Transformaciones lineales: definición y propiedades

Question 1

Identifique la definición correcta de una transformación lineal T: V -> W:

Accepted Answer

Función que conserva las operaciones aditiva y de multiplicación por escalar.

Answer

Función invertible.

Answer

Función continua en todo su dominio.

Question 2

Si T: V -> V es una transformación lineal que conmuta con todas las demás transformaciones lineales en V, ¿qué tipo de transformación es T?

Accepted Answer

Escalar

Answer

Antisimétrica

Answer

Simétrica

Answer

Ortogonal

Question 3

Sea T: V -> V una transformación lineal que es idempotente (T^2 = T). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Accepted Answer

T puede ser un proyector ortogonal o una transformación de identidad.

Answer

T es una transformación unitaria.

Answer

T es invertible.

Answer

T es necesariamente diagonalizable.

Question 4

Sea T: V -> V una transformación lineal que satisface T^2 = 0. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es válida?

Accepted Answer

T es nilpotente.

Answer

T es una transformación unitaria.

Answer

T es diagonalizable.

Answer

T es invertible.

Question 5

¿Cuál es el núcleo de la transformación T: R^2 -> R^3 dada por T(x, y) = (x, 2y, x + y)?

Accepted Answer

{(0, 0)}

Answer

{(0, y) | y ∈ R}

Answer

{(x, 0) | x ∈ R}

Answer

El núcleo es el subespacio generado por {(1, 0), (0, 1)}

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las transformaciones lineales es falsa?

Accepted Answer

Toda transformación lineal es invertible.

Answer

La composición de dos transformaciones lineales es una transformación lineal.

Answer

La imagen de una transformación lineal es un subespacio.

Answer

El núcleo de una transformación lineal es siempre un subespacio.

Question 7

Sea T: R^n -> R^m una transformación lineal. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es equivalente a decir que T es suryectiva?

Accepted Answer

El rango de T es igual a m.

Answer

La imagen de T es un subespacio de R^n.

Answer

T es invertible.

Answer

El núcleo de T es trivial.