Vectores en el espacio: cuestionarios interactivos para Geometría Analítica

Question 1

Si **a** = (2, 1, -3) y **b** = (1, 0, 2), ¿cuál es el ángulo, en grados, entre los vectores **a** y **b**?

Accepted Answer

109.5°

Answer

120°

Answer

90°

Answer

70.5°

Question 2

En un sistema de coordenadas cartesianas, un vector **r** tiene su punto inicial en (1, 2, 3) y su punto final en (4, 5, 7). ¿Cuál es la representación vectorial de **r**?

Accepted Answer

(3, 3, 4)

Answer

(-3, -3, -4)

Answer

(5, 7, 10)

Question 3

Dos vectores **a** y **b** son ortogonales. ¿Qué relación matemática se cumple entre ellos?

Accepted Answer

**a** · **b** = 0

Answer

**a** + **b** = 0

Answer

**a** × **b** = 0

Answer

**a** = **b**

Question 4

¿Cuál de las siguientes operaciones entre vectores NO es conmutativa?

Accepted Answer

Producto vectorial

Answer

Multiplicación por un escalar

Answer

Suma vectorial

Answer

Producto escalar

Question 5

Un avión vuela a una velocidad de 500 km/h en dirección N30°E. Si el viento sopla a 100 km/h en dirección S60°E, ¿cuál es la velocidad resultante del avión? (Nota: Asumir que el viento afecta solo la velocidad, no la dirección del avión.)

Accepted Answer

Se requiere más información para calcular la velocidad resultante.

Answer

400 km/h

Answer

600 km/h

Question 6

Dados los vectores **u** = (1, 2, 3) y **v** = (-2, 1, 0), ¿cuál es el producto escalar de **u** y **v**?

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

-2

Answer

2

Question 7

El ángulo entre los vectores **u** = (1, 0, 0) y **v** = (0, 1, 0) es:

Accepted Answer

90 grados

Answer

45 grados

Answer

180 grados

Answer

0 grados

Question 8

La magnitud del vector **u** = (3, 4, 5) es:

Accepted Answer

5√2

Answer

12

Answer

7

Answer

5

Question 9

¿Cuál es el vector unitario en la dirección del vector **u** = (2, 1, 2)?

Accepted Answer

(2/3, 1/3, 2/3)

Answer

(1/2, 1/4, 1/2)

Answer

(2, 1, 2)

Answer

(1, 1/2, 1)

Question 10

Dados los vectores **u** = (1, 2, 3) y **v** = (-2, 1, 0), ¿cuál es el producto vectorial de **u** y **v**?

Accepted Answer

(-3, 6, -5)

Answer

(3, -6, 5)

Answer

(1, 2, 3)

Question 11

Un avión se desplaza con una velocidad de 200 km/h hacia el este y un viento de 50 km/h sopla hacia el norte. ¿Cuál es la velocidad resultante del avión?

Accepted Answer

206.16 km/h a 14.04° al norte del este

Answer

250 km/h

Answer

150 km/h

Answer

200 km/h

Question 12

Dos fuerzas, **F1** = (10, 0, 0) N y **F2** = (0, 5, 0) N, actúan sobre un objeto. ¿Cuál es la fuerza resultante?

Accepted Answer

(10, 5, 0) N

Answer

(10, 0, 5) N

Answer

(5, 10, 0) N

Question 13

Un punto P se encuentra a 3 unidades de distancia del origen en la dirección del vector **u** = (1, 1, 1). ¿Cuáles son las coordenadas de P?

Accepted Answer

(√3, √3, √3)

Answer

(3, 3, 3)

Answer

(1/√3, 1/√3, 1/√3)

Answer

(1, 1, 1)

Question 14

Dos vectores **u** y **v** son ortogonales si:

Accepted Answer

Su producto escalar es cero.

Answer

Son paralelos.

Answer

Tienen la misma magnitud.

Answer

Su producto vectorial es cero.

Question 15

El producto vectorial de dos vectores es un vector que es:

Accepted Answer

Perpendicular a ambos vectores.

Answer

En la misma dirección que el segundo vector.

Answer

En la misma dirección que el primer vector.

Answer

Paralelo a ambos vectores.

Question 16

Un vector en el espacio tridimensional se define por su magnitud y su dirección. ¿Cuál de las siguientes opciones representa correctamente la dirección de un vector?

Accepted Answer

Un conjunto de ángulos directores

Answer

Una recta en el espacio

Answer

Un plano en el espacio

Answer

Un punto en el espacio

Question 17

Sean u = (2, 1, -3) y v = (-1, 0, 2) dos vectores en el espacio. ¿Cuál es el resultado de la suma vectorial u + v?

Accepted Answer

(1, 1, -1)

Answer

(1, 1, 1)

Answer

(3, 1, -1)

Answer

(-3, -1, 5)

Question 18

Si un vector u = (3, -2, 1) se multiplica por un escalar k = -2, ¿cuál es el resultado?

Accepted Answer

(-6, 4, -2)

Answer

(3, -4, -1)

Answer

(1, -2, -1)

Answer

(6, -4, -2)

Question 19

El producto escalar de dos vectores u y v, denotado por u · v, se define como:

Accepted Answer

La magnitud de u multiplicada por la magnitud de v, por el coseno del ángulo entre ellos.

Answer

La magnitud de u multiplicada por la magnitud de v, por el seno del ángulo entre ellos.

Answer

La suma de los productos de las componentes correspondientes de u y v.

Question 20

Dados los vectores u = (1, 2, 3) y v = (4, -1, 2), ¿cuál es el valor del producto escalar u · v?

Accepted Answer

9

Answer

7

Answer

11

Answer

-1

Question 21

El producto vectorial de dos vectores u y v, denotado por u × v, se define como:

Accepted Answer

Un vector perpendicular a ambos u y v, con magnitud igual al área del paralelogramo determinado por u y v.

Answer

Un vector paralelo a ambos u y v.

Question 22

Dados los vectores u = (2, 1, -1) y v = (0, 3, 1), ¿cuál es el vector resultante del producto vectorial u × v?

Accepted Answer

(4, -2, 6)

Answer

(4, 2, 6)

Answer

(-4, -2, 6)

Question 23

¿Qué concepto se utiliza para determinar la distancia entre dos puntos en el espacio tridimensional?

Accepted Answer

La fórmula de la distancia entre dos puntos

Answer

La norma de un vector

Answer

El producto vectorial

Answer

El producto escalar

Question 24

En un sistema de fuerzas, ¿cómo se utiliza el concepto de vector para representar las fuerzas?

Accepted Answer

Cada fuerza se representa como un vector con magnitud y dirección.

Answer

Las fuerzas se representan como escalares.

Answer

Las fuerzas se representan como puntos en el espacio.

Question 25

Un avión vuela en dirección norte a 500 km/h y encuentra un viento de 100 km/h soplando hacia el este. ¿Cuál es la velocidad resultante del avión?

Accepted Answer

Se necesita aplicar la suma vectorial para encontrar la velocidad resultante.

Answer

La velocidad resultante es 600 km/h.

Answer

La velocidad resultante es 400 km/h.

Question 26

Determinar la magnitud del vector ( vec{v} = 3hat{i} + 4hat{j} - 5hat{k} ).

Accepted Answer

√50

Answer

1

Answer

√25

Answer

5

Question 27

Hallar el vector unitario en la dirección de ( vec{v} = 2hat{i} - 3hat{j} + hat{k} ).

Accepted Answer

1/√14

Answer

3/√14

Answer

4/√14

Answer

2/√14

Question 28

Calcular el producto escalar de los vectores ( vec{u} = 3hat{i} - 2hat{j} ) y ( vec{v} = 2hat{i} + 5hat{j} ).

Accepted Answer

4

Answer

10

Answer

-4

Answer

1

Question 29

Hallar el producto vectorial de los vectores ( vec{u} = hat{i} + 2hat{j} ) y ( vec{v} = -3hat{i} + hat{j} ).

Accepted Answer

5hat{k}

Answer

-5hat{k}

Answer

2hat{k}

Answer

1hat{k}

Question 30

Determinar si los vectores ( vec{u} = 2hat{i} - 3hat{j} ) y ( vec{v} = 4hat{i} + 6hat{j} ) son paralelos.

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

No hay suficiente información

Question 31

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto ( (1, 2, 3) ) y es perpendicular al vector ( vec{n} = 2hat{i} - hat{j} + 3hat{k} ).

Accepted Answer

2x - y + 3z = 8

Answer

y + 2z - x = 2

Answer

x + 2y - 3z = 1

Answer

x - y + 2z = 3

Question 32

Determinar el ángulo entre los vectores ( vec{u} = hat{i} + hat{j} ) y ( vec{v} = -hat{i} + 3hat{j} ).

Accepted Answer

120°

Answer

90°

Answer

150°

Answer

60°

Question 33

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores ( vec{u} = 2hat{i} - 3hat{j} ), ( vec{v} = 4hat{i} + 6hat{j} ), y ( vec{w} = hat{j} + 2hat{k} ).

Accepted Answer

14

Answer

7

Answer

21

Answer

28

Question 34

Determinar si los vectores ( vec{u} = 2hat{i} - hat{j} ), ( vec{v} = 4hat{i} + 2hat{j} ), y ( vec{w} = 6hat{i} + 3hat{j} ) son linealmente dependientes.

Accepted Answer

Sí

Answer

No hay suficiente información

Answer

No

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 35

Hallar el área del triángulo formado por los puntos ( (1, 2, 3) ), ( (4, 5, 6) ), y ( (7, 8, 9) ).

Accepted Answer

9

Answer

12

Answer

6

Answer

15