Derivación Numérica: Métodos y Aplicaciones en Cálculo Numérico

Question 1

¿Cuál de las siguientes fórmulas representa la derivada numérica hacia atrás de una función f(x)?

Accepted Answer

(f(x) - f(x - h)) / h

Answer

f(x + h) - f(x)

Answer

h(f(x + h) - f(x))

Answer

(f(x + h) + f(x - h)) / (2h)

Question 2

¿Cuál de los siguientes métodos de derivación numérica tiene un error de truncamiento de orden O(h^2)?

Accepted Answer

Derivada central

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

Derivada hacia atrás

Answer

Derivada hacia adelante

Question 3

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la derivación numérica es correcta?

Accepted Answer

Es una aproximación de la derivada analítica.

Answer

Es siempre exacta.

Answer

No se puede utilizar para funciones no derivables.

Answer

Solo se puede utilizar para funciones polinomiales.

Question 4

Calcula la derivada numérica hacia atrás de la función f(x) = sin(x) en x = π/2 usando un paso de h = 0.1.

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las derivadas parciales es correcta?

Accepted Answer

Son las derivadas de una función multivariable con respecto a cada una de sus variables independientes.

Answer

Son las derivadas de una función multivariable con respecto a su variable dependiente.

Question 6

La matriz jacobiana de la función f(x, y) = (x^2 + y, e^x + y^2) es:

Accepted Answer

(2x, 1) / (e^x, 2y)

Answer

(x^2, y) / (e^x, 2y)

Answer

(2x, 1) / (e^x, y^2)

Answer

(x^2, e^x) / (y, 2y)

Question 7

¿Cuál de las siguientes condiciones es necesaria para que una función f(x, y) sea derivable en un punto (a, b)?

Accepted Answer

Sus derivadas parciales deben existir en (a, b) y ser continuas en un entorno de (a, b).

Answer

Su derivada direccional debe existir en todas las direcciones en (a, b).

Answer

Sus derivadas parciales deben existir en (a, b).

Question 8

La derivada total de la función f(x, y) = x^2 + y^3 con respecto a t, donde x = t^2 e y = t + 1, es:

Accepted Answer

2t + 3(t + 1)^2

Answer

t^2 + 3t^2

Answer

1 + 3(t + 1)

Answer

2t + 3t^4

Question 9

¿Cuál es el paso de tiempo óptimo para el método de Euler para aproximar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden?

Accepted Answer

h = O(1 / (|λ|^(1/2))), donde λ es el autovalor dominante de la matriz jacobiana.

Answer

h = O(1 / λ)

Answer

h = O(λ)

Question 10

Al utilizar el método de diferencias finitas hacia atrás para calcular la derivada de una función f(x) en el punto x = x0, ¿cuál es la diferencia finita utilizada?

Accepted Answer

f(x0) - f(x0 - h)

Answer

f(x0) + f(x0 - h)

Answer

f(x0 + h) - f(x0)

Answer

f(x0 + h) - f(x0 - h)

Question 11

Para calcular la derivada parcial de una función f(x, y) con respecto a x utilizando el método de diferencias finitas, ¿cuál es la diferencia finita utilizada?

Accepted Answer

f(x + h, y) - f(x, y)

Answer

f(x, y) - f(x - h, y)

Answer

f(x + h, y) - f(x - h, y)

Question 12

Al aproximar la derivada de una función f(x) utilizando el método de diferencias centrales, ¿cuál es la diferencia finita utilizada?

Accepted Answer

f(x + h) - f(x - h)

Answer

f(x + h) - f(x)

Answer

f(x) - f(x - h)

Answer

f(x + h) + f(x - h)

Question 13

Para aumentar la precisión de la derivada aproximada obtenida mediante el método de diferencias finitas, ¿qué se puede hacer?

Accepted Answer

Disminuir el tamaño del paso h

Answer

Utilizar un método iterativo

Answer

Aumentar el tamaño del paso h

Answer

Utilizar una regla de integración

Question 14

¿Cuál de los siguientes métodos de derivación numérica es más preciso para aproximar la derivada de una función?

Accepted Answer

Diferencias centrales

Answer

Diferencias finitas hacia atrás

Answer

Diferencias finitas hacia adelante

Answer

Todas las opciones proporcionan la misma precisión

Question 15

Al utilizar el método de diferencias finitas para aproximar la derivada de una función en un punto donde la función no es continua, ¿qué puede ocurrir?

Accepted Answer

La aproximación puede ser inexacta o contener oscilaciones

Answer

La aproximación siempre será exacta

Answer

La aproximación será igual a la derivada analítica

Question 16

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de la derivación numérica se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias?

Accepted Answer

Métodos de Runge-Kutta

Answer

Optimización de funciones

Answer

Regla de la cadena

Answer

Integrales definidas

Question 17

En el contexto del Cálculo Numérico, ¿qué se entiende por 'error de truncamiento'?

Accepted Answer

El error introducido al aproximar la derivada utilizando un método numérico

Answer

El error debido a la falta de convergencia del método

Answer

El error causado por la precisión finita de la computadora

Question 18

¿Cuál de los siguientes es un método numérico para aproximar derivadas de funciones?

Accepted Answer

Diferencias finitas hacia adelante

Answer

Regla de Cramer

Answer

Análisis complejo

Answer

Integración numérica

Question 19

Calcula la derivada numérica hacia atrás de la función f(x) = sen(x) en el punto x = π/4 utilizando un paso de h = 0,1.

Accepted Answer

0,9916

Answer

1,0000

Answer

1,0100

Answer

0,9900

Question 20

El método de diferencias finitas centradas tiene un orden de aproximación de:

Accepted Answer

Segundo orden

Answer

Tercer orden

Answer

Primer orden

Answer

Cuarto orden

Question 21

¿Cuál de las siguientes NO es una ventaja de utilizar métodos numéricos para calcular derivadas?

Accepted Answer

Alta precisión

Answer

Manejo de funciones complejas

Answer

Bajo costo computacional

Answer

Simplicidad de implementación

Question 22

Sea **f(x,y)** una función de dos variables. ¿Cuál es la derivada **parcial** numérica de **f** con respecto a **x** en el punto **(x_0,y_0)** usando diferencias finitas hacia adelante de **segundo orden**?

Accepted Answer

**([f(x_0 + h,y_0) - f(x_0 - h,y_0)] / 2h)**

Answer

**([f(x_0 + h,y_0) - f(x_0,y_0)] / h)**

Answer

**([f(x_0,y_0 + h) - f(x_0,y_0 - h)] / 2h)**

Answer

**([f(x_0,y_0) - f(x_0 - h,y_0)] / h)**

Question 23

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre derivadas numéricas es correcta?

Accepted Answer

Las derivadas numéricas pueden usarse para aproximar derivadas de funciones que **no** son diferenciables.

Answer

Las derivadas numéricas siempre producen resultados exactos.

Question 24

Para la función f(x) = e^x, calcula la derivada numérica central de segundo orden en x = 0, utilizando un tamaño de paso h.

Accepted Answer

(f(0 + h) - 2f(0) + f(0 - h)) / h^2

Answer

(f(0 + 2h) - 4f(0 + h) + 3f(0)) / h^2

Answer

(f(0 + h) - f(0 - h)) / 2h

Answer

(f(0 + h) + f(0 - h)) / 2

Question 25

De las siguientes opciones, ¿cuál NO es una ventaja del uso de las diferencias finitas para aproximar derivadas?

Accepted Answer

Exactitud absoluta en todos los casos.

Answer

Estimaciones razonables en ausencia de información analítica.

Answer

Simplicidad y facilidad de implementación.

Answer

Versatilidad para diferentes funciones.

Question 26

En el contexto de la derivación numérica, el tamaño del paso h:

Accepted Answer

Influye directamente en la precisión y estabilidad de la aproximación.

Answer

No tiene impacto en la precisión de la derivada.

Answer

Solo afecta a las derivadas de segundo orden.

Question 27

De las siguientes afirmaciones sobre las derivadas numéricas, ¿cuál es INCORRECTA?

Accepted Answer

Son siempre más precisas que las derivadas analíticas.

Answer

Su precisión disminuye con el aumento del orden de la derivada.

Answer

Pueden utilizarse cuando no hay información analítica disponible.

Question 28

En una aplicación de ingeniería, necesitas calcular la derivada de una función experimental y no dispones de su expresión analítica. ¿Qué tipo de derivación sería más apropiada?

Accepted Answer

Derivación numérica.

Answer

Derivación simbólica.

Answer

Derivación gráfica.

Answer

Derivación analítica.

Question 29

De las siguientes fórmulas de diferencias finitas, ¿cuál NO se utiliza para aproximar la primera derivada de una función?

Accepted Answer

f'(x) ≈ [f(x + 2h) - f(x)] / 2h

Answer

f'(x) ≈ [f(x) - f(x - h)] / h

Answer

f'(x) ≈ [f(x + h) - f(x)] / h

Answer

f'(x) ≈ [f(x + h) - f(x - h)] / 2h

Question 30

Al aproximar la derivada de una función usando diferencias finitas, ¿qué sucede con el error de truncamiento al reducir el tamaño del paso (h)?

Accepted Answer

El error de truncamiento generalmente disminuye.

Answer

El error de truncamiento siempre disminuye.

Answer

El error de truncamiento generalmente aumenta.

Answer

El error de truncamiento no se ve afectado.

Question 31

Aproximando la derivada de f(x) = sin(x) en x = π/4 usando la fórmula de diferencia central con h = 0.1, ¿cuál es el valor aproximado?

Accepted Answer

0.7036

Answer

0.7071

Answer

0.6908

Answer

0.7174

Question 32

En términos de precisión y complejidad computacional, ¿cuál es la principal diferencia entre las fórmulas de diferencias finitas de orden superior y las de orden inferior?

Accepted Answer

Las fórmulas de orden superior generalmente proporcionan mayor precisión, pero requieren más evaluaciones de funciones.

Answer

Las fórmulas de orden superior son más fáciles de calcular que las de orden inferior.

Question 33

¿Qué método numérico se utiliza para aproximar la derivada de una función en un punto utilizando la información de la función en puntos vecinos?

Accepted Answer

Diferencias finitas

Answer

Integración numérica

Answer

Interpolación polinómica

Question 34

Para aproximar la derivada parcial ∂f/∂x de una función f(x,y), ¿qué fórmula de diferencias finitas se debería usar?

Accepted Answer

(f(x+h,y) - f(x-h,y)) / 2h

Answer

(f(x+h,y+h) - f(x-h,y-h)) / 2h

Answer

(f(x+h,y) - f(x,y)) / h

Answer

(f(x,y+h) - f(x,y-h)) / 2h

Question 35

En el contexto de la derivación numérica, ¿qué se entiende por 'error de redondeo'?

Accepted Answer

Errores que surgen de la representación finita de números reales en una computadora.

Answer

Errores causados por el uso de un tamaño de paso finito en la aproximación de la derivada.

Answer

Errores que surgen al usar una fórmula de diferencia finita de orden inferior.

Question 36

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el uso de la derivación numérica en aplicaciones de ingeniería?

Accepted Answer

Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales que modelan sistemas físicos.

Answer

Solo se puede utilizar para funciones que se pueden expresar en forma cerrada.

Answer

Siempre es más preciso que calcular derivadas analíticamente.

Question 37

Utilizando la derivación numérica para encontrar los puntos donde la derivada de una función es igual a cero, ¿qué tipo de problema se puede resolver?

Accepted Answer

Encontrar los máximos y mínimos de una función.

Answer

Aproximar el valor de una integral definida.

Answer

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Answer

Calcular el área bajo la curva de una función.

Question 38

Con una función f(x) muestreada en un conjunto de puntos, ¿cómo se puede obtener una mejor aproximación de la derivada de f(x) usando diferencias finitas?

Accepted Answer

Aumentar el número de puntos de muestreo y disminuir el espaciado entre ellos.

Answer

Disminuir el número de puntos de muestreo y aumentar el espaciado entre ellos.

Answer

Mantener el mismo número de puntos de muestreo pero aleatorizar su ubicación.

Question 39

Se quiere aproximar la derivada de la función f(x) = x^2 en el punto x = 2 usando la fórmula de la diferencia hacia adelante. Si se utiliza un paso h = 0.1, ¿cuál es el valor aproximado de la derivada?

Accepted Answer

4.1

Answer

4.2

Answer

3.9

Answer

4.0

Question 40

Si se utiliza la fórmula de la diferencia centrada para aproximar la derivada de una función f(x) en el punto x = a, ¿qué orden de precisión se obtiene?

Accepted Answer

Segundo orden

Answer

Tercer orden

Answer

Primer orden

Answer

Cero orden

Question 41

La derivada parcial de una función f(x, y) con respecto a x en el punto (a, b) se puede aproximar utilizando la fórmula de la diferencia hacia adelante. ¿Cuál es la expresión correcta para esta aproximación?

Accepted Answer

(f(a + h, b) - f(a, b)) / h

Answer

(f(a, b + h) - f(a, b)) / h

Answer

(f(a + h, b) - f(a, b - h)) / (2h)

Answer

(f(a, b + h) - f(a, b - h)) / (2h)

Question 42

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta en relación al error de truncamiento en la derivación numérica?

Accepted Answer

El error de truncamiento disminuye al disminuir el tamaño del paso h.

Answer

El error de truncamiento aumenta al disminuir el tamaño del paso h.

Answer

El error de truncamiento es independiente del tamaño del paso h.

Question 43

Se desea aproximar la derivada segunda de una función f(x) en el punto x = a utilizando la fórmula de la diferencia centrada. ¿Cuál es la expresión correcta para esta aproximación?

Accepted Answer

(f(a + h) - 2f(a) + f(a - h)) / h^2

Answer

(f(a + h) - 2f(a) + f(a - h)) / (2h)

Answer

(f(a + h) - f(a - h)) / (2h)

Answer

(f(a + h) - f(a)) / h^2

Question 44

En el contexto de la derivación numérica, ¿qué es la estabilidad numérica?

Accepted Answer

La capacidad de un método numérico para producir resultados precisos incluso en presencia de errores de redondeo.

Answer

La velocidad con la que un método numérico converge a la solución exacta.

Question 45

Se tiene la siguiente función: f(x) = sin(x). Se desea aproximar la derivada de f(x) en el punto x = π/4 utilizando la fórmula de la diferencia hacia adelante con un paso h = 0.1. ¿Cuál es el valor aproximado de la derivada?

Accepted Answer

0.7071

Answer

0.6071

Answer

0.8071

Question 46

La fórmula de la diferencia hacia atrás para aproximar la derivada de una función f(x) en el punto x = a tiene un orden de precisión:

Accepted Answer

Primer orden

Answer

Cero orden

Answer

Segundo orden

Answer

Tercer orden

Question 47

Para una función f(x, y), ¿cuál es la expresión de la derivada parcial de segundo orden con respecto a x?

Accepted Answer

∂^2f/∂x^2

Answer

∂f/∂x

Answer

∂f/∂y

Answer

∂^2f/∂y^2

Question 48

En la derivación numérica, el error de redondeo se debe a:

Accepted Answer

La representación finita de los números en la computadora.

Answer

La precisión con la que se conoce la función.

Answer

La elección del método numérico.