Integrales de funciones complejas: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático I

Question 1

¿Cuál es el residuo de la función 1/(z-1) en el polo z = 1?

Accepted Answer

1

Answer

i

Answer

0

Answer

-1

Question 2

Encuentra el valor de la integral ∫[0,1] (x^2 + 1) dx usando la integración compleja.

Accepted Answer

(1 + iπ)/3

Answer

(1 - iπ)/3

Answer

(1 + πi)/3

Answer

(1 - πi)/3

Question 3

¿Cuál de las siguientes funciones es analítica?

Accepted Answer

**f(z) = z**² + 1

Answer

**f(z) = 1/z**

Answer

**f(z) = |z|**

Answer

**f(z) = Re(z)**

Question 4

¿Qué establece el Teorema del Residuo?

Accepted Answer

La integral de contorno de una función analítica sobre una curva cerrada **C** es igual a **2πi** por la suma de los residuos en los polos dentro de **C**.

Answer

Cualquier función analítica tiene una integral primitiva analítica.

Question 5

Calcula el residuo de la función **f(z) = (z-1) / (z**² - 1)** en el polo **z = 1**.

Accepted Answer

1/2

Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Question 6

Aplica el Teorema de Cauchy para evaluar la integral de la función f(z) = 1/(z-a) alrededor de un círculo centrado en z = a de radio r.

Accepted Answer

2πi

Answer

0

Answer

π

Answer

iπ

Question 7

¿Cuál de las siguientes es una forma de la Fórmula Integral de Cauchy?

Accepted Answer

f(a) = (1/2πi) ∫γ f(z)/(z-a) dz

Answer

f'(a) = (1/2π) ∫γ f(z) dz

Answer

f'(a) = (1/2πi) ∫γ f(z)/(z-a) dz

Answer

f(a) = (1/2π) ∫γ f(z) dz

Question 8

Determina si la función f(z) = e^z es analítica en el plano complejo.

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo en el eje real

Answer

No

Answer

Solo en el semiplano superior

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el Residuo de una función es verdadera?

Accepted Answer

Es el coeficiente del término (z-z0)^-1 en la expansión en serie de Laurent alrededor de z0.

Answer

Es el valor de la función en z0.

Answer

Es igual a la integral de la función alrededor de un círculo centrado en z0.

Question 10

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una integral compleja indefinida que es una función multivaluada?

Accepted Answer

log(z)

Answer

sen(z)

Answer

e^z

Answer

z^2

Question 11

Determina la región de convergencia de la serie de potencias f(z) = ∑(n=0)^∞ (z-a)^n.

Accepted Answer

Disco centrado en a de radio R, donde R es el radio de convergencia.

Answer

Semiplano que contiene a

Answer

Todo el plano complejo

Question 12

Determina si la función f(z) = e^z es analítica en todo el plano complejo.

Accepted Answer

Sí

Answer

Sólo en el semiplano superior

Answer

No

Question 13

¿Cuál de las siguientes funciones NO es holomórfica en el plano complejo?

Accepted Answer

f(z) = 1/z^2

Answer

f(z) = cosh(z)

Answer

f(z) = exp(z)

Answer

f(z) = sin(z)

Question 14

Calcula el valor principal de la integral $\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}\ dx$.

Accepted Answer

π

Answer

2π

Answer

πi

Answer

0

Question 15

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la integral de línea de una función compleja es FALSA?

Accepted Answer

El valor de la integral depende únicamente de los puntos inicial y final de la curva.

Answer

La integral de una función analítica en un dominio simplemente conexo a lo largo de una curva cerrada en ese dominio es siempre cero.

Answer

La integral se define como el límite de una suma de integrales sobre particiones de la curva.

Question 16

Sea f(z) = z^2. ¿Cuál es el valor de la integral de f(z) a lo largo del segmento de recta que une z=0 y z=2?

Accepted Answer

(8/3) + 0i

Answer

4i

Answer

2 + 2i

Answer

-2 - 2i

Question 17

El Teorema de Cauchy establece que si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y C es una curva cerrada simple en D, entonces:

Accepted Answer

La integral de f(z) a lo largo de C es cero.

Answer

La integral de f(z) a lo largo de C es igual a 2πi.

Answer

f(z) tiene un cero en el interior de C.

Question 18

¿Cuál es la fórmula integral de Cauchy para el cálculo de la n-ésima derivada de una función f(z) analítica en un dominio simplemente conexo D, en un punto z0 dentro de D?

Accepted Answer

f^(n)(z0) = (n!/(2πi)) * Integral(f(z)/(z-z0)^(n+1) dz) donde la integral se realiza sobre una curva cerrada simple C que rodea a z0 en D.

Answer

f^(n)(z0) = (1/(2πi)) * Integral(f(z)/(z-z0)^(n) dz)

Question 19

Una función compleja f(z) es analítica en un punto z0 si:

Accepted Answer

Es diferenciable en z0 y en un entorno de z0.

Answer

Sus partes real e imaginaria son continuas en z0.

Answer

Está definida en z0.

Answer

No tiene singularidades en z0.

Question 20

Si f(z) y g(z) son funciones analíticas en un dominio D, entonces la función h(z) = f(z)g(z) es:

Accepted Answer

Analítica en D.

Answer

No analítica en D.

Answer

Analítica en D solo si f(z) y g(z) son constantes.

Question 21

El teorema de los residuos se utiliza para:

Accepted Answer

Calcular integrales de funciones complejas con singularidades aisladas.

Answer

Encontrar las raíces de una función compleja.

Answer

Determinar la analiticidad de una función compleja.

Question 22

¿Cuál de las siguientes NO es una condición necesaria para que una función f(z) sea integrable en una curva γ?

Accepted Answer

Que γ sea una curva cerrada

Answer

Que f(z) tenga una primitiva en el interior de γ

Answer

Que f(z) sea continua en γ

Question 23

Sea f(z) = z². Calcular la integral de línea de f(z) alrededor de la circunferencia |z| = 2, recorrida en sentido antihorario

Accepted Answer

0

Answer

2π

Answer

4π

Answer

π

Question 24

¿Cuál de las siguientes fórmulas representa el Teorema de los Residuos?

Accepted Answer

∫γ f(z) dz = 2πi ∑ Res(f,z_k)

Answer

∫γ f(z) dz = 2πi Res(f,z_0)

Answer

∫γ f(z) dz = ∑ Res(f,z_k)

Question 25

Calcular el residuo de f(z) = (z-1) / (z+2) en el polo z = -2

Accepted Answer

-1/2

Answer

-1

Answer

1/2

Question 26

Calcular la integral ∫γ 1 / (z-1) dz, donde γ es el segmento de línea desde z = 0 hasta z = 2

Accepted Answer

ln(2)

Answer

2πi

Answer

0

Answer

-ln(2)

Question 27

Sea f(z) = z^2 + 2z + 1. Calcular la integral ∮_C f(z) dz, donde C es el círculo |z| = 2 recorrido en sentido antihorario.

Accepted Answer

0

Answer

8πi

Answer

4πi

Answer

2πi

Question 28

Determinar si f(z) = z^2 + 2z + 1 es holomorfa en todo el plano complejo.

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Solo en el semiplano inferior

Answer

Solo en el semiplano superior

Question 29

Calcular la integral ∫_0^(2πi) e^(iz) dz.

Accepted Answer

0

Answer

2πi

Answer

1

Answer

-1

Question 30

Encontrar el valor de la integral ∮_C 1/(z-1) dz, donde C es el círculo |z-1| = 2 recorrido en sentido antihorario.

Accepted Answer

2πi

Answer

1

Answer

-2πi

Answer

0

Question 31

Determinar el orden del polo de la función f(z) = 1/(z^2-1) en z = 1.

Accepted Answer

1

Answer

4

Answer

2

Answer

3

Question 32

Calcular la integral ∫_C e^(1/z) dz, donde C es la curva cerrada formada por la unión de los segmentos de recta de -1 a 0, de 0 a 1 y de 1 a -1.

Accepted Answer

2πi

Answer

-2πi

Answer

0

Answer

1

Question 33

Determinar si la siguiente función es analítica en z = 0: f(z) = |z|^2.

Accepted Answer

No

Answer

Solo en el semiplano inferior

Answer

Solo en el semiplano superior

Answer

Sí

Question 34

Encontrar el valor de la integral ∮_C (z^2+2z+1)/(z-1) dz, donde C es el círculo |z| = 3 recorrido en sentido antihorario.

Accepted Answer

8πi

Answer

-8πi

Answer

0

Answer

4πi

Question 35

Calcular la integral ∫_C 1/((z-1)(z-2)) dz, donde C es el cuadrado con vértices en z = 0, z = 1, z = 1+i y z = i.

Accepted Answer

-πi

Answer

2πi

Answer

πi

Answer

0

Question 36

Determinar el valor de la integral ∮_C f(z) dz, donde f(z) = 1/z y C es la curva formada por la unión de los segmentos de recta de 0 a 1, de 1 a 2i y de 2i a 0.

Accepted Answer

0

Answer

πi

Answer

2πi

Answer

-πi

Question 37

Calcula la integral de línea de la función f(z) = z^2 a lo largo del segmento de recta que une los puntos z = 0 y z = 1+i.

Accepted Answer

1/3 + i/3

Answer

1 + i

Answer

1/2 + i/2

Answer

2 + 2i

Question 38

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el Teorema de Cauchy es correcta?

Accepted Answer

La integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada simple es cero.

Answer

La integral de línea de una función holomorfa a lo largo de cualquier curva es cero.

Answer

El Teorema de Cauchy solo se aplica a funciones polinomiales.

Question 39

Utiliza el Teorema de Cauchy para calcular la integral de línea de la función f(z) = 1/z a lo largo del círculo unidad |z| = 1.

Accepted Answer

2πi

Answer

4πi

Answer

πi

Answer

0

Question 40

¿Cuál es la fórmula integral de Cauchy para una función f(z) holomorfa en un dominio D?

Accepted Answer

f(z0) = (1/2πi) ∫γ f(z)/(z-z0) dz

Answer

f(z0) = (1/πi) ∫γ f(z) dz

Answer

f(z0) = (1/2πi) ∫γ f(z)/(z+z0) dz

Answer

f(z0) = (1/2πi) ∫γ f'(z) dz

Question 41

Calcula la integral de línea de la función f(z) = e^z a lo largo del camino γ(t) = t + it^2, 0 ≤ t ≤ 1.

Accepted Answer

(e - 1)(1 + i)

Answer

e + 1

Answer

e - 1

Question 42

¿Cuál de las siguientes funciones NO es holomorfa en el plano complejo?

Accepted Answer

f(z) = |z|^2

Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = e^z

Answer

f(z) = sin(z)

Question 43

Utiliza el Teorema de Cauchy para demostrar que la integral de línea de la función f(z) = 1/(z^2 + 1) a lo largo de cualquier curva cerrada simple que no contiene los puntos z = i y z = -i es igual a 0.

Accepted Answer

La función f(z) es holomorfa en un dominio que contiene la curva cerrada simple, por lo que la integral es 0.

Answer

La función f(z) no es holomorfa en el dominio, por lo que la integral no está definida.

Question 44

Calcula la integral de línea de la función f(z) = z^3 a lo largo del arco de la circunferencia unidad |z| = 1 desde z = 1 hasta z = i.

Accepted Answer

-1/4 + i/4

Answer

1/4 + i/4

Answer

-1/2 + i/2

Question 45

¿Cuál es la derivada de la función f(z) = e^z utilizando la fórmula integral de Cauchy?

Accepted Answer

f'(z0) = (1/2πi) ∫γ f(z)/(z-z0)^2 dz

Answer

f'(z0) = (1/2πi) ∫γ f(z)/(z+z0)^2 dz

Answer

f'(z0) = (1/2πi) ∫γ f(z)/(z-z0) dz

Answer

f'(z0) = (1/2πi) ∫γ f'(z)/(z-z0) dz

Question 46

Utiliza el Teorema de Cauchy para calcular la integral de línea de la función f(z) = z^2/(z-1)^2 a lo largo del círculo unidad |z| = 1.

Accepted Answer

4πi

Answer

-4πi

Answer

2πi

Answer

0