Interpolación polinomial: fórmulas, métodos y aplicaciones

Question 1

Dada la función f(x) = x³ - 2x² + x - 3, ¿cuál es el polinomio de interpolación de Lagrange que aproxima a f(x) en los puntos x = 0, 1 y 2?

Accepted Answer

L2(x) = -2 + 3x - x² + (x - 1)(x - 2) * f(0) / (-1 * (-2)) + (x - 0)(x - 2) * f(1) / (1 * (-1)) + (x - 0)(x - 1) * f(2) / (2 * 1)

Answer

L2(x) = x³ - 2x² + x - 3

Question 2

¿Cuál de las siguientes NO es una propiedad de los polinomios de interpolación?

Accepted Answer

Siempre convergen a la función interpolada.

Answer

El grado del polinomio es menor o igual que el número de puntos interpolados.

Answer

Interpolan la función en los puntos dados.

Answer

Son únicos para un conjunto dado de puntos interpolados y una función.

Question 3

En la interpolación de Hermite, ¿qué información adicional se proporciona además de los valores de la función en los puntos interpolados?

Accepted Answer

Los valores de la derivada de la función en los puntos interpolados.

Answer

Los valores de la integral de la función en los puntos interpolados.

Answer

Los valores de la segunda derivada de la función en los puntos interpolados.

Question 4

Dados los nodos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), la fórmula de interpolación polinomial de Lagrange establece que el polinomio de interpolación es:

Accepted Answer

yi * ((x - xi) / (xi - xj) * (x - xk) / (xi - xk))

Answer

((x - xi) / (xi - xj) * (x - xk) / (xi - xk))

Answer

yi * ((y - yi) / (xi - xj) * (y - yk) / (yi - yk))

Answer

xi * ((y - yi) / (xi - xj) * (y - yk) / (xi - xk))

Question 5

En la interpolación de Hermite, ¿qué tipo de polinomios se utilizan como base?

Accepted Answer

Polinomios que satisfacen tanto condiciones de valor como de derivada en los nodos.

Answer

Polinomios que solo satisfacen condiciones de valor en los nodos.

Answer

Funciones trigonométricas.

Question 6

¿Para qué tipo de funciones es más adecuada la interpolación trigonométrica?

Accepted Answer

Funciones con comportamiento oscilatorio.

Answer

Funciones exponenciales.

Answer

Funciones logarítmicas.

Answer

Funciones polinomiales.

Question 7

En la interpolación polinomial, el número de nodos:

Accepted Answer

Determina el grado del polinomio de interpolación.

Answer

Determina el orden de convergencia.

Answer

No afecta la precisión de la interpolación.

Answer

Depende del comportamiento de la función.

Question 8

La elección del método de interpolación depende principalmente de:

Accepted Answer

La función que se interpola y el propósito de la interpolación.

Answer

Solo el orden de convergencia deseado.

Answer

Solo el número de nodos disponibles.

Question 9

En la interpolación polinomial de Lagrange, ¿cuántos puntos de interpolación son necesarios para construir un polinomio de grado n?

Accepted Answer

n + 1

Answer

2n

Answer

n - 1

Answer

n / 2

Question 10

Al utilizar fórmulas de interpolación polinomial, ¿qué puede ocurrir si se emplean más puntos de interpolación de los necesarios?

Accepted Answer

Ocasiona oscilación en el polinomio interpolador.

Answer

Mejora la precisión del polinomio interpolador.

Answer

Reduce los errores de aproximación.

Question 11

En interpolación polinomial, ¿cuál de las siguientes afirmaciones sobre los errores es correcta?

Accepted Answer

El error en la aproximación de f(x) por el polinomio interpolador tiende a incrementarse hacia los extremos del intervalo de interpolación.

Answer

El error es constante a lo largo del intervalo de interpolación.

Question 12

En la interpolación de Hermite, ¿qué información adicional se necesita además de conocer los valores funcionales?

Accepted Answer

Derivadas en los puntos de interpolación

Answer

Integrales en los puntos de interpolación

Answer

Valores de la función en los puntos medios

Answer

No se requiere información adicional

Question 13

En la interpolación de Newton dividido, ¿qué ventajas ofrece el uso de diferencias divididas?

Accepted Answer

Simplificación en el cálculo y actualización del polinomio interpolador.

Answer

Mayor exactitud en la aproximación.

Answer

Menor número de términos en el polinomio interpolador.

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la interpolación polinomial es INCORRECTA?

Accepted Answer

La interpolación polinomial siempre produce la aproximación más precisa posible.

Answer

El grado del polinomio de interpolación determina el número de puntos de interpolación requeridos.

Answer

La interpolación polinomial es un método para aproximar una función mediante un polinomio que pasa por un conjunto de puntos dados.

Question 15

Dados los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 3), ¿cuál es el polinomio de interpolación de Lagrange de menor grado?

Accepted Answer

1 + x

Answer

1 + x^2

Answer

1 + x^2 - x

Answer

1 + x^2 + x^3

Question 16

En el contexto de la interpolación polinomial, definir el concepto de polinomio dividivo.

Accepted Answer

Un polinomio que se obtiene dividiendo el polinomio de interpolación original entre el producto de los factores lineales (x - xi), donde xi son los puntos de interpolación.

Answer

Un polinomio que tiene el mismo valor que el polinomio de interpolación en los puntos de interpolación.

Question 17

¿Cuál de las siguientes técnicas de interpolación polinomial garantiza la aproximación con la menor desviación media absoluta?

Accepted Answer

Interpolación de mínimos cuadrados

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Hermite

Question 18

En la interpolación polinomial, definir el fenómeno de Runge.

Accepted Answer

La tendencia del polinomio de interpolación a oscilar y desviarse significativamente de la función original cuando los puntos de interpolación están muy espaciados.

Answer

La tendencia del polinomio de interpolación a ser cada vez más preciso a medida que aumenta el grado del polinomio.

Question 19

Considerar la función f(x) = e^x. Supongamos que se dispone de los siguientes datos:
x | 0 | 0,5 | 1
f(x) | 1 | 1,6487 | 2,7183
Utilizando la interpolación polinomial de Lagrange, calcular el valor aproximado de f(0,25).

Accepted Answer

1,2968

Answer

1,3722

Answer

1,2214

Question 20

Para aproximar el valor de f(1,5) con los siguientes pares de datos: (0,1), (1,2), y (2,5), ¿cuál es el polinomio interpolador de Newton dividido que debemos utilizar?

Accepted Answer

P2(x) = 1 + 1(x-0) + 2(x-0)(x-1) + 1,5(x-0)(x-1)(x-2)

Answer

P3(x) = 1 + 1(x-0) + 2(x-0)(x-1) + 3(x-0)(x-1)(x-2)

Answer

P1(x) = 1 + 1(x-0)

Question 21

Entre las siguientes afirmaciones, ¿cuál describe mejor la interpolación de Hermite?

Accepted Answer

Es un tipo de interpolación que garantiza que el polinomio interpolador y sus derivadas de primer orden coincidan con los valores dados en los puntos de interpolación.

Answer

Es un tipo de interpolación que utiliza polinomios de grado arbitrario para aproximar funciones.

Answer

Es un tipo de interpolación que minimiza el error cuadrático medio.

Question 22

Compara la interpolación polinomial con la interpolación de spline cúbica. Menciona al menos una ventaja de la interpolación de spline cúbica.

Accepted Answer

Las splines cúbicas ofrecen mayor suavidad, reduciendo las oscilaciones y permitiendo el control de las derivadas en los puntos de interpolación.

Answer

La interpolación polinomial es más adecuada para funciones periódicas.

Answer

La interpolación polinomial es más fácil de implementar y computacionalmente más eficiente.