Funciones de Variable Compleja: Conceptos Básicos y Operaciones

Question 1

Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: "Toda función de variable compleja que es continua en un punto es analítica en ese punto."

Accepted Answer

Falsa

Answer

Verdadera

Question 2

¿Cuál es la derivada de la función $f(z) = e^{iz}$?

Accepted Answer

$ie^{iz}$

Answer

$-ie^{iz}$

Answer

$e^{iz}$

Answer

$0$

Question 3

Determina el módulo de la función $g(z) = 2z - i$.

Accepted Answer

$r = sqrt(4z^2 + 1)$

Answer

$r = z^2 + 1$

Answer

$r = 1$

Answer

$r = 2z$

Question 4

¿Cuál es el conjugado complejo de la función $h(z) = 3 + 4iz$?

Accepted Answer

$3 - 4iz$

Answer

$3 + 4iz$

Answer

$-3 + 4iz$

Question 5

Determina la singularidad de la función $m(z) = cot(z)$.

Accepted Answer

Polos simples en $z = npi$, $n ∈ ℤ$

Answer

Polos esenciales en $z = npi$, $n ∈ ℤ$

Answer

Singularidades aisladas en $z = npi$, $n ∈ ℤ$

Answer

No tiene singularidades.

Question 6

Selecciona el argumento principal de la función $p(z) = -1 + i$.

Accepted Answer

$rac{3pi}{4}$

Answer

$pi$

Answer

$rac{pi}{4}$

Answer

$rac{pi}{2}$

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el conjunto de números complejos es correcta?

Accepted Answer

Es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Answer

No es un cuerpo pero es algebraicamente cerrado.

Answer

Es un cuerpo pero no es algebraicamente cerrado.

Question 8

¿Cuál es la derivada de la función f(z) = e^z?

Accepted Answer

f'(z) = e^z

Answer

f'(z) = e^{z^2}

Answer

f'(z) = z e^z

Answer

f'(z) = 0

Question 9

¿Cuál es la serie de potencias que representa a la función f(z) = 1/(1-z)?

Accepted Answer

sum_{n=0}^∞ z^n

Answer

sum_{n=1}^∞ z^n

Answer

sum_{n=0}^∞ n z^n

Answer

sum_{n=1}^∞ n z^n

Question 10

¿Cuál de las siguientes funciones es holomorfa?

Accepted Answer

f(z) = z^2 + e^z

Answer

f(z) = |z|^2

Answer

f(z) = 1/z

Answer

f(z) = overline{z}

Question 11

¿Cuál es el teorema que establece que toda función holomorfa en un dominio simplemente conexo es analítica?

Accepted Answer

Teorema de Cauchy-Riemann

Answer

Teorema de Liouville

Answer

Teorema del residuo

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe acertadamente las funciones de variable compleja?

Accepted Answer

Son funciones que se pueden expresar mediante variables y operaciones complejas.

Answer

Son funciones exclusivas de números reales.

Answer

No se pueden representar gráficamente.

Question 13

Calcula la integral de f(z) = e^z a lo largo del contorno C, un círculo unitario centrado en el origen.

Accepted Answer

2πi

Answer

0

Answer

π

Question 14

¿Qué tipo de singularidad presenta la función f(z) = 1/(z-2) en z = 2?

Accepted Answer

Polo simple.

Answer

Esencial.

Answer

Polo doble.

Answer

Removible.

Question 15

¿Cuál de las siguientes funciones es analítica en todo el plano complejo?

Accepted Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = Re(z)

Answer

f(z) = |z|

Answer

f(z) = 1/z

Question 16

¿Cuál es la transformada de Laplace de la función f(t) = t^2?

Accepted Answer

2/(s^3)

Answer

1/s^2

Answer

s^2

Answer

1/(s^2)

Question 17

¿Cuál es la serie de Taylor para f(z) = exp(z) alrededor del punto z = 0?

Accepted Answer

∑(n=0 a ∞) (z^n / n!)

Answer

∑(n=1 a ∞) (z^n / n)

Answer

∑(n=0 a ∞) (z^2n / n!)

Answer

∑(n=1 a ∞) (z^2n / n)

Question 18

La función  f(z) = z²  representa una transformación geométrica en el plano complejo. ¿Qué tipo de transformación es?

Accepted Answer

Rotación y dilatación

Answer

Inversión

Answer

Reflexión

Answer

Traslación

Question 19

Dado un número complejo z = x + yi, ¿cuál es la representación gráfica de su conjugado z*?

Accepted Answer

Un punto simétrico a z respecto al eje real

Answer

Un punto simétrico a z respecto al eje imaginario

Answer

Un punto desplazado una unidad hacia la derecha

Answer

Un punto desplazado una unidad hacia arriba

Question 20

La función f(z) = 1/z es una función compleja. ¿Cuál es su dominio?

Accepted Answer

Todos los números complejos excepto z = 0

Answer

Solo números complejos con parte real positiva

Answer

Solo números complejos con parte imaginaria positiva

Answer

Todos los números complejos

Question 21

Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es una función analítica, ¿cuál es la relación entre las funciones u(x, y) y v(x, y) según las ecuaciones de Cauchy-Riemann?

Accepted Answer

∂u/∂x = ∂v/∂y y ∂u/∂y = -∂v/∂x

Answer

∂u/∂x = -∂v/∂x y ∂u/∂y = -∂v/∂y

Answer

∂u/∂x = -∂v/∂y y ∂u/∂y = ∂v/∂x

Answer

∂u/∂x = ∂v/∂x y ∂u/∂y = ∂v/∂y

Question 22

La función f(z) = |z| es:

Accepted Answer

No analítica

Answer

Analítica solo en la parte imaginaria del plano complejo

Answer

Analítica solo en la parte real del plano complejo

Answer

Analítica en todo el plano complejo

Question 23

La integral de línea de una función compleja a lo largo de un camino cerrado en un dominio simplemente conexo es:

Accepted Answer

Igual a cero si la función es analítica en el dominio

Answer

Depende únicamente de los puntos inicial y final del camino

Answer

Siempre igual a cero

Question 24

La función f(z) = 1/(z-1) tiene un polo en z = 1. ¿De qué orden es este polo?

Accepted Answer

Primer orden

Answer

Segundo orden

Answer

Infinito

Answer

Tercer orden

Question 25

Un circuito eléctrico con una impedancia compleja Z = R + jX se caracteriza por:

Accepted Answer

Resistencia R y reactancia X

Answer

Solo reactancia X

Answer

Solo resistencia R

Question 26

Sea f(z) = z^2 + 2z + 1. ¿Cuál es el valor de f(1 + i)?

Accepted Answer

1 + 4i

Answer

2 + 2i

Answer

3 + 3i

Question 27

La función f(z) = 1/z es:

Accepted Answer

Una función holomorfa en todo el plano complejo excepto en z = 0

Answer

Una función holomorfa en todo el plano complejo

Answer

Una función no holomorfa en todo el plano complejo

Question 28

¿Cuál de las siguientes funciones NO es una función de variable compleja?

Accepted Answer

f(x, y) = x^2 + y^2

Answer

f(z) = z^3

Answer

f(z) = sin(z)

Answer

f(z) = e^z

Question 29

El módulo de la función f(z) = z^2, donde z = x + iy, es:

Accepted Answer

|f(z)| = x^2 + y^2

Answer

|f(z)| = sqrt(x^2 + y^2)

Answer

|f(z)| = sqrt(x^2 - y^2)

Answer

|f(z)| = x^2 - y^2

Question 30

La representación gráfica de la función f(z) = z^2 en el plano complejo es:

Accepted Answer

Una parábola

Answer

Una circunferencia

Answer

Un punto

Answer

Una línea recta

Question 31

La suma de dos funciones de variable compleja f(z) y g(z) se define como:

Accepted Answer

(f + g)(z) = f(z) + g(z)

Answer

(f + g)(z) = f(z) * g(z)

Answer

(f + g)(z) = f(z) - g(z)

Answer

(f + g)(z) = f(z) / g(z)

Question 32

La derivada de la función f(z) = z^3 es:

Accepted Answer

f'(z) = 3z^2

Answer

f'(z) = 2z^2

Answer

f'(z) = 3z^3

Answer

f'(z) = 2z^3

Question 33

Si f(z) es una función holomorfa, entonces:

Accepted Answer

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen

Answer

La función es discontinua

Answer

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann no se cumplen

Answer

La función es constante

Question 34

La función f(z) = |z|^2 es:

Accepted Answer

Una función continua pero no holomorfa

Answer

Una función discontinua

Answer

Una función holomorfa

Answer

Una función constante

Question 35

El argumento de la función f(z) = z, donde z = x + iy, es:

Accepted Answer

arg(z) = arctan(y/x)

Answer

arg(z) = x

Answer

arg(z) = arctan(x/y)

Answer

arg(z) = y