Integración Numérica: Métodos y Aplicaciones en Cálculo Numérico

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones resume con precisión el método de trapecios?

Accepted Answer

Aproxima el valor de una integral definiendo como el área de un trapecio formado por los puntos de la función en los límites de integración y la línea que los une.

Answer

Su orden de convergencia es lineal.

Answer

Solo es aplicable a integrales con límites de integración conocidos.

Question 2

¿Qué ventaja ofrece el método de los trapecios?

Accepted Answer

Es fácil de implementar y requiere cálculos mínimos.

Answer

Es aplicable a integrales con singularidades.

Answer

Converge más rápido que el método de Gauss.

Answer

Es más preciso que el método de Simpson.

Question 3

¿Para qué tipo de funciones es más adecuado el método de Simpson?

Accepted Answer

Funciones suaves con derivadas continuas en el intervalo de integración.

Answer

Funciones discontinuas.

Answer

Funciones con oscilaciones rápidas.

Answer

Funciones con singularidades.

Question 4

¿Qué afirma el teorema del valor medio del cálculo integral?

Accepted Answer

Existe al menos un punto en el intervalo de integración donde el valor de la función es igual al valor promedio de la integral en ese intervalo.

Answer

La integral de una función continua es siempre continua.

Question 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el error de truncamiento del método de los trapecios es correcta?

Accepted Answer

Es proporcional a h^2, donde h es el tamaño de paso.

Answer

Es proporcional a h.

Answer

Es independiente de h.

Question 6

¿Para qué valor de n el método de Simpson proporciona la misma aproximación que la fórmula de integración exacta?

Accepted Answer

Infinito

Answer

n depende de la función integrada.

Answer

0

Answer

1

Question 7

Para aproximar la integral definida de una función f(x) en el intervalo [a, b] usando la regla del trapecio, dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud h. ¿Cuál es la fórmula para aproximar la integral?

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + 2 * Σ(i=1 to n-1) f(a + i * h) + f(b)]

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ h * [f(a) + Σ(i=1 to n) f(a + i * h) + f(b)]

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + f(b)]

Question 8

La regla de Simpson utiliza parábolas para aproximar la función dentro de cada subintervalo. ¿Cuántos puntos se necesitan para definir cada parábola en la regla de Simpson?

Accepted Answer

3 puntos

Answer

1 punto

Answer

4 puntos

Answer

2 puntos

Question 9

La fórmula de cuadratura de Gauss-Legendre utiliza puntos de integración y pesos específicos para aproximar la integral definida. ¿Cómo se seleccionan estos puntos y pesos?

Accepted Answer

Se derivan de los polinomios de Legendre.

Answer

Se eligen de forma equidistante en el intervalo de integración.

Answer

Se establecen mediante una función específica de la integral a calcular.

Answer

Se determinan aleatoriamente.

Question 10

Un ingeniero necesita aproximar la integral definida de una función que tiene un comportamiento oscilatorio. ¿Qué método de integración numérica sería, en general, más adecuado?

Accepted Answer

Cuadratura de Gauss-Legendre

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla de Simpson

Answer

Ninguno de los anteriores

Question 11

Se está aproximando la integral definida de una función utilizando la regla del trapecio. ¿Cómo se puede mejorar la precisión de la aproximación?

Accepted Answer

Aumentar el número de subintervalos.

Answer

Disminuir el número de subintervalos.

Answer

Cambiar la función a integrar.

Answer

No es posible mejorar la precisión.

Question 12

¿Cuál es la principal ventaja de la cuadratura de Gauss-Legendre sobre la regla del trapecio y la regla de Simpson?

Accepted Answer

Alcanza una mayor precisión con el mismo número de evaluaciones de la función.

Answer

Siempre utiliza menos evaluaciones de la función.

Answer

Es más fácil de implementar.

Question 13

Se está utilizando la cuadratura de Gauss-Legendre para aproximar la integral definida de una función. ¿Cómo se elige el número de puntos de integración?

Accepted Answer

Se elige en función del orden de precisión deseado.

Answer

Se elige arbitrariamente.

Answer

Se elige en función del tamaño del intervalo de integración.

Question 14

Una función f(x) tiene un comportamiento singular en un punto dentro del intervalo de integración [a, b]. ¿Qué método de integración numérica sería más adecuado para aproximar la integral?

Accepted Answer

Un método de integración adaptativa.

Answer

La regla de Simpson.

Answer

La regla del trapecio.

Answer

La cuadratura de Gauss-Legendre.

Question 15

Calcula la integral definida de la función f(x) = x^2 entre los límites a = 0 y b = 2 utilizando la regla del trapecio con n = 2 subintervalos.

Accepted Answer

2,667

Answer

4

Answer

1,333

Answer

5,333

Question 16

En el método de Simpson, ¿cuántas evaluaciones de la función son necesarias para aproximar la integral sobre n subintervalos?

Accepted Answer

2n + 2

Answer

n

Answer

n + 1

Answer

n + 2

Question 17

¿Cuál de las siguientes es una ventaja del método de Gauss sobre el método de los trapecios?

Accepted Answer

Mayor precisión para un número determinado de evaluaciones de la función.

Answer

Facilidad de implementación.

Answer

Menor complejidad computacional.

Question 18

Calcula la integral definida de la función f(x) = e^x entre los límites a = 0 y b = 1 utilizando el método de Gauss con n = 2 puntos de integración.

Accepted Answer

1,6487

Answer

2,0000

Answer

1,4638

Answer

1,7845

Question 19

¿En qué casos es especialmente útil el método de Monte Carlo para la integración numérica?

Accepted Answer

Cuando la función es compleja o de alta dimensión.

Answer

Cuando la función es periódica.

Answer

Cuando la función es continua y derivable.

Answer

Cuando la función es monótona.

Question 20

Calcula la integral definida de la función f(x) = sin(x) entre los límites a = 0 y b = π utilizando la regla del trapecio compuesto con n = 4 subintervalos.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

π/2

Question 21

¿Cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para calcular los pesos en el método de Gauss-Legendre?

Accepted Answer

w_i = 2 / ((1 - x_i^2)P'_n(x_i))^2

Answer

w_i = 1 / ((1 + x_i^2)P'_n(x_i))

Answer

w_i = 2 / ((1 - x_i^2)P'_n(x_i))

Answer

w_i = 1 / ((1 + x_i^2)P'_n(x_i))^2

Question 22

En el método de Romberg, ¿cómo se obtiene la estimación R_{n,m} a partir de R_{n-1,m-1}?

Accepted Answer

R_{n,m} = (4^m * R_{n-1,m-1} - R_{n-1,m}) / (4^m - 1)

Answer

R_{n,m} = (4^m * R_{n-1,m} - R_{n-1,m-1}) / (4^m - 1)

Answer

R_{n,m} = (4^m * R_{n-1,m} + R_{n-1,m-1}) / (4^m + 1)

Question 23

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el método de Clenshaw-Curtis es correcta?

Accepted Answer

Es una técnica de integración numérica que utiliza polinomios de Chebyshev.

Answer

Es un método de integración iterativa que no requiere evaluaciones de función.

Answer

Es un método de extrapolación que mejora la precisión de otros métodos.

Question 24

Calcula la integral definida de la función f(x) = ln(x) entre los límites a = 1 y b = 2 utilizando el método de diferencias finitas.

Accepted Answer

0,6931

Answer

2,1972

Answer

0,3466

Answer

1,0986

Question 25

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica utiliza polinomios de segundo grado para aproximar la función a integrar?

Accepted Answer

Regla de Simpson

Answer

Método de Euler

Answer

Método del punto medio

Answer

Método del trapecio

Question 26

Se desea aproximar la integral de una función en un intervalo [a,b] usando el método del trapecio compuesto. ¿Qué ocurre con el error de aproximación si se duplica el número de subintervalos?

Accepted Answer

Se reduce aproximadamente a la cuarta parte

Answer

Se reduce a la mitad

Answer

Se duplica

Answer

Se mantiene igual

Question 27

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una ventaja del método de Simpson sobre el método del trapecio?

Accepted Answer

Es más sencillo de implementar computacionalmente

Answer

Generalmente ofrece una mejor precisión para la misma cantidad de subintervalos

Answer

Utiliza polinomios de mayor grado para aproximar la función

Answer

Converge más rápido para funciones suaves

Question 28

La fórmula  ∫(a,b) f(x) dx ≈ (h/3) [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)], donde h = (b-a)/n, corresponde a:

Accepted Answer

Regla de Simpson 1/3 compuesta

Answer

Método de Gauss-Legendre

Answer

Regla del trapecio compuesta

Answer

Método de Simpson 3/8

Question 29

Se quiere aproximar la integral de una función altamente oscilatoria en un intervalo dado. ¿Qué método de integración numérica sería el MENOS adecuado en este caso?

Accepted Answer

Método del trapecio

Answer

Cuadratura adaptativa

Answer

Método de Simpson

Answer

Método de Gauss-Legendre

Question 30

¿Cuál es la principal ventaja del método de Gauss-Legendre sobre otros métodos de integración numérica?

Accepted Answer

Alcanza una alta precisión con un número menor de evaluaciones de la función

Answer

Es más sencillo de implementar que el método del trapecio

Answer

No requiere conocer los valores de la función en los extremos del intervalo

Question 31

¿En qué se basa el método de cuadratura adaptativa para calcular integrales definidas?

Accepted Answer

Divide el intervalo de integración en subintervalos de tamaño variable, ajustándose a la función

Answer

Aproxima la función mediante una serie de Fourier y luego integra la serie término a término

Answer

Utiliza un número fijo de subintervalos y un método de integración simple en cada uno

Question 32

En el contexto de la integración numérica, ¿qué significa que un método tenga un orden de convergencia cuadrático?

Accepted Answer

Al reducir a la mitad el tamaño del paso, el error se reduce aproximadamente a la cuarta parte

Answer

El error es proporcional al cuadrado del tamaño del paso

Answer

El método siempre converge a la solución exacta

Question 33

Se quiere calcular la integral de una función en un intervalo donde la función no está definida en uno de los extremos. ¿Qué estrategia se podría utilizar para abordar este problema?

Accepted Answer

Utilizar una regla de integración abierta, como la regla del punto medio

Answer

Descartar la integral, ya que no se puede calcular

Answer

Utilizar un método de extrapolación para aproximar el valor de la función en el extremo problemático