Espacios de Banach y Hilbert: Conceptos y Aplicaciones en Análisis Matemático

Question 1

En un espacio de Hilbert, ¿qué representa el producto interno de dos vectores?

Accepted Answer

Un número complejo que mide su similitud.

Answer

Una función que calcula su distancia.

Answer

Un vector que indica su dirección relativa.

Answer

Una matriz que describe su relación lineal.

Question 2

¿Cuál es la definición de la norma en un espacio de Banach?

Accepted Answer

Una función que asigna a cada vector un número positivo que mide su magnitud.

Answer

Una matriz que representa la transformación del vector.

Answer

Un operador que actúa sobre el vector.

Answer

Un vector que indica la dirección del vector.

Question 3

¿Qué propiedad distingue a un espacio de Hilbert de otros espacios normados?

Accepted Answer

Posee un producto interno definido positivo.

Answer

Es un espacio vectorial de dimensión finita.

Answer

Es un espacio métrico compacto.

Answer

Tiene una topología discreta.

Question 4

Enuncia la desigualdad de Cauchy-Schwarz para espacios de Hilbert.

Accepted Answer

El producto interno de dos vectores es menor o igual que el producto de sus normas.

Answer

El producto interno de dos vectores es mayor que el producto de sus normas.

Answer

La norma de un vector es igual al producto interno de sí mismo.

Question 5

¿Qué afirmación es cierta sobre un espacio de Hilbert separable?

Accepted Answer

Posee una base ortonormal contable.

Answer

Es un espacio compacto.

Answer

Tiene una dimensión finita.

Answer

Es homeomorfo a un espacio de Banach.

Question 6

¿Qué propiedad tiene el operador adjunto de un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert?

Accepted Answer

También es un operador lineal acotado.

Answer

Es una matriz invertible.

Answer

Es una función lineal.

Answer

Es un operador lineal no acotado.

Question 7

¿Cuál es el enunciado del teorema espectral para operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert?

Accepted Answer

Todo operador autoadjunto puede representarse como una integral de operadores de proyección.

Answer

Todo operador autoadjunto es un operador unitario.

Answer

Todo operador autoadjunto tiene un espectro discreto.

Question 8

¿Qué afirma el teorema de Hahn-Banach para espacios de Banach?

Accepted Answer

Todo funcional lineal acotado en un subespacio cerrado puede extenderse a un funcional lineal acotado en todo el espacio.

Answer

Todo funcional lineal continuo en un subespacio cerrado es único.

Answer

Todo funcional lineal acotado en un espacio de Banach es continuo.

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define un espacio de Hilbert?

Accepted Answer

Espacio vectorial normado completo con producto interno definido.

Answer

Espacio vectorial con base ortonormal.

Answer

Espacio topológico con distancia definida.

Question 10

Enuncia la desigualdad de Cauchy-Schwarz para espacios de Hilbert.

Accepted Answer

|(<x,y>)| ≤ ||x||·||y||

Answer

||x·y|| = ||x||·||y||

Answer

||x - y|| ≥ ||x|| - ||y||

Answer

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

Question 11

Define una base ortonormal en un espacio de Hilbert.

Accepted Answer

Conjunto de vectores linealmente independientes con producto interno unidad.

Answer

Conjunto finito de vectores con producto interno unidad.

Answer

Conjunto de vectores linealmente dependientes con producto interno no nulo.

Question 12

Enuncia el teorema de representación de Riesz para espacios de Hilbert.

Accepted Answer

Todo funcional lineal acotado puede representarse mediante un vector.

Answer

Todo operador lineal acotado puede representarse mediante una matriz.

Answer

Todo vector puede representarse mediante un funcional lineal acotado.

Question 13

¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que un espacio de Banach sea un espacio de Hilbert?

Accepted Answer

Su norma se deriva de un producto interno.

Answer

Es un espacio vectorial de dimensión finita.

Answer

Todo vector tiene norma igual a 1.

Answer

Es completo respecto a la métrica inducida por la norma.

Question 14

Indica la descomposición en valores singulares de un operador compacto en un espacio de Hilbert.

Accepted Answer

UΣV*

Answer

XYZ

Answer

QRT

Answer

AλB

Question 15

Enuncia el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos en un espacio de Hilbert.

Accepted Answer

El espectro es un conjunto discreto de valores propios.

Answer

El espectro es un conjunto finito.

Answer

El espectro es un intervalo cerrado.

Question 16

En un espacio de Banach X, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Accepted Answer

Toda sucesión de Cauchy en X converge en X

Answer

Solo las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy

Answer

Una sucesión de Cauchy puede tener más de un límite

Question 17

Un espacio de Hilbert H se caracteriza por:

Accepted Answer

Poseer un producto interno que induce una norma y lo hace completo

Answer

Tener una base ortonormal

Answer

Ser un espacio vectorial real de dimensión finita

Question 18

En un espacio de Hilbert H, el operador identidad:

Accepted Answer

Es un operador acotado

Answer

No es un operador lineal

Answer

Es un operador compacto

Question 19

Un subespacio cerrado de un espacio de Banach X:

Accepted Answer

Es también un espacio de Banach

Answer

Puede no ser un espacio normado

Answer

Es necesariamente un subespacio denso

Question 20

En un espacio de Hilbert H, la norma inducida por el producto interno:

Accepted Answer

Es una norma de Hilbert

Answer

Es una norma de Banach pero no de Hilbert

Answer

No es una norma

Question 21

El espacio dual de un espacio de Banach X:

Accepted Answer

Es también un espacio de Banach

Answer

Es un espacio de Hilbert

Answer

No es necesariamente un espacio vectorial

Question 22

En un espacio de Banach X, la convergencia débil:

Accepted Answer

Es más débil que la convergencia fuerte

Answer

Es equivalente a la convergencia fuerte

Answer

Solo se aplica a sucesiones acotadas

Question 23

La desigualdad de Bessel en un espacio de Hilbert H establece que:

Accepted Answer

|⟨x, y⟩|² ≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩

Answer

|⟨x, y⟩|² = ⟨x, x⟩⟨y, y⟩

Answer

|⟨x, y⟩|² ≥ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩

Question 24

Un espacio vectorial normado es un espacio de Banach si y solo si es completo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **FALSA**?

Accepted Answer

Todo espacio vectorial normado es un espacio de Banach.

Answer

La norma en un espacio vectorial normado define una distancia.

Answer

Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado completo.

Question 25

El espacio (C[0,1]) de funciones continuas en el intervalo [0,1] con la norma del supremo (||f||_∞ = sup_{x ∈ [0,1]} |f(x)|) es un espacio de Banach. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **VERDADERA**?

Accepted Answer

(C[0,1]) es un espacio de Banach.

Answer

(C[0,1]) no es un espacio vectorial.

Answer

(C[0,1]) no es completo con la norma (||f||_∞).

Answer

(C[0,1]) no es un espacio normado.

Question 26

Un espacio de Hilbert es un espacio de Banach con un producto interno que induce la norma. ¿Qué propiedad **NO** cumple necesariamente un espacio de Hilbert?

Accepted Answer

Es finito-dimensional.

Answer

Es un espacio de Banach.

Answer

La norma está definida a partir del producto interno.

Answer

Tiene un producto interno definido.

Question 27

Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert es también un espacio de Hilbert con el producto interno heredado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **VERDADERA**?

Accepted Answer

(S) es también un espacio de Hilbert con el producto interno heredado de (H).

Answer

(S) no es completo con la norma inducida por el producto interno.

Answer

(S) no es un espacio vectorial.

Question 28

El espacio (L²[0,1]) de funciones de cuadrado integrable en el intervalo [0,1] con el producto interno = ∫₀¹ f(x)g(x) dx es un espacio de Hilbert. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **FALSA**?

Accepted Answer

(L²[0,1]) no es un espacio de Hilbert.

Answer

(L²[0,1]) es completo con la norma inducida por el producto interno.

Answer

(L²[0,1]) es un espacio vectorial.

Answer

(L²[0,1]) es un espacio de Banach.

Question 29

En un espacio de Hilbert (H), la norma inducida por el producto interno se define como ||x|| = √<x,x>. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la norma inducida por el producto interno?

Accepted Answer

(||x|| = √<x, x>)

Answer

(||x|| = |<x, y>|)

Answer

(||x|| = <x, y>)

Question 30

El Teorema de la proyección ortogonal garantiza la existencia de una proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert. ¿Qué teorema garantiza la existencia de una proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado (S)?

Accepted Answer

Teorema de la proyección ortogonal.

Answer

Teorema de la representación de Riesz.

Answer

Teorema de Hahn-Banach.

Answer

Teorema de Riesz-Fréchet.

Question 31

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que |<x, y>| ≤ ||x|| ||y|| para vectores x e y en un espacio de Hilbert. ¿Cuál de las siguientes desigualdades representa la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Accepted Answer

(|<x, y>| ≤ ||x|| ||y||)

Answer

(||x + y||² ≤ ||x||² + ||y||²)

Answer

(|<x, y>| ≥ ||x|| ||y||)

Answer

(||x + y||² = ||x||² + ||y||²)

Question 32

En el espacio de Hilbert (L²[0,1]), la proyección ortogonal de la función f(x) = x sobre el subespacio generado por la función constante g(x) = 1 es 1/2. ¿Cuál es la proyección ortogonal del vector (f(x) = x) sobre el subespacio generado por la función constante (g(x) = 1)?

Accepted Answer

(rac{1}{2})

Answer

(x)

Answer

(rac{1}{4})

Answer

(1)

Question 33

En un espacio de Hilbert, dos vectores son ortogonales si su producto interno es cero. ¿Qué propiedad define la ortogonalidad entre dos vectores?

Accepted Answer

Su producto interno es cero.

Answer

Su norma es igual.

Answer

Son linealmente dependientes.

Question 34

Sea $X$ un espacio normado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **FALSA**?

Accepted Answer

Toda sucesión de Cauchy en $X$ converge.

Answer

La norma en $X$ es una función continua.

Answer

Todo espacio normado es un espacio métrico.

Answer

Todo subespacio cerrado de $X$ es un espacio normado.

Question 35

Sea $H$ un espacio de Hilbert. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **VERDADERA**?

Accepted Answer

El producto interno en $H$ induce una norma.

Answer

El producto interno en $H$ es lineal en la segunda entrada.

Answer

Todo espacio normado es un espacio de Hilbert.

Question 36

Sea $X$ un espacio normado. ¿Cuál de las siguientes condiciones **NO** es suficiente para que $X$ sea un espacio de Banach?

Accepted Answer

Toda sucesión convergente en $X$ es acotada.

Answer

Todo subespacio cerrado de $X$ es completo.

Answer

Toda sucesión de Cauchy en $X$ converge.

Answer

Toda serie absolutamente convergente en $X$ converge.

Question 37

Sea $H$ un espacio de Hilbert. ¿Cuál es la **desigualdad de Cauchy-Schwarz** para $x, y in H$?

Accepted Answer

$|<x, y>| leq ||x|| ||y||$

Answer

$||x + y||^2 = ||x||^2 + 2<x, y> + ||y||^2$

Answer

$||x + y|| leq ||x|| + ||y||$

Answer

$||x - y||^2 = ||x||^2 - 2<x, y> + ||y||^2$

Question 38

Sea $X = C[0, 1]$ el espacio de las funciones continuas en $[0, 1]$ con la norma $||f||_infty = max_{x in [0, 1]} |f(x)|$. ¿Es $X$ un espacio de Banach?

Accepted Answer

Sí, $X$ es un espacio de Banach.

Answer

No, $X$ no es un espacio de Banach porque no es completo.

Answer

No, $X$ no es un espacio de Banach porque no es normado.

Answer

No, $X$ no es un espacio de Banach porque no es un espacio vectorial.

Question 39

Sea $H = L^2(0, 1)$ el espacio de las funciones cuadrado-integrables en $(0, 1)$ con el producto interno $<f, g> = int_0^1 f(x)g(x) dx$. ¿Es $H$ un espacio de Hilbert?

Accepted Answer

Sí, $H$ es un espacio de Hilbert.

Answer

No, $H$ no es un espacio de Hilbert porque no es un espacio vectorial.

Answer

No, $H$ no es un espacio de Hilbert porque no es completo.

Answer

No, $H$ no es un espacio de Hilbert porque no es normado.

Question 40

Sea $X$ un espacio normado y $Y$ un subespacio cerrado de $X$. ¿Es $Y$ un espacio de Banach?

Accepted Answer

Sí, $Y$ es un espacio de Banach.

Answer

No, $Y$ no es un espacio de Banach porque no es completo.

Answer

No, $Y$ no es un espacio de Banach porque no es normado.

Answer

No se puede determinar si $Y$ es un espacio de Banach sin más información.

Question 41

Sea $H$ un espacio de Hilbert. ¿Cuál es la **proyección ortogonal** de un vector $x in H$ sobre un subespacio cerrado $M subset H$?

Accepted Answer

El vector $y in M$ que minimiza la distancia $||x - y||$

Answer

El vector $y in M$ que es ortogonal a $x$

Answer

El vector $y in M$ que es paralelo a $x$

Question 42

Sea $X$ un espacio normado. ¿Cuál es la **dualidad** de $X$?

Accepted Answer

El espacio de todos los funcionales lineales acotados en $X$

Answer

El espacio de todos los funcionales lineales en $X$

Answer

El espacio de todos los operadores lineales acotados en $X$

Question 43

Sea $H$ un espacio de Hilbert. ¿Qué teorema garantiza la existencia de una base ortonormal para $H$?

Accepted Answer

Teorema de representación de Riesz

Answer

Teorema de la proyección ortogonal

Answer

Teorema de Hahn-Banach

Answer

Teorema de la aplicación abierta