Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

¿Cuál es la definición de una ecuación diferencial de segundo orden?

Accepted Answer

Una ecuación que contiene derivadas de primer y segundo orden de una función desconocida

Answer

Una ecuación que contiene solo derivadas de primer orden de una función desconocida

Answer

Una ecuación que contiene solo derivadas de segundo orden de una función desconocida

Answer

Una ecuación que no contiene derivadas de una función desconocida

Question 2

Una ecuación diferencial de segundo orden se dice que es homogénea cuando:

Accepted Answer

Su lado derecho es cero

Answer

No contiene términos constantes

Answer

Sus coeficientes son constantes

Answer

Sus raíces son distintas

Question 3

¿Cuál es la ecuación característica de la ecuación diferencial y'' - 2y' + y = 0?

Accepted Answer

r^2 - 2r + 1 = 0

Answer

r^2 + 2r + 1 = 0

Answer

r^2 - 1 = 0

Answer

r^2 + 1 = 0

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden?

Accepted Answer

Tienen dos soluciones linealmente independientes.

Answer

Siempre tienen soluciones reales.

Answer

Sólo se pueden resolver mediante métodos numéricos.

Answer

Su orden más alto es 1.

Question 5

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes?

Accepted Answer

Método del operador D

Answer

Método de variación de parámetros

Answer

Método de reducción de orden

Answer

Método de ecuaciones exactas

Question 6

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden es lineal?

Accepted Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y'' + cos(y') = 0

Answer

y'' + (y')² = 0

Answer

y'' + e^y = 0

Question 7

Una ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes tiene la forma:

Accepted Answer

y'' + a1y' + a2y = 0

Answer

y'' - a1y' + a2y = 0

Answer

y' + a1y = 0

Answer

y'' + a1y' - a2y = 0

Question 8

Para resolver la ecuación diferencial y'' + 4y' + 3y = 0, se utiliza el método de:

Accepted Answer

Ecuación característica

Answer

Variación de parámetros

Answer

Sustitución

Answer

Integración por partes

Question 9

La solución particular de la ecuación diferencial y'' + 2y' + 5y = e^(-x) es:

Accepted Answer

y = (1/2)e^(-x)

Answer

y = x^2e^(-x)

Answer

y = xe^(-x)

Answer

y = e^(x)

Question 10

La ecuación diferencial y'' - 2y' + y = e^x es una ecuación diferencial de segundo orden:

Accepted Answer

Lineal no homogénea

Answer

No lineal no homogénea

Answer

No lineal homogénea

Answer

Lineal homogénea

Question 11

La ecuación diferencial y'' + 4y = 0 tiene como solución general:

Accepted Answer

y = c1cos(2x) + c2sen(2x)

Answer

y = c1e^(2x) + c2e^(-2x)

Answer

y = c1x + c2

Question 12

La ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 se clasifica como:

Accepted Answer

Ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden homogénea

Answer

Ecuación diferencial parcial de primer orden

Answer

Ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden

Question 13

El método de factor integrante se emplea para resolver ecuaciones diferenciales de la forma:

Accepted Answer

y' + p(x)y = q(x)e^(∫p(x)dx)

Answer

y'' + y = e^x

Answer

y'(x) = y(x) + sen(x)

Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Question 14

Una solución general de la ecuación diferencial y'' + 4y = 0 es:

Accepted Answer

c1cos(2x) + c2sen(2x)

Answer

c1sen(2x)

Answer

c1e^(2x) + c2e^(-2x)

Answer

c1x^2 + c2x

Question 15

La ecuación y'' - 2y' + y = e^x es una ecuación diferencial:

Accepted Answer

No homogénea de segundo orden

Answer

No lineal de segundo orden

Answer

Homogénea de primer orden

Answer

Lineal de tercer orden

Question 16

El método de variación de parámetros sirve para resolver ecuaciones diferenciales de la forma:

Accepted Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)

Answer

y'' + y = e^x

Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Answer

y'(x) = y(x) + sen(x)

Question 17

El método de separación de variables se aplica a ecuaciones diferenciales de la forma:

Accepted Answer

y' = f(x)g(y)

Answer

y'' + y = e^x

Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Answer

y'(x) = y(x) + sen(x)

Question 18

Determina si la ecuación diferencial y'' - 4y' + 3y = 0 es lineal o no lineal.

Accepted Answer

Lineal

Answer

Cuadi-lineal

Answer

No tiene solución

Answer

No lineal

Question 19

Comprueba si y(x) = x^2 es una solución de la ecuación diferencial xy'' - 2(x + 1)y' + 2y = 0.

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo para x > 0

Answer

Solo para x < 0

Answer

No

Question 20

Determina el tipo de singularidad de la ecuación diferencial x^2y'' + xy' + y = 0 en x = 0.

Accepted Answer

Singularidad regular

Answer

No es una singularidad

Answer

Singularidad esencial

Answer

Singularidad irregular

Question 21

Comprueba si el problema de valor inicial y'' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 tiene solución única.

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Solo si y(0) = 0

Answer

Solo si y'(0) = 0

Question 22

Determina la estabilidad del punto de equilibrio x = 0 para la ecuación diferencial x'' + 2x' + x = 0.

Accepted Answer

Estable

Answer

Inestable

Answer

Semi-estable

Answer

No se puede determinar

Question 23

¿Cuál es la forma general de una ecuación diferencial lineal y homogénea de segundo orden?

Accepted Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Answer

y' + p(x)y + q(x) = 0

Answer

y'' + p(x)y' = q(x)y

Answer

y' = p(x)y + q(x)

Question 24

Identifica el orden de la ecuación diferencial y'' - 3y' + 2y = sen(x):

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 25

Selecciona la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes:

Accepted Answer

y'' - 4y' + 3y = 0

Answer

y'' + x^2y' - y = 0

Answer

y'' - sen(x)y' + y = 0

Answer

y'' + 1/x y' = y

Question 26

Indica la condición inicial necesaria para que una ecuación diferencial de segundo orden tenga solución:

Accepted Answer

Especificar el valor de la función y su derivada en un punto

Answer

Especificar el valor de la función en dos puntos

Answer

Especificar el valor de la derivada en dos puntos

Question 27

¿Qué tipo de ecuación diferencial tiene la solución general y(x) = c1e^x + c2e^(-x)?

Accepted Answer

Homogénea lineal de coeficientes constantes

Answer

No homogénea lineal de coeficientes variables

Answer

No homogénea lineal de coeficientes constantes

Answer

Homogénea lineal de coeficientes variables

Question 28

Para la ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0, los valores propios de la ecuación característica son:

Accepted Answer

λ = 2 ± 2i

Answer

λ = 2

Answer

λ = ±2

Answer

λ = 4i

Question 29

¿Cuál es el método para resolver una ecuación diferencial de segundo orden de la forma y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x), donde g(x) es una función no nula?

Accepted Answer

Variación de parámetros

Answer

Reducción de orden

Answer

Superposición

Answer

Factor integrante

Question 30

La ecuación diferencial  y'' + 4y' + 3y = 0  representa una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. ¿Cuál es su solución general?

Accepted Answer

y(x) = c₁e⁻³ˣ + c₂e⁻ˣ

Answer

y(x) = c₁e³ˣ + c₂eˣ

Answer

y(x) = c₁e⁻³ˣ + c₂e³ˣ

Question 31

Una masa de 1 kg está unida a un resorte con una constante de resorte de 4 N/m. Si la masa se desplaza 0.5 m de su posición de equilibrio y se libera, ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento oscilatorio resultante?

Accepted Answer

2 rad/s

Answer

0.5 rad/s

Answer

4 rad/s

Answer

1 rad/s

Question 32

La ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0  es una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. ¿Cuáles son las raíces de su ecuación característica?

Accepted Answer

r₁ = r₂ = 2

Answer

r₁ = -2, r₂ = -2

Answer

r₁ = 2, r₂ = -2

Answer

r₁ = 1, r₂ = 4

Question 33

Una ecuación diferencial de segundo orden se considera lineal si:

Accepted Answer

La función y y sus derivadas aparecen solo en términos lineales.

Answer

La función y está elevada al cuadrado.

Answer

La ecuación tiene coeficientes constantes.

Question 34

El método de coeficientes indeterminados es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. ¿Para qué tipos de términos del lado derecho es adecuado este método?

Accepted Answer

Términos del lado derecho que son polinomios, exponenciales o funciones seno/coseno.

Answer

Cualquier tipo de término del lado derecho.

Answer

Solo términos exponenciales.

Question 35

Si la ecuación característica de una ecuación diferencial de segundo orden tiene raíces complejas, ¿cómo se caracteriza la solución general?

Accepted Answer

Incorpora funciones exponenciales y senos/cosenos.

Answer

Solo incluye funciones exponenciales.

Answer

Solo incluye funciones senos/cosenos.

Answer

Es una constante.

Question 36

La ecuación diferencial y'' + 2y' + y = 0 describe un sistema físico. ¿Qué tipo de sistema representa?

Accepted Answer

Un sistema amortiguado

Answer

Un sistema no amortiguado

Answer

Un sistema forzado

Answer

Un sistema resonante

Question 37

Para una ecuación diferencial de segundo orden, ¿cuál es el orden de su ecuación característica?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

Depende de la ecuación

Question 38

Identifica la ecuación diferencial de segundo orden de coeficientes constantes:

Accepted Answer

y'' + 4y' + 3y = 0

Answer

y' - 4y = 3

Answer

y' + 4y = 3

Answer

y'' + 4y = 3

Question 39

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial y'' - 4y' + 3y = 0?

Accepted Answer

y = c₁e^x + c₂e³x

Answer

y = c₁e^x - c₂e³x

Answer

y = c₁cosx + c₂sinx

Answer

y = c₁e^x + c₂e^-³x

Question 40

¿Qué tipo de punto singular tiene la ecuación diferencial y'' + 4y = 0?

Accepted Answer

Punto singular regular

Answer

Punto singular irregular

Answer

Punto singular esencial

Question 41

¿Cuál es la serie de potencias en torno a x = 0 de la solución de la ecuación diferencial y'' - xy' + y = 0?

Accepted Answer

y = a₀ + a₁x + a₂x² + ...

Answer

y = a₀ + a₁x² + a₂x³ + ...

Answer

y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

Answer

y = a₀ + a₁x³ + a₂x⁴ + ...

Question 42

¿Cuál es la ecuación diferencial de segundo orden que modela el movimiento de un resorte masa?

Accepted Answer

my'' + ky = 0

Answer

my' + ky = 0

Answer

my' - ky' = 0

Answer

my'' - ky = 0

Question 43

¿Cuál de las siguientes funciones es una solución de la ecuación diferencial y'' + 2y' + y = 0?

Accepted Answer

y = e^(-x)

Answer

y = sinx

Answer

y = x

Answer

y = cosx

Question 44

¿Cuál es el método utilizado para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes no constantes?

Accepted Answer

Variación de parámetros

Answer

Separación de variables

Answer

Frobenius

Answer

Superposición

Question 45

¿Qué tipo de ecuación diferencial es la siguiente: y'' + p(x)y' + q(x)y = 0?

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial no lineal de segundo orden

Question 46

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial y'' + y = secx?

Accepted Answer

y = c₁cosx + c₂sinx + xsinx

Answer

y = c₁cosx + c₂sinx - xsinx

Answer

y = c₁cosx + c₂sinx + xcosx

Answer

y = c₁cosx + c₂sinx - xcosx

Question 47

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para la ecuación diferencial y'' + y = 0?

Accepted Answer

Tiene una familia de soluciones reales oscilatorias.

Answer

Tiene una solución general que decae exponencialmente.

Answer

Tiene una solución general que crece exponencialmente.