Aplicaciones de los Espacios Vectoriales Normados: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

¿Cuál de los siguientes ejemplos ilustra mejor la aplicación de los espacios vectoriales normados en el campo del análisis funcional?

Accepted Answer

Estudiar operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales parciales

Answer

Optimizar funciones no lineales

Question 2

¿Cuál de las siguientes condiciones es esencial para garantizar la convergencia de una sucesión en un espacio vectorial normado?

Accepted Answer

Que la sucesión sea de Cauchy

Answer

Que la sucesión esté acotada

Answer

Que la sucesión sea periódica

Answer

Que la sucesión sea monótona

Question 3

Entre las siguientes propiedades, ¿cuál caracteriza a un espacio vectorial normado completo?

Accepted Answer

Todas las sucesiones de Cauchy en el espacio convergen

Answer

El espacio es separable

Answer

El espacio es de dimensión finita

Question 4

En una aplicación de análisis numérico, ¿qué método aprovecha los espacios vectoriales normados para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Método del gradiente conjugado

Answer

Regla de Cramer

Answer

Método de Jacobi

Answer

Factorización LU

Question 5

Entre las siguientes normas, ¿cuál está inducida por un producto escalar en un espacio vectorial?

Accepted Answer

Norma euclidiana

Answer

Norma del infinito

Answer

Norma de la suma

Answer

Norma del máximo

Question 6

Sean dos espacios vectoriales normados E y F con dim(E) = m y dim(F) = n. ¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales de E en F?

Accepted Answer

m x n

Answer

max(m, n)

Answer

min(m, n)

Answer

m + n

Question 7

Considerando el espacio Lp([0, 1]), donde 1 ≤ p < ∞, ¿cuál de las siguientes funciones es una norma en este espacio?

Accepted Answer

||f|| = (∫[0, 1] |f(x)|^p dx)^(1/p)

Answer

||f|| = max{|f(x)| : x ∈ [0, 1]}

Answer

||f|| = ∫[0, 1] |f(x)| dx

Question 8

Sea V un espacio vectorial normado y consideremos el conjunto S = {x ∈ V : ||x|| ≤ 1}. ¿Qué afirmación es verdadera sobre S?

Accepted Answer

S es una bola cerrada

Answer

S es un disco cerrado

Answer

S es una bola abierta

Answer

S es una esfera

Question 9

En el espacio C[0, 1] con la norma del supremo, ¿cuál de las siguientes sucesiones converge?

Accepted Answer

fn(x) = x^n

Answer

fn(x) = sin(nx)

Answer

fn(x) = e^(-nx)

Question 10

Sea T: V → W un operador lineal acotado entre espacios vectoriales normados. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

||T|| = sup{||T(x)|| : x ∈ V, ||x|| = 1}

Answer

||T|| = max{||T(x)|| : x ∈ V}

Answer

||T|| = ||T(0)||

Answer

||T|| = inf{||T(x)|| : x ∈ V, ||x|| ≠ 0}

Question 11

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio vectorial del espacio de funciones continuas en [0, 1] con la norma del supremo?

Accepted Answer

{f ∈ C[0, 1] : f(0) = 0}

Answer

{f ∈ C[0, 1] : f'(0) = 0}

Answer

{f ∈ C[0, 1] : f(1) = 1}

Answer

{f ∈ C[0, 1] : f(x) ≥ 0}

Question 12

En el espacio de Hilbert L^2[0, 1], ¿cuál es el producto interno de las funciones f(x) = x y g(x) = e^x?

Accepted Answer

∫[0, 1] x e^x dx

Answer

∫[0, 1] x^2 e^x dx

Answer

∫[0, 1] |f(x) - g(x)|^2 dx

Answer

∫[0, 1] |f(x) g(x)| dx

Question 13

Sea A una matriz simétrica positiva definida. ¿Cuál es la norma inducida en R^n por el producto interno x^T A x?

Accepted Answer

||x|| = (x^T A x)^(1/2)

Answer

||x|| = max{|x_i| : i = 1, ..., n}

Answer

||x|| = 1

Answer

||x|| = ∑|x_i|

Question 14

Considerando el problema de minimización: min{f(x) : x ∈ C[0, 1], f'(x) = 0}, ¿qué método de optimización se puede utilizar?

Accepted Answer

Cálculo de variaciones

Answer

Programación lineal

Answer

Programación dinámica

Answer

Gradiente descendente

Question 15

En el espacio de Banach E, sea T un operador acotado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es equivalente a la compacidad de T?

Accepted Answer

El conjunto {T(x) : ||x|| ≤ 1} es precompacto

Answer

El conjunto {T(x) : x ∈ E} es acotado

Answer

T es un operador invertible

Answer

T es una aplicación lineal