnica para aproximar el valor de una integral definida usando computadoras.

Answer

Es una técnica que solo se puede utilizar para funciones continuas.

Answer

Es una técnica para calcular exactamente el valor de una integral definida.

Question 17

Identifica el método de integración numérica que utiliza una parábola que interpola tres puntos de la partición:

Accepted Answer

Método de Simpson

Answer

Método de Gauss

Answer

Método del Punto Medio

Question 18

Selecciona la fórmula que representa la extrapolación de Richardson para refinar la aproximación de la integral:

Accepted Answer

I_h/k = (k^2 * I_h - I_2h) / (k^2 - 1)

Answer

I_h/k = (k * I_h - I_2h) / (k - 1)

Answer

I_h/k = (k * I_h + I_2h) / (k + 1)

Answer

I_h/k = (2^k * I_h - I_2h) / (2^k - 1)

Question 19

Selecciona la afirmación correcta acerca de la convergencia del método de integración numérica:

Accepted Answer

La convergencia es del orden de h^p, donde p es el orden del método

Answer

La convergencia es del orden de h, donde h es el tamaño del paso

Answer

La convergencia es del orden de h^1/2, donde h es el tamaño del paso

Question 20

Para estimar el error en la regla del trapecio, se puede utilizar la fórmula:

Accepted Answer

E = -h²/12 ∫[a,b] f''(x) dx

Answer

E = -h/12 ∫[a,b] f(x) dx

Answer

E = -h/2 ∫[a,b] f'(x) dx

Answer

E = h²/12 ∫[a,b] f'''(x) dx

Question 21

La regla de Simpson 1/3 es más precisa que la regla del trapecio porque:

Accepted Answer

Tiene un orden de error más alto (4).

Answer

Es más fácil de implementar.

Answer

Utiliza más puntos de evaluación.

Answer

Requiere menos cálculos.

Question 22

La regla de Gauss-Legendre utiliza:

Accepted Answer

Puntos de integración y pesos óptimos.

Answer

Polinomios de interpolación de bajo grado.

Answer

Integración por partes.

Answer

Pesos de integración constantes.

Question 23

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica es adaptativo?

Accepted Answer

Regla de Romberg

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Regla de Simpson 3/8

Question 24

Define el error de cuadratura:

Accepted Answer

El error en la aproximación de una integral definida utilizando integración numérica.

Answer

El error en la integración por partes.

Answer

El error en la derivada de una función.

Question 25

La tasa de convergencia de un método de integración numérica se refiere a:

Accepted Answer

La rapidez con la que disminuye el error a medida que se reduce el tamaño del paso.

Answer

El orden de error del método.

Answer

El número de iteraciones necesarias para lograr una precisión determinada.