Funciones Complejas: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Definición de función de una variable compleja: Una función que asigna:

Accepted Answer

Un número complejo a otro número complejo

Answer

Un número real a otro número real

Answer

Un número real a un número complejo

Answer

Un número complejo a un número real

Question 2

Continuidad de funciones de una variable compleja: Para que una función sea continua en un punto, es necesario que:

Accepted Answer

Su límite en ese punto exista y sea igual al valor de la función en ese punto

Answer

Sea diferenciable en ese punto

Answer

Sea holomorfa en ese punto

Answer

Sea integrable en ese punto

Question 3

Comportamiento de la función f(z) = |z|² en el origen: Esta función es:

Accepted Answer

Continua pero no diferenciable en el origen

Answer

Diferenciable pero no continua en el origen

Answer

Continua y diferenciable en el origen

Answer

Ni continua ni diferenciable en el origen

Question 4

Función holomorfa en todo el plano complejo: ¿Cuál de las siguientes funciones cumple esta propiedad?

Accepted Answer

f(z) = e^z

Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = |z|

Answer

f(z) = 1/(z-1)

Question 5

Integral de contorno de f(z) = 1/z alrededor de un círculo centrado en el origen: Su valor es:

Accepted Answer

2πi

Answer

0

Answer

-2πi

Answer

∞

Question 6

Convergencia de la serie de potencias Σn=0∞ (z-2)^n: Converge para:

Accepted Answer

|z-2| < 2

Answer

|z-2| > 2

Answer

|z-2| ≤ 2

Answer

|z-2| ≥ 2

Question 7

Residuo de f(z) = 1/(z-1) en el polo z=1: Su valor es:

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

2

Answer

-2

Question 8

Determina la derivada de f(z) = z^2 + 1 en el punto z = 1.

Accepted Answer

2

Answer

2 + i

Answer

0

Answer

1 + 2i

Question 9

¿Cuál de las siguientes funciones es holomorfa en todo el plano complejo?

Accepted Answer

z^2 + 1

Answer

e^(1/z)

Answer

1/z

Answer

z^2 - 1

Question 10

Calcula la integral de contorno de la función f(z) = 1/(z-i) sobre el círculo unitario centrado en el origen.

Accepted Answer

2πi

Answer

πi

Answer

0

Question 11

Calcula el coeficiente de Laurent de la expansión de f(z) = 1/(z-1) en el disco unitario centrado en z = 0.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

z

Question 12

Identifica la ecuación que representa la circunferencia unitaria en el plano complejo.

Accepted Answer

|z| = 1

Answer

Im(z) = 1

Answer

Re(z) = 1

Answer

|z|^2 = 1

Question 13

Calcula la integral de la función f(z) = 1/(z-i) alrededor de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen mediante el Teorema de los Residuos.

Accepted Answer

2πi

Answer

-2πi

Answer

-4πi

Answer

4πi

Question 14

Obtén la derivada logarítmica de la función f(z) = e^z.

Accepted Answer

e^z

Answer

1/z

Answer

z

Answer

e^(-z)

Question 15

Selecciona la función que es analítica en todo el plano complejo.

Accepted Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = 1/z

Answer

f(z) = Log(z)

Answer

f(z) = |z|

Question 16

Indica la condición necesaria y suficiente para que una función compleja f(z) sea conforme.

Accepted Answer

Las derivadas parciales de f(z) satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Answer

f(z) es continua en cada punto del plano complejo

Answer

La derivada de f(z) existe en cada punto del plano complejo

Question 17

¿Cuál de las siguientes funciones NO es analítica en todo el plano complejo?

Accepted Answer

z^(1/2)

Answer

sen(z)

Answer

cos(z)

Answer

e^(z^2)

Question 18

Calcula la derivada de la función f(z) = z^4 - 2z^2 + 5:

Accepted Answer

4z^3 - 4z

Answer

z^4 - 2

Answer

4z^2 - 2

Answer

4z - 4

Question 19

Considera la función f(z) = 1/(z^2+4). ¿Cuáles son sus singularidades?

Accepted Answer

z=±2i

Answer

z=0

Answer

z=±i

Answer

Esta función no tiene singularidades.

Question 20

¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero para la función f(z) = z^n?

Accepted Answer

f(z) es analítica para todo z distinto de 0.

Answer

f(z) es continua pero no analítica en z=0.

Answer

f(z) tiene un polo único en z=0.

Answer

f(z) tiene una singularidad esencial en z=0.

Question 21

¿Cuál es la serie de Taylor de la función f(z) = cos(z) alrededor del punto z=0?

Accepted Answer

∑( (-1)^n * z^(2n) / (2n)! )

Answer

∑( (-1)^n * z^(2n+1) / (2n+1)! )

Answer

∑( z^(2n) / (2n+1)! )

Answer

∑( z^(2n+1) / (2n)! )

Question 22

Selecciona el dominio de la función f(z) = Log(z-1) + Log(z-2):

Accepted Answer

{z | z ≠ 1, z ≠ 2}

Answer

{z | z < 1, z < 2}

Answer

{z | z ∈ ℂ}

Answer

{z | z > 1, z > 2}

Question 23

Calcula la derivada de f(z) = e^z.

Accepted Answer

f'(z) = e^z

Answer

f'(z) = z*e^z

Answer

f'(z) = 0

Answer

f'(z) = 1/e^z

Question 24

Calcula el residuo de f(z) = 1/(z-1) en el polo z = 1.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

-i

Answer

i

Question 25

Sea f(z) = (z^2 - 1)/(z-1). ¿Qué tipo de singularidad es z = 1?

Accepted Answer

Polo de orden 1

Answer

Polo de orden 2

Answer

Punto esencial

Question 26

Sea f(z) = z^2 + 1. ¿Cuál es el dominio de f(z)?

Accepted Answer

Todo el plano complejo

Answer

El eje real

Answer

El eje imaginario

Answer

La unidad de disco

Question 27

Sea f(z) = e^z. ¿Cuál es la derivada f'(z) de la función?

Accepted Answer

e^z

Answer

0

Answer

1 / e^z

Answer

ze^z

Question 28

Determina si la función f(z) = (z - 1) / (z^2 - 1) es continua en C.

Accepted Answer

Continua en C excepto en z = ±1

Answer

Discontinua en z = ±i

Answer

Discontinua en z = 0

Answer

Continua en todo C

Question 29

Sea f(z) = (z^3 - 1) / (z - 1)^2. ¿Cuál es el tipo de singularidad esencial de f(z) en z = 1?

Accepted Answer

Polo de orden 2

Answer

Polo simple

Answer

Cero de orden 2

Answer

Singularidad evitable

Question 30

Sea f(z) = (z^2 - 1) / (z + 1). ¿Cuál es el valor máximo de |f(z)| sobre el círculo unitario centrado en el origen?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

1

Answer

3

Question 31

Sea la función de variable compleja f(z) = z^3-2z^2+z-1. ¿En qué punto tiene un cero de orden 2?

Accepted Answer

z=1

Answer

z=-1

Answer

z=2

Answer

z=0

Question 32

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa para las funciones holomorfas?

Accepted Answer

No tienen derivadas en cualquier punto del plano complejo.

Answer

Son diferenciables en todo su dominio.

Answer

Son contínuas en todo su dominio.

Question 33

Halla la derivada de la función f(z) = e^(z^2).

Accepted Answer

2ze^(z^2)

Answer

e^(z^2)

Answer

e^(2z)

Answer

ze^(z^2)

Question 34

Sea la función f(z) = 1/(z-2). ¿Qué tipo de singularidad tiene en z=2?

Accepted Answer

Polo simple

Answer

Punto de ramificación

Answer

Polo doble

Answer

Singularidad esencial

Question 35

Sea la función f(z) = tan(z). ¿En qué punto tiene un punto de ramificación?

Accepted Answer

z = (π/2)+nπ, n ∈ Z

Answer

z = ∞

Answer

z = 1

Answer

z = 0

Question 36

Dada la función compleja  *f(z) = z² - 1*, ¿cuál es su derivada en el punto *z = 2*?

Accepted Answer

4

Answer

1

Answer

8

Answer

2

Question 37

Para que una función compleja sea continua en un punto, ¿qué condición es necesaria?

Accepted Answer

Que sus derivadas parciales existan y sean continuas en ese punto.

Answer

Que su argumento sea continuo en ese punto.

Answer

Que su módulo sea continuo en ese punto.

Question 38

¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es cierta para las funciones holomorfas?

Accepted Answer

Son discontinuas en todos los puntos.

Answer

Satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Answer

Son analíticas en todos los puntos del dominio.

Answer

Tienen derivadas complejas en todos los puntos del dominio.

Question 39

Sea *f(z) = (z-1)/(z+1)*. ¿Cuál es el residuo de *f(z)* en *z = -1*?

Accepted Answer

1/2

Answer

-1

Answer

1

Question 40

Dada la función *f(z) = e^(z^2)*, ¿cuál es su parte real?

Accepted Answer

cos(x^2 - y^2)

Answer

cos(x^2 + y^2)

Answer

sin(x^2 - y^2)

Answer

sin(x^2 + y^2)

Question 41

Si *f(z)* es una función holomorfa en un dominio abierto, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Accepted Answer

f(z) es analítica en cada punto del dominio.

Answer

f(z) es diferenciable en cada punto del dominio.

Answer

f(z) tiene infinitas derivadas en cada punto del dominio.

Answer

f(z) es continua en cada punto del dominio.

Question 42

¿Cuál de las siguientes funciones complejas NO es holomorfa?

Accepted Answer

f(z) = |z|^2

Answer

f(z) = e^z

Answer

f(z) = z^3

Answer

f(z) = 1/(z-1)

Question 43

Sea *f(z) = z^4 - 1*. ¿Cuáles son los ceros de *f(z)*?

Accepted Answer

±1, ±i

Answer

±1, ±2i

Answer

±2, ±i

Answer

±2, ±2i

Question 44

¿Cuál es la forma trigonométrica de la función compleja *z = 2 + 3i*?

Accepted Answer

r(cosθ + isenθ) = √13(cos56.31° + isen56.31°)

Answer

r(cosθ + isenθ) = √13(cos33.69° + isen33.69°)

Answer

r(cosθ + isenθ) = 5(cos33.69° + isen33.69°)

Answer

r(cosθ + isenθ) = 5(cos56.31° + isen56.31°)

Question 45

Sea *f(z) = 1/(z-2)*. ¿Cuál es su polo?

Accepted Answer

z = 2

Answer

z = 0

Answer

z = 1

Answer

z = -2