Definición de Serie: Concepto y Criterios de Convergencia

Question 1

Define una serie.

Accepted Answer

Una suma de términos indefinidos.

Answer

Una sucesión de números.

Answer

Una función.

Answer

Una suma de términos finitos.

Question 2

¿Qué criterio de convergencia de series es el más sencillo de aplicar?

Accepted Answer

Criterio de la comparación.

Answer

Criterio de la raíz.

Answer

Criterio de Cauchy.

Answer

Criterio del límite.

Question 3

Enuncia el criterio del límite para series.

Accepted Answer

Una serie converge si el límite de la sucesión de términos tiende a cero.

Answer

Una serie converge si la sucesión de términos es monótona.

Answer

Una serie converge si el límite de la sucesión de términos es un número finito.

Answer

Una serie converge si la sucesión de términos es acotada.

Question 4

Formula el criterio de la raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.

Accepted Answer

Una serie converge absolutamente si el límite de la raíz enésima del valor absoluto del término general tiende a menos de 1.

Answer

Una serie converge absolutamente si el límite de la raíz enésima del valor absoluto del término general tiende a más de 1.

Answer

Una serie converge absolutamente si el límite de la raíz enésima del término general tiende a cero.

Question 5

Define una serie alternada.

Accepted Answer

Una serie cuyos términos alternan entre positivos y negativos.

Answer

Una serie cuyos términos son todos negativos.

Answer

Una serie cuyos términos son todos positivos.

Answer

Una serie cuyos términos son todos iguales.

Question 6

Enuncia el criterio de Leibniz para series alternadas.

Accepted Answer

Una serie alternada converge si los términos decrecen en valor absoluto y tienden a cero.

Answer

Una serie alternada converge si los términos aumentan en valor absoluto.

Answer

Una serie alternada converge si los términos son constantes.

Question 7

¿Qué es una serie?

Accepted Answer

La suma de los términos de una sucesión.

Answer

La integral de una función en un intervalo.

Answer

Una función que representa una curva.

Answer

El límite de una función cuando tiende a infinito.

Question 8

¿Cuál es la interpretación geométrica de una serie Σ(n=1)^∞ a_n?

Accepted Answer

La suma de las áreas de rectángulos con alturas a_n y base 1.

Answer

El área bajo la curva y = a_n entre 0 y 1.

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la curva y = a_n alrededor del eje x.

Question 9

¿En qué consiste el criterio de la comparación?

Accepted Answer

Si las series Σ(n=1)^∞ |a_n| y Σ(n=1)^∞ |b_n| convergen y |a_n| ≤ |b_n| para todo n, entonces Σ(n=1)^∞ a_n también converge.

Answer

Si lim_(n->∞) a_n / b_n = 0, entonces Σ(n=1)^∞ a_n converge si y solo si Σ(n=1)^∞ b_n converge.

Answer

Si las series Σ(n=1)^∞ a_n y Σ(n=1)^∞ b_n divergen, entonces Σ(n=1)^∞ (a_n + b_n) diverge.

Answer

Si lim_(n->∞) |a_n / b_n| = 1, entonces Σ(n=1)^∞ a_n y Σ(n=1)^∞ b_n convergen o divergen simultáneamente.

Question 10

En una serie alternada Σ(n=1)^∞ (-1)^n a_n, si la serie Σ(n=1)^∞ a_n converge, ¿es posible afirmar que Σ(n=1)^∞ (-1)^n a_n converge?

Accepted Answer

No necesariamente.

Answer

Sí, siempre converge.

Answer

Sí, solo si a_n > 0 para todo n.

Question 11

¿Qué propiedad de convergencia establece que si las series Σ(n=1)^∞ a_n y Σ(n=1)^∞ b_n convergen, entonces la serie Σ(n=1)^∞ (a_n + b_n) converge?

Accepted Answer

La suma de series convergentes también converge.

Answer

La razón de series convergentes converge.

Answer

La diferencia de series convergentes converge.

Answer

El producto de series convergentes converge.

Question 12

De acuerdo con la prueba de la divergencia, si lim_(n->∞) a_n ≠ 0, ¿qué se puede concluir sobre la serie Σ(n=1)^∞ a_n?

Accepted Answer

Diverge.

Answer

Converge.

Answer

No se puede determinar su convergencia o divergencia.

Question 13

¿Cuál de los siguientes criterios para series es el más restrictivo?

Accepted Answer

Criterio de Cauchy.

Answer

Criterio de la comparación.

Answer

Criterio de la raíz.

Answer

Criterio del límite.

Question 14

Si una serie Σ(n=1)^∞ a_n converge, ¿qué se puede decir sobre el comportamiento de a_n?

Accepted Answer

lim_(n->∞) a_n = 0.

Answer

lim_(n->∞) a_n = 1.

Answer

a_n oscila entre valores positivos y negativos.

Answer

La sucesión {a_n} es creciente.

Question 15

Se define una sucesión como la función que asigna al número natural n el valor Un=n^2-1. La serie asociada a esta sucesión es:

Accepted Answer

∑(n^2-1) desde n=1 hasta infinito

Answer

∑1/n^2 desde n=1 hasta infinito

Answer

∑(n^2-2) desde n=1 hasta infinito

Answer

∑n^2 desde n=1 hasta infinito

Question 16

El criterio de la raíz establece que si lim(n->∞) |Un^(1/n)| = L, entonces ∑Un:

Accepted Answer

Converge si L < 1, diverge si L > 1 y no se puede determinar si L = 1

Answer

Converge si L > 1, diverge si L < 1 y no se puede determinar si L = 1

Answer

Converge si L ≤ 1, diverge si L > 1 y no se puede determinar si L = 1

Answer

No converge en ningún caso

Question 17

La serie armónica es:

Accepted Answer

∑(1/n) desde n=1 hasta infinito

Answer

∑(n^2) desde n=1 hasta infinito

Answer

∑n desde n=1 hasta infinito

Answer

∑(1/n^2) desde n=1 hasta infinito

Question 18

La serie geométrica de primer término a y razón r es:

Accepted Answer

∑(ar^n) desde n=0 hasta infinito

Answer

∑(ar^n) desde n=1 hasta infinito

Answer

∑(ar^(n-1)) desde n=1 hasta infinito

Answer

∑(ar^(n+1)) desde n=0 hasta infinito

Question 19

La suma de los primeros n términos de una serie geométrica de primer término a y razón r es:

Accepted Answer

a(1-r^n)/(1-r)

Answer

a(1-r)/(1+r^n)

Answer

a(1+r)/(1-r^n)

Answer

a(1+r^n)/(1+r)

Question 20

Una serie alternada es una serie cuyos términos son:

Accepted Answer

Alternativamente positivos y negativos

Answer

Cero

Answer

Todos negativos

Answer

Todos positivos

Question 21

¿Cuál de las siguientes definiciones describe correctamente el concepto de serie?

Accepted Answer

Una sucesión ordenada de números reales cuyas sumas parciales están bien definidas

Answer

Una progresión aritmética de números enteros con una diferencia común

Answer

Una sucesión de números racionales que converge a un límite

Question 22

Sean las series ∑(n=1 a ∞) a_n y ∑(n=1 a ∞) b_n. ¿Bajo qué condición la suma de ambas series también converge?

Accepted Answer

Ambas series deben converger

Answer

Solo una de las series debe diverger

Answer

Al menos una de las series debe converger

Answer

Ambas series deben diverger

Question 23

¿Qué representa el término general de una serie?

Accepted Answer

La fórmula o expresión algebraica que define cada término de la serie

Answer

El límite de la serie cuando el número de términos tiende a infinito

Answer

La suma de los primeros términos de la serie

Question 24

Indica cuál de las siguientes afirmaciones sobre las series telescópicas es incorrecta:

Accepted Answer

La suma de una serie telescópica siempre es un número positivo

Answer

Las series telescópicas tienen un término general de la forma a_n - a_(n+1)

Answer

La suma de una serie telescópica es igual a la diferencia entre el primer y el último término

Question 25

Identifica la expresión que define una serie:

Accepted Answer

La suma de los términos de una sucesión.

Answer

La integral de una función.

Answer

La diferencia entre dos sucesiones.

Answer

El límite de una función.

Question 26

Dado ∑(k=1 a ∞) (-1)^k, ¿qué interpretación geométrica tiene?

Accepted Answer

Una serie alternada.

Answer

Una serie convergente.

Answer

Una serie divergente.

Answer

Una serie geométrica.

Question 27

¿Cuál de los siguientes es un criterio para determinar la convergencia de una serie?

Accepted Answer

Criterio de la comparación.

Answer

Criterio de continuidad.

Answer

Criterio de derivabilidad.

Answer

Criterio de sumabilidad.

Question 28

Dada la serie ∑(k=1 a ∞) sen(k), determina si es convergente o divergente.

Accepted Answer

Diverge.

Answer

Diverge absolutamente.

Answer

Converge.

Answer

Converge absolutamente.

Question 29

¿Cuál de las siguientes interpretaciones geométricas de una serie es correcta?

Accepted Answer

Suma de áreas de figuras geométricas

Answer

Suma de volúmenes de cuerpos geométricos

Answer

Suma de longitudes de segmentos

Answer

Suma de medidas de ángulos

Question 30

El criterio de comparación establece que si:

Accepted Answer

Una serie converge y sus términos son menores (o iguales) que los de otra, entonces esta también converge

Answer

Una serie es alternada, entonces converge

Answer

Una serie es absolutamente convergente, entonces converge

Answer

Dos series divergen, entonces ambas lo hacen hacia el mismo valor

Question 31

Usa el criterio de la raíz para determinar la convergencia o divergencia de la serie Σ (n^2 + 3) / (n^3 + 2n).

Accepted Answer

Converge

Answer

La serie oscila

Answer

El criterio de la raíz no se puede aplicar

Answer

Diverge

Question 32

¿Cuál de las siguientes expresiones define correctamente una serie?

Accepted Answer

La suma de los términos de una sucesión.

Answer

Un conjunto de elementos ordenados.

Answer

El límite de una función.

Answer

La derivada de una función.

Question 33

¿Cuál de las siguientes expresiones representa el criterio de la raíz?

Accepted Answer

lim_(n→∞)√(|a_n|) < 1

Answer

lim_(n→∞)(a_n+1 / a_n) = 1

Answer

lim_(n→∞)(a_n - a_(n-1)) = 0

Answer

lim_(n→∞)(n*a_n) = 0

Question 34

¿Cuál es el término general de la serie ∑ (3n - 2)?

Accepted Answer

3n - 2

Answer

2

Answer

n

Answer

3

Question 35

Para representar una serie de manera concisa, ¿qué notación se utiliza generalmente?

Accepted Answer

Notación de sumatorio

Answer

Notación de límite

Answer

Notación de integral

Answer

Notación de producto

Question 36

¿Cuál de las siguientes definiciones expresa correctamente el concepto de serie?

Accepted Answer

Suma de los términos de una sucesión indefinida

Answer

Polinomio de grado n

Answer

Conjunto de números enteros

Answer

Suma de los términos de una sucesión finita

Question 37

¿Cuál es el criterio de convergencia que compara una serie con otra serie conocida?

Accepted Answer

Criterio de la comparación

Answer

Criterio del límite

Answer

Criterio de la raíz

Answer

Criterio de Cauchy

Question 38

Dada la serie ∑(n=1 a ∞) 1/n^2, ¿es convergente o divergente según el criterio del límite?

Accepted Answer

Converge

Answer

Diverge

Answer

No se puede determinar sin más información

Answer

La prueba es inconcluyente

Question 39

¿Qué afirma el criterio de la raíz?

Accepted Answer

Si el límite de la raíz enésima del término general es estrictamente menor que 1, la serie es convergente

Answer

Si el límite de la raíz enésima del término general es igual a 1, la serie diverge

Answer

Si el límite de la raíz enésima del término general es mayor que 1, la serie es convergente

Question 40

¿Qué propiedad tienen las series con términos positivos y decrecientes?

Accepted Answer

Convergen

Answer

Divergen

Answer

Dependen del valor del primer término

Answer

La prueba es inconcluyente

Question 41

Dada la serie ∑(n=1 a ∞) (-1)^n / n, indicar si es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente

Accepted Answer

Condicionalmente convergente

Answer

No se puede determinar sin más información

Answer

Absolutamente convergente

Answer

Divergente