Combinaciones lineales y dependencia lineal: Test interactivo

Question 1

Entre los siguientes subconjuntos de R^3, ¿cuál es un subespacio vectorial?

Accepted Answer

{(x, y, z) | x + 2y - z = 0}

Answer

{(x, y, z) | xy = 1}

Answer

{(x, y, z) | x^2 + y^2 < 1}

Question 2

Sea A una matriz de orden 3x3 cuyo determinante es 0. ¿Qué se puede decir sobre el rango de A?

Accepted Answer

El rango de A es menor que 3.

Answer

El rango de A es 1.

Answer

El rango de A es 2.

Answer

El rango de A es 3.

Question 3

Supongamos que B es una submatriz de la matriz A. ¿Qué relación existe entre el rango de A y el rango de B?

Accepted Answer

El rango de B es siempre menor o igual que el rango de A.

Answer

El rango de B es siempre mayor o igual que el rango de A.

Answer

El rango de B puede ser mayor o menor que el rango de A dependiendo de la matriz.

Answer

El rango de B es siempre igual al rango de A.

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la dependencia lineal y las bases es **falsa**?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores linealmente independientes puede no ser una base para un espacio vectorial.

Answer

Si un conjunto de vectores es una base, entonces es linealmente independiente.

Answer

Un conjunto de vectores linealmente dependientes no puede ser una base.

Question 5

Sea A una matriz de orden m x n. Si las filas de A son linealmente dependientes, entonces:

Accepted Answer

El rango de A es menor que m.

Answer

El rango de A es mayor que n.

Answer

El rango de A es igual a n.

Answer

El rango de A es igual a m.

Question 6

Sea V un espacio vectorial y sean v1, v2, ..., vn ∈ V. Si {v1, v2, ..., vn} es una base de V, entonces:

Accepted Answer

Todo vector en V puede ser expresado como una combinación lineal **única** de {v1, v2, ..., vn}.

Answer

Solamente algunos vectores en V pueden ser expresados como una combinación lineal de {v1, v2, ..., vn}.

Answer

Todo vector en V puede ser expresado como una combinación lineal de {v1, v2, ..., vn}, pero no necesariamente única.

Question 7

De las siguientes afirmaciones sobre combinaciones lineales, ¿cuál es FALSA?

Accepted Answer

Cualquier combinación lineal de vectores linealmente independientes también es linealmente independiente.

Answer

Una combinación lineal puede expresarse como una suma de vectores multiplicados por escalares.

Answer

Una combinación lineal puede ser un vector nulo.

Answer

La combinación lineal trivial (todos los escalares son cero) siempre es posible.

Question 8

Dados los vectores u = (1, 2, 3) y v = (-1, 0, 1), ¿cuál de los siguientes vectores NO se puede expresar como combinación lineal de u y v?

Accepted Answer

(1, 1, 1)

Answer

(-2, -4, -6)

Answer

(0, 2, 4)

Answer

(3, 6, 9)

Question 9

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si:

Accepted Answer

Al menos uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los demás.

Answer

El conjunto contiene al vector cero.

Answer

Todos los vectores son ortogonales entre sí.

Answer

Todos los vectores son múltiplos escalares entre sí.

Question 10

Determina la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores: (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1).

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

3

Answer

1

Question 11

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una base del espacio vectorial R^2?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 0)}

Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (1, -1)}

Answer

{(2, 1), (1, 2)}

Question 12

Si un conjunto de vectores es linealmente independiente y genera un espacio vectorial V, entonces:

Accepted Answer

El conjunto forma una base de V.

Answer

El conjunto tiene una dimensión menor que V.

Answer

El conjunto no puede contener al vector cero.

Answer

El número de vectores en el conjunto es igual a la dimensión de V + 1.

Question 13

El espacio generado por las columnas de una matriz A se llama:

Accepted Answer

Espacio columna de A.

Answer

Espacio nulo de A.

Answer

Espacio fila de A.

Answer

Rango de A.

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre una combinación lineal de vectores?

Accepted Answer

Es un vector que se puede obtener multiplicando cada vector por un escalar y sumándolos.

Answer

Sólo es un vector que se obtiene por suma de vectores.

Answer

Es un espacio vectorial generado por los vectores.

Answer

Es un conjunto de vectores que no pueden ser expresados como combinación lineal de otros.

Question 15

Si W = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} es un subconjunto de R^2, ¿cuál es la dimensión de W?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 16

¿Qué define una base de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio vectorial.

Answer

Un conjunto de vectores linealmente dependientes que generan el espacio vectorial.

Answer

Un conjunto de vectores que forman un ángulo de 90 grados entre sí.

Answer

Un conjunto de vectores que no generan el espacio vectorial.

Question 17

Dados los vectores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1) y v3 = (1, 0, 1), ¿cuál de los siguientes conjuntos forma una base para R^3?

Accepted Answer

{v1, v2, v3}

Answer

{v1, v2}

Answer

{v2, v3}

Answer

{v1, v3}

Question 18

Si V es un espacio vectorial de dimensión n y S es un conjunto de n vectores linealmente independientes, ¿qué se puede afirmar sobre S?

Accepted Answer

S es una base de V.

Answer

S es linealmente dependiente.

Answer

S no genera V.

Answer

S no contiene el vector cero.

Question 19

Dados los vectores v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 4, 6) y v3 = (3, 6, 9), ¿el conjunto {v1, v2, v3} es linealmente dependiente?

Accepted Answer

Sí

Answer

No se puede determinar.

Answer

Depende del escalar.

Answer

No

Question 20

Si W es un subespacio de R^4 con dimensión 2, ¿cuántos vectores tiene una base de W?

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

Infinito

Answer

3

Question 21

Dados los vectores v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1) y v3 = (1, 1, 2), ¿cuál de los siguientes conjuntos forma una base para el espacio vectorial generado por {v1, v2, v3}?

Accepted Answer

{v1, v2}

Answer

{v1, v2, v3}

Answer

{v1, v3}

Answer

{v2, v3}

Question 22

Si V es un espacio vectorial finito con una base de n vectores, ¿cuál es la dimensión de V?

Accepted Answer

n

Answer

Mayor que n

Answer

No se puede determinar.

Answer

Menor que n

Question 23

Dados los vectores u = (1, 2, 3) y v = (4, 5, 6), ¿cuál de las siguientes expresiones representa una combinación lineal de u y v?

Accepted Answer

2u + 3v

Answer

u + v + 1

Answer

u - v

Answer

u * v

Question 24

Si los vectores u, v y w son linealmente dependientes, ¿qué se puede afirmar sobre ellos?

Accepted Answer

Al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros.

Answer

La suma de los tres vectores es el vector cero.

Answer

Los tres vectores son paralelos.

Answer

Los tres vectores son ortogonales.

Question 25

Dados los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) y w = (1, 1, 0), ¿son linealmente independientes?

Accepted Answer

Sí, son linealmente independientes.

Answer

No, porque w puede expresarse como una combinación lineal de u y v.

Answer

No, porque una combinación lineal no trivial de los vectores es igual al vector cero.

Answer

No, porque la longitud (norma) de cada vector es diferente.

Question 26

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores forma una base para el espacio vectorial R³?

Accepted Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3) }

Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) }

Answer

{ (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }

Question 27

Si un espacio vectorial tiene una base formada por n vectores, ¿cuál es su dimensión?

Accepted Answer

n

Answer

n²

Answer

n + 1

Answer

n - 1

Question 28

Determina la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (4, 5, 6).

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

Infinita

Question 29

Sea V un espacio vectorial de dimensión 4. ¿Cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes que pueden pertenecer a V?

Accepted Answer

4

Answer

5

Answer

3

Answer

Infinito

Question 30

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre las combinaciones lineales?

Accepted Answer

La suma de dos combinaciones lineales es también una combinación lineal.

Answer

El producto de dos combinaciones lineales es siempre un vector nulo.

Answer

Toda combinación lineal es un vector no nulo.

Answer

Las combinaciones lineales solo pueden realizarse con vectores linealmente independientes.

Question 31

Sean u y v dos vectores linealmente independientes. ¿Cuál de los siguientes vectores es linealmente dependiente de u y v?

Accepted Answer

2u + 3v

Answer

u * v (producto escalar)

Answer

u + v

Answer

u - v

Question 32

Dado el conjunto de vectores { (1, 0), (0, 1), (1, 1) }, ¿qué se puede afirmar sobre su independencia lineal?

Accepted Answer

Son linealmente dependientes, ya que el tercer vector es la suma de los dos primeros.

Answer

Son ortogonales.

Answer

No se puede determinar sin más información.

Answer

Son linealmente independientes.