Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales: Cálculo para Ingeniería Industrial

Question 1

Una ecuación diferencial que describe la velocidad de crecimiento de una población es:

Accepted Answer

dP/dt = kP

Answer

d²P/dt² = -kP

Answer

d²P/dt² = kP

Answer

dP/dt = -kP

Question 2

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 4y = 0 es:

Accepted Answer

y = Acos(2t) + Bsen(2t)

Answer

y = A + Bt

Answer

y = Ae^2t + Be^(-2t)

Question 3

La ecuación diferencial que modela el circuito RL es:

Accepted Answer

L(di/dt) + Ri = V

Answer

C(dv/dt) + Ri = V

Answer

LC(d²i/dt²) + Ri = V

Answer

RC(d²v/dt²) + Ri = V

Question 4

¿Cuál es la condición inicial para resolver la ecuación diferencial y' + y = 2?

Accepted Answer

y(0) = a

Answer

y''(0) = a

Answer

y'(0) = a

Answer

y(a) = 0

Question 5

La ecuación diferencial que describe el movimiento de un resorte masa-amortiguador es:

Accepted Answer

mx'' + bx' + kx = 0

Answer

bx' + kx = 0

Answer

mx'' - bx' + kx = 0

Answer

mx'' + kx = 0

Question 6

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales representa el crecimiento exponencial?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = -ky

Answer

y'' = -ky

Answer

y'' = ky

Question 7

La transformada de Laplace de la función y = e^(-at) es:

Accepted Answer

Y(s) = 1/(s + a)

Answer

Y(s) = s/(s + a)

Answer

Y(s) = s/(s - a)

Answer

Y(s) = 1/(s - a)

Question 8

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales modela el crecimiento poblacional con una tasa de crecimiento proporcional al tamaño de la población?

Accepted Answer

dy/dt = ky

Answer

dy/dt = k/y

Answer

dy/dt = y / k

Question 9

Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea con aceleración constante 'a'. ¿Cuál es su ecuación de velocidad?

Accepted Answer

v(t) = a*t + C

Answer

v(t) = a/t + C

Answer

v(t) = a*t^2 + C

Question 10

Una población se ve afectada por una epidemia que propaga una enfermedad. El número de individuos infectados en función del tiempo sigue la ecuación diferencial:

Accepted Answer

dI/dt = r * I(N - I)

Answer

dI/dt = r * (N - I)^2

Answer

dI/dt = r * I * N

Answer

dI/dt = I(N - r)

Question 11

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las ecuaciones diferenciales parciales?

Accepted Answer

Modelado del flujo de calor en un sólido

Answer

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Answer

Integración de funciones trigonométricas

Answer

Optimización de funciones

Question 12

Una cuerda elástica con densidad lineal constante está sujeta por sus extremos y vibrando libremente. La ecuación diferencial que describe su movimiento es:

Accepted Answer

∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²

Answer

∂u/∂t = c ∂u/∂x

Answer

∂²u/∂x² = k ∂u/∂t

Question 13

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias?

Accepted Answer

Método de separación de variables

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Factorización de polinomios

Answer

Regla de L'Hôpital

Question 14

La ecuación diferencial y' + py = q, donde p y q son funciones continuas, se denomina ecuación diferencial:

Accepted Answer

Lineal de primer orden

Answer

Lineal de segundo orden

Answer

No lineal de primer orden

Answer

No lineal de segundo orden

Question 15

La transformación de Laplace de la función f(t) = t^2 es:

Accepted Answer

2!/s^3

Answer

1/s^2

Answer

2!/s^2

Answer

2s^2

Question 16

La ecuación diferencial y'' + ω^2y = F(t), donde ω es una constante y F(t) es una función forzante, se conoce como:

Accepted Answer

Ecuación diferencial forzada

Answer

Ecuación diferencial no lineal

Answer

Ecuación diferencial lineal

Answer

Ecuación diferencial homogénea

Question 17

El método de variación de parámetros es un método para resolver:

Accepted Answer

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden

Answer

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden

Answer

Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden

Question 18

La serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [-π, π] es:

Accepted Answer

a0 + ∑(n=1,∞)[an cos(nπx/π) + bn sen(nπx/π)]

Answer

a0 + ∑(n=1,∞)[an sen(nπx/π) + bn cos(nπx/π)]

Answer

∑(n=0,∞)[an cos(nπx/π) + bn sen(nπx/π)]

Question 19

Un depósito de agua tiene forma de cono invertido con una altura de 10 metros y un radio de la base de 5 metros. Si el depósito se llena con agua a una velocidad de 2 m³/min, ¿cuál es la velocidad a la que aumenta el nivel del agua cuando el nivel alcanza los 4 metros?

Accepted Answer

0,05 m/min

Answer

0,2 m/min

Answer

0,025 m/min

Answer

0,1 m/min

Question 20

Una población de bacterias crece a una tasa proporcional a su tamaño. Si la población inicial es de 1000 bacterias y se duplica en 10 horas, ¿cuál es la constante de proporcionalidad  (k) en el modelo de crecimiento exponencial?

Accepted Answer

0,0693

Answer

0,0347

Answer

0,1

Answer

0,2

Question 21

Un resorte con una constante elástica de 100 N/m tiene una masa de 0,5 kg unida a su extremo. El resorte se estira inicialmente 1 metro y luego se suelta. ¿Cuál es la ecuación de movimiento de la masa considerando la ley de Hooke y la segunda ley de Newton?

Accepted Answer

y'' + 20y = 0

Answer

y'' - 20y = 0

Answer

y'' + 10y = 0

Answer

y'' - 10y = 0

Question 22

Una barra de longitud L tiene una temperatura de 0 °C en un extremo y 100 °C en el otro. La ecuación diferencial que describe la distribución de temperatura a lo largo de la barra en estado estacionario (sin cambios en el tiempo) es:

Accepted Answer

u''(x) = 0

Answer

u''(x) = u(x)

Answer

u''(x) = 100

Answer

u''(x) = -100

Question 23

La ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0 tiene como solución general:

Accepted Answer

y(x) = c₁e^(2x) + c₂xe^(2x)

Answer

y(x) = c₁e^(4x) + c₂e^(-4x)

Answer

y(x) = c₁cos(4x) + c₂sen(4x)

Answer

y(x) = c₁cos(2x) + c₂sen(2x)

Question 24

La ecuación diferencial y' + y = sen(x) tiene como solución particular:

Accepted Answer

y(x) = (1/2)sen(x) - (1/2)cos(x)

Answer

y(x) = cos(x)

Answer

y(x) = -sen(x)

Answer

y(x) = sen(x)

Question 25

La transformada de Laplace de la función f(t) = t² es:

Accepted Answer

2/s³

Answer

s³/2

Answer

s²/3

Answer

1/s³

Question 26

La ecuación integral de Volterra de primera especie es:

Accepted Answer

f(x) = g(x) + λ∫[0,x] K(x,t)f(t)dt

Answer

f(x) = g(x) + λ∫[x,0] K(x,t)f(t)dt

Answer

f(x) = g(x) - λ∫[x,0] K(x,t)f(t)dt

Answer

f(x) = g(x) - λ∫[0,x] K(x,t)f(t)dt

Question 27

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales modela la ley de enfriamiento de Newton, donde y(t) es la temperatura del objeto en el tiempo t, Tm es la temperatura ambiente y k es una constante de proporcionalidad?

Accepted Answer

dy/dt = -k(y - Tm)

Answer

d^2y/dt^2 = -k(y - Tm)

Answer

d^2y/dt^2 = k(y - Tm)

Answer

dy/dt = k(y - Tm)

Question 28

Una población de bacterias crece exponencialmente. Si la población inicial es de 100 bacterias y se duplica cada hora, ¿cuál será la población después de 5 horas?

Accepted Answer

3200

Answer

1600

Answer

1200

Answer

500

Question 29

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales representa la ley de Hooke para un resorte con constante de elasticidad k?

Accepted Answer

d²y/dt² + ky = 0

Answer

dy/dt - ky = 0

Answer

d²y/dt² - ky = 0

Answer

dy/dt + ky = 0

Question 30

Una partícula se mueve a lo largo de una recta con velocidad v(t) = t³ - 2t² + 3. ¿Cuál es la aceleración de la partícula en el instante t = 2?

Accepted Answer

6

Answer

4

Answer

0

Answer

8

Question 31

Una cuerda de longitud L está fija en ambos extremos y vibra con una frecuencia fundamental f. ¿Cuál es la frecuencia del tercer armónico?

Accepted Answer

3f

Answer

f/3

Answer

f/4

Answer

2f

Question 32

¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza que una ecuación diferencial de segundo orden tenga una solución periódica?

Accepted Answer

La ecuación debe ser lineal y homogénea con coeficientes constantes.

Answer

La ecuación debe ser no lineal e inhomogénea.

Answer

La ecuación debe ser lineal e inhomogénea.

Answer

La ecuación debe ser no lineal y homogénea.

Question 33

Una reacción química de primer orden tiene una constante de velocidad de k = 0,02 min⁻¹. Si la concentración inicial del reactante es de 1 M, ¿qué concentración quedará después de 100 minutos?

Accepted Answer

0,135 M

Answer

0,543 M

Answer

0,271 M

Answer

0,067 M

Question 34

¿Cuál de los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales modela el flujo de calor en una barra unidimensional?

Accepted Answer

Ecuación de difusión

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de ondas

Answer

Ecuación de Laplace

Question 35

Una ecuación diferencial de primer orden y de grado dos es aquella cuya forma es:

Accepted Answer

y'' = f(x, y, y')

Answer

y'' = f(x, y')

Answer

y' = f(x, y)

Answer

y' = f(y, y')

Question 36

La ecuación diferencial que describe el crecimiento de una población con una tasa de crecimiento proporcional a la población es:

Accepted Answer

y' = k·y

Answer

y' = k/y

Answer

y' = k·y²

Answer

y'' = k·y

Question 37

La transformada de Laplace de la función f(t) = sen(at) es:

Accepted Answer

F(s) = a/(s² + a²)

Answer

F(s) = s/(s - a)

Answer

F(s) = s/(s² + a²)

Answer

F(s) = a/(s - a)

Question 38

La ecuación integral de Volterra de segunda especie es una ecuación del tipo:

Accepted Answer

y(x) = f(x) + λ∫[a,x]K(x,t)·y(t)dt

Answer

y(x) = f(x) + λ∫[a,b]K(t,x)·y(t)dt

Answer

y(x) = f(x) - λ∫[x,b]K(x,t)·y(t)dt

Answer

y(x) = f(x) - λ∫[x,b]K(t,x)·y(t)dt