Series: Conceptos, Criterios de Convergencia y Aplicaciones

Question 1

Determinar si la siguiente serie converge o diverge: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

Converge

Answer

Diverge

Answer

No se puede determinar

Question 2

¿Cuál de las siguientes series NO es absolutamente convergente?

Accepted Answer

1 + (-1/2) + (1/4) + (-1/8) + ...

Answer

1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...

Answer

1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ...

Question 3

Hallar el valor de la siguiente serie alternada: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Accepted Answer

ln(2)

Answer

1

Answer

∞

Question 4

¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para que una serie alternada sea convergente?

Accepted Answer

Los términos deben tender a cero y la sucesión de módulos debe ser decreciente

Answer

La serie debe ser geométrica

Answer

Los términos deben ser positivos

Question 5

Dada una serie geométrica $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$, ¿cuándo converge?

Accepted Answer

Cuando $|r| < 1$

Answer

Cuando $|r| > 1$

Answer

Cuando $r = 1$

Answer

Cuando $a = 0$

Question 6

La serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ es una serie de potencias. ¿Para qué valores de $x$ converge?

Accepted Answer

Para todo $x$

Answer

Solo para $x \le 0$

Answer

Para ningún valor de $x$

Answer

Solo para $x \ge 0$

Question 7

El radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$ es:

Accepted Answer

1

Answer

$\infty$

Answer

0

Answer

2

Question 8

Determina el intervalo de convergencia de la serie alternada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n}$:

Accepted Answer

$-1 \le x \le 1$

Answer

$x \lt 1$

Answer

$x \le 0$

Answer

$x \gt -1$

Question 9

Calcula la suma de los primeros 10 términos de la serie 3 + 5 + 7 + 9 + ...

Accepted Answer

285

Answer

511

Answer

1023

Answer

2047

Question 10

Encuentra la suma de la serie ∑(n=0 a ∞) (1/n!).

Accepted Answer

e

Answer

∞

Answer

No existe

Answer

1

Question 11

Identifica la serie convergente en el siguiente conjunto:

Accepted Answer

∑ (1/n^2)

Answer

∑ (n)

Answer

∑ (n^2)

Answer

∑ (1/n)

Question 12

¿Según qué criterio una serie es absolutamente convergente si su serie de valores absolutos converge?

Accepted Answer

Criterio de convergencia absoluta

Answer

Criterio de comparación

Answer

Criterio de la razón

Answer

Criterio de la raíz

Question 13

Considera la serie ∑ (n/(n+1)). Calcula su suma:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

La serie diverge

Answer

2

Question 14

Indica el comportamiento de la serie ∑ (sen(n))

Accepted Answer

Oszila

Answer

Converge a 0

Answer

Diverge a infinito

Question 15

Selecciona la serie de potencias que representa la función f(x) = e^x

Accepted Answer

∑ (x^n/n!)

Answer

∑ (1/x^n)

Answer

∑ (n^x)

Answer

∑ (x^n)

Question 16

¿Cuál de las siguientes series es alternada?

Accepted Answer

∑ (-1)^n / n^2

Answer

∑ 1 / n^2

Answer

∑ n

Answer

∑ sin(n)

Question 17

¿Cuál de los siguientes criterios de convergencia garantiza que una serie alternada converge?

Accepted Answer

Criterio de Leibniz

Answer

Criterio de Comparación Directa

Answer

Criterio de la Razón

Answer

Criterio de Convergencia Absoluta

Question 18

La serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (x^n/n!) converge para:

Accepted Answer

Todo valor de x

Answer

x > 1

Answer

-1 < x < 1

Answer

x < -1

Question 19

La serie ∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n es:

Accepted Answer

Condicionalmente convergente

Answer

Absolutamente convergente

Answer

Divergente

Answer

Oscilante

Question 20

La serie ∑_(n=1)^∞ (1/n) es:

Accepted Answer

Divergente

Answer

Condicionalmente convergente

Answer

Oscilante

Answer

Convergente

Question 21

Determinar cuál de las siguientes series es convergente, según el criterio de la serie alternada:

Accepted Answer

∑ ((−1)^n / n)

Answer

∑ (n)

Answer

∑ (2^n)

Answer

∑ (1/n)

Question 22

Para la serie ∑ (a^n), indicar cuál es el criterio de convergencia aplicable:

Accepted Answer

Criterio de la razón

Answer

Criterio de comparación por límite

Answer

Criterio de comparación directa

Answer

Criterio de la raíz

Question 23

Determinar el valor de x para el cual la serie ∑ (x^n / n!) converge para todo x:

Accepted Answer

x = 0

Answer

x < 0

Answer

x ≠ 0

Answer

x > 0

Question 24

Indicar cuál es el enésimo término de la serie geométrica ∑ (0,5)^n:

Accepted Answer

0,5^n

Answer

(1/2)^n

Answer

0,5^(n+1)

Answer

n * 0,5^(n-1)

Question 25

Seleccionar la serie que representa la expansión de Taylor de la función e^x:

Accepted Answer

∑ (x^n / n!)

Answer

∑ (sen(x)^n)

Answer

∑ (n^x)

Answer

∑ (cos(x)^n)

Question 26

Determinar el intervalo de convergencia de la serie ∑ (x^n / (n^2 + 1)):

Accepted Answer

[-1, 1]

Answer

[-3, 3]

Answer

[-2, 2]

Question 27

Indicar cuál de las siguientes afirmaciones sobre series es falsa:

Accepted Answer

Una serie siempre converge a un valor finito.

Answer

Una serie es una sucesión de números.

Answer

Una serie es una suma de términos infinitos.

Answer

Todas las series son divergentes.

Question 28

Determinar si la siguiente serie es convergente o divergente: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

Convergente

Answer

Divergente

Answer

No se puede determinar

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 29

Seleccionar la serie que es una serie geométrica:

Accepted Answer

2 + 4 + 8 + 16 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 3 + 5 + 7 + ...

Question 30

Calcular el valor de la suma de la siguiente serie: 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

1/4

Answer

1/2

Question 31

Determina si la siguiente serie es una serie de potencias: x + x^2 + x^3 + x^4 + ...

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

No se puede determinar

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 32

Calcula el radio de convergencia de la siguiente serie de potencias: 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

2

Question 33

Determina el valor de la integral ∫(1 / (x^2 + 1)) dx utilizando series.

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

ln(x^2 + 1) + C

Answer

x / (x^2 + 1) + C

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 34

Calcula la suma de la siguiente serie: ∑(n=1 a ∞) (2n - 1) / n^2

Accepted Answer

π^2 / 6

Answer

π^2

Answer

π^2 / 4

Answer

π^2 / 2

Question 35

Dada la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$, ¿cuál de los siguientes criterios de convergencia se puede utilizar para determinar su convergencia?

Accepted Answer

Criterio de la integral

Answer

Criterio de la raíz

Answer

Criterio de comparación directa

Answer

Criterio de la razón

Question 36

Determine si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ es convergente o divergente.

Accepted Answer

Convergente

Answer

Convergente condicionalmente

Answer

Divergente

Question 37

Calcule el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n!}$.

Accepted Answer

$\infty$

Answer

1

Answer

2

Question 38

Encuentre la suma de la serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Accepted Answer

2

Answer

$\infty$

Answer

1

Answer

$\frac{1}{2}$

Question 39

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$?

Accepted Answer

Es divergente.

Answer

Es convergente absolutamente.

Answer

Es convergente.

Answer

Es convergente condicionalmente.

Question 40

Utilice el criterio de la razón para determinar si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ es convergente o divergente.

Accepted Answer

Convergente

Answer

Convergente condicionalmente

Answer

Convergente absolutamente

Answer

Divergente

Question 41

Determine la convergencia o divergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$.

Accepted Answer

Convergente absolutamente

Answer

Convergente condicionalmente

Answer

Convergente

Answer

Divergente

Question 42

Encuentre la función a la que converge la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ dentro de su intervalo de convergencia.

Accepted Answer

$\frac{1}{1-x}$

Answer

$\frac{x}{1-x}$

Answer

$\frac{x}{1+x}$

Answer

$\frac{1}{1+x}$

Question 43

¿Cuál es el intervalo de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}$?

Accepted Answer

$-1 < x \leq 1$

Answer

$-1 \leq x \leq 1$

Answer

$-1 < x < 1$

Answer

$-\infty < x < \infty$

Question 44

Utilice el criterio de la raíz para determinar la convergencia o divergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$.

Accepted Answer

Divergente

Answer

Convergente absolutamente

Answer

Convergente

Answer

Convergente condicionalmente