Límites y continuidad de funciones de variable compleja: cuestionarios interactivos

Question 1

En el caso de funciones de variable compleja, ¿cuál de las siguientes afirmaciones sobre los límites es correcta?

Accepted Answer

El límite de una función compleja existe si y solo si los límites de sus partes real e imaginaria existen y coinciden.

Answer

El límite de una función compleja existe si y solo si existe el límite de su parte real.

Answer

El límite de una función compleja existe si y solo si existe el límite de su parte imaginaria.

Question 2

Para demostrar la continuidad de una función de variable compleja, ¿cuál de los siguientes teoremas es imprescindible?

Accepted Answer

Teorema de Cauchy-Riemann

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema de Taylor

Question 3

¿Cuál de las siguientes funciones presenta una singularidad esencial en z = 0?

Accepted Answer

sen(1/z)

Answer

z²

Answer

1/z

Answer

e^z

Question 4

Dada la función f(z) = (z²-1)/(z-1), ¿qué tipo de discontinuidad presenta en z = 1?

Accepted Answer

Desmontable

Answer

Esencial

Answer

Polo

Answer

Eliminable

Question 5

El teorema del residuo afirma que la integral de una función f(z) alrededor de un contorno cerrado C es igual a la suma de los residuos de f(z) en los polos encerrados por C.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Answer

Solo para polos de orden par

Answer

Solo para polos simples

Question 6

Determinar si la función f(z) = z^2 + i es continua en el origen.

Accepted Answer

Sí

Answer

Continua solo en la parte imaginaria

Answer

Continua solo en la parte real

Answer

No

Question 7

¿Cuál de los siguientes es el punto singular de la función f(z) = 1/(z - 2)?

Accepted Answer

z = 2

Answer

z = 1

Answer

z = 0

Answer

La función no tiene puntos singulares

Question 8

Sea f(z) = exp(z). Demostrar que es holomorfa en todo el plano complejo.

Accepted Answer

Aplicando la regla de la cadena y las reglas de derivación de las funciones exponenciales

Answer

Aplicando el teorema de Cauchy

Answer

Aplicando el teorema de Liouville

Question 9

¿Cuál es el orden del polo de la función f(z) = 1/(z - 1)^3 en z = 1?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

Infinito

Answer

1

Question 10

Determinar si la función f(z) = z^2 + 1 es analítica en el punto z = 1.

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo si z es un número real

Answer

No

Question 11

Calcular el radio de convergencia de la serie de potencias Σn=0∞ (n!)z^n.

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

e

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los límites de funciones de variable compleja es verdadera?

Accepted Answer

El límite de una función puede existir incluso si la función no es continua en ese punto.

Answer

Una función es continua en un punto si y sólo si el límite de la función es cero en ese punto.

Answer

El límite de una función es siempre único.

Question 13

¿Qué teorema es útil para demostrar la continuidad de funciones de variable compleja?

Accepted Answer

Teorema de Cauchy-Riemann

Answer

Teorema del Valor Intermedio

Answer

Teorema de Rolle

Question 14

¿Qué implica la ecuación ( f(z_0) = lim_{z	o z_0} f(z) )?

Accepted Answer

La función f(z) es continua en z = z0.

Answer

La función f(z) es derivable en z = z0.

Answer

La función f(z) es analítica en z = z0.

Answer

La función f(z) es integrable en z = z0.

Question 15

¿Qué tipo de singularidad tiene la función f(z) = 1/(z-1) en z = 1?

Accepted Answer

Polo simple

Answer

Singularidad aislada

Answer

Punto de rama

Answer

Singularidad esencial

Question 16

¿Cuál de las siguientes funciones tiene un punto de rama en z = 0?

Accepted Answer

f(z) = log(z)

Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = e^z

Question 17

¿Cuál de las siguientes funciones es analítica en todo el plano complejo?

Accepted Answer

f(z) = e^z

Answer

f(z) = |z|

Answer

f(z) = 1/(z-1)

Question 18

Enunciar con precisión la afirmación correcta sobre los límites de funciones de variable compleja.

Accepted Answer

Un límite existe si y solo si tanto el límite derecho como el izquierdo existen y son iguales.

Answer

Un límite existe si y solo si el límite izquierdo existe y es distinto de infinito.

Answer

Un límite existe si y solo si el límite derecho existe y es distinto de cero.

Question 19

Mencionar el teorema que garantiza la continuidad de una función en un conjunto abierto.

Accepted Answer

Teorema de continuidad de Morera

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema de los ceros

Answer

Teorema de Cauchy-Riemann

Question 20

Calcular el valor del límite cuando z tiende a infinito de la función f(z) = (z^2 + 1) / (z - 1).

Accepted Answer

Infinito

Answer

1

Answer

0

Question 21

Clasificar la singularidad de la función f(z) = e^(1/z) en z = 0.

Accepted Answer

Singularidad esencial aislada

Answer

Polo de orden 1

Answer

Cero de orden 1

Question 22

Sea f(z) = z² + 4z + 3. Calcular el límite de f(z) cuando z tiende a 2.

Accepted Answer

15

Answer

13

Answer

10

Answer

17

Question 23

Determinar el tipo de singularidad de f(z) = 1 / (z - 1)² en z = 1.

Accepted Answer

Polo de orden 2

Answer

Polo de orden 1

Answer

Punto de ramificación

Answer

Singularidad esencial

Question 24

¿Cuál es la definición de límite de una función de variable compleja $f(z)$ en un punto $z_0$? Si existe el límite, se dice que la función es continua en ese punto.

Accepted Answer

El valor al que tiende $f(z)$ cuando $z$ se acerca a $z_0$ a través de cualquier camino.

Answer

El valor de $f(z)$ en $z_0$

Answer

El valor promedio de $f(z)$ en un entorno de $z_0$

Question 25

Sea $f(z) = overline{z}$. Calcula el límite de $f(z)$ cuando $z$ tiende a $2+i$.

Accepted Answer

2-i

Answer

El límite no existe.

Answer

-2+i

Answer

i

Question 26

¿Cuál de los siguientes teoremas garantiza que una función de variable compleja $f(z)$ sea continua en un conjunto abierto $A$? (Suponiendo que $f(z)$ sea diferenciable en $A$.)

Accepted Answer

Teorema de Continuidad de Funciones Analíticas

Answer

Teorema de los Residuos

Answer

Teorema del Valor Intermedio

Answer

Teorema de Cauchy-Riemann

Question 27

Demuestra que la función $f(z) = |z|^2$ no es analítica en $z=0$.

Accepted Answer

Las derivadas parciales de $f(z)$ no existen en $z=0$.

Answer

La función no es continua en $z=0$.

Answer

La función es constante.

Question 28

Sea $f(z)$ una función analítica en un disco abierto $D$ y $z_0$ un punto en $D$. Entonces, $f(z)$ puede representarse mediante una serie de potencias convergente en un disco mayor que $D$ centrado en $z_0$. Esta serie se conoce como:

Accepted Answer

Serie de Taylor

Answer

Serie de Maclaurin

Answer

Serie de Fourier

Answer

Serie de Laurent

Question 29

Calcula el residuo de la función $f(z) = rac{z^2+1}{z-i}$ en $z=i$.

Accepted Answer

2i

Answer

-2i

Answer

i

Question 30

El Teorema de los Residuos permite calcular integrales de línea de funciones de variable compleja sobre contornos cerrados simples cuando la función tiene:

Accepted Answer

Singularidades aisladas dentro del contorno.

Answer

Singularidades esenciales dentro del contorno.

Answer

Polos simples fuera del contorno.

Answer

Singularidades removibles fuera del contorno.

Question 31

Sea f(z) = z^2 + 2z + 3. ¿En qué puntos z es f(z) continua?

Accepted Answer

En todo el plano complejo

Answer

Solo en el eje real

Answer

Solo en el origen

Answer

Solo en el eje imaginario

Question 32

Sea f(z) = |z|^2. ¿En qué puntos z es f(z) diferenciable?

Accepted Answer

En todo el plano complejo

Answer

Solo en el eje real

Answer

Solo en el origen

Answer

Solo en el eje imaginario

Question 33

Sea f(z) = (z - 1) / (z^2 - 1). ¿Cuál es el residuo de f(z) en el polo z = 1?

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

-1/2

Answer

2

Question 34

Sea f(z) = e^z. ¿Cuál es el orden del cero de f(z) en z = 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 35

Sea f(z) = log(z - 1). ¿En qué puntos z es f(z) analítica?

Accepted Answer

Todo el plano complejo excepto z = 1

Answer

Solo en el eje imaginario

Answer

Solo en el eje real

Answer

Solo en el semicírculo superior

Question 36

Sea f(z) = z^2 + 2z + 3. ¿Es f(z) uniforme en todo el plano complejo?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, solo en el semicírculo superior

Answer

No, solo en el eje real

Answer

No, solo en el eje imaginario

Question 37

Analiza la continuidad de la función f(z) = (z² - 1)/(z - 1).

Accepted Answer

Continua en todo el plano complejo excepto en z = 1.

Answer

Continua en todo el plano complejo.

Answer

Discontinua en el origen.

Question 38

Identifica las singularidades de la función f(z) = 1/(z(z - 1)).

Accepted Answer

Polos de orden 1 en z = 0 y z = 1.

Answer

Polos de orden 2 en z = 0 y z = 1.

Answer

Puntos de ramificación en z = 0 y z = 1.

Answer

Singularidades esenciales en z = 0 y z = 1.

Question 39

Si una función f(z) es analítica en un dominio abierto, ¿qué tipo de función es?

Accepted Answer

Holomorfa.

Answer

Armónica.

Answer

Conforme.

Answer

Multiforme.

Question 40

Calcula la integral de contorno de la función f(z) = 1/z alrededor de la unidad.

Accepted Answer

2πi

Answer

πi

Answer

0

Answer

-2πi

Question 41

Enuncia el teorema de Liouville en relación a las funciones enteras.

Accepted Answer

Una función entera que es limitada es constante.

Answer

Una función singular es discontinua.

Answer

Una función diferenciable es holomorfa.

Answer

Una función continua es analítica.