Series de potencias: Definición, convergencia y teorema de Taylor

Question 1

Determina el radio de convergencia de la serie de potencias Σ(x^(2n) / (2n)!).

Accepted Answer

∞

Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 2

Determina el radio de convergencia de la serie de potencias Σ(x^n / (n^2 + 2n + 1)).

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

∞

Question 3

Usa el teorema de Taylor para aproximar f(x) = sin(x) en x = π/3, con un error máximo de 0,005.

Accepted Answer

x - x^3/3! + x^5/5!

Answer

x - x/2 + x^2/8 - x^3/48

Answer

x - x^3/3!

Answer

x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!

Question 4

¿Cuál de las siguientes series es una serie de potencias?

Accepted Answer

∑(n=0 a ∞) (2x)^n

Answer

sen(x)

Answer

e^x

Question 5

¿Cuál es el valor del coeficiente de x^3 en el desarrollo de Taylor de la función f(x) = ln(1+x) alrededor de x=0?

Accepted Answer

-1/3

Answer

-1/2

Answer

1/3

Answer

1/2

Question 6

Determina el valor del coeficiente de x^(n-1) en el desarrollo de Taylor de la función f(x) = cos(x) alrededor de x=π/2.

Accepted Answer

(-1)^(n-1)/(2^(n-1)*(n-1)!)

Answer

(-1)^(n-1)*(2^(n-1)*(n-1)!)

Answer

(2^(n-1)*(n-1)!)*(-1)^(n-1)

Answer

(n-1)!(-1)^(n-1)/2^(n-1)

Question 7

Encuentra el valor de la suma ∑(n=0 a ∞) (1/2^n)

Accepted Answer

2

Answer

π

Answer

∞

Answer

0

Question 8

¿Cuál de las siguientes es la serie de potencias que define a la función exponencial?

Accepted Answer

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Answer

$sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Answer

$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

Question 9

¿Cuál de los siguientes es el teorema que garantiza que una función analítica se puede representar mediante una serie de potencias en un entorno de un punto?

Accepted Answer

Teorema de Taylor

Answer

Teorema de Cauchy

Answer

Teorema de Lagrange

Answer

Teorema del Residuo

Question 10

¿Cuál de los siguientes es un criterio para determinar si una serie de potencias es absolutamente convergente?

Accepted Answer

El límite del término general cuando n tiende a infinito es cero

Answer

El límite del término general cuando n tiende a infinito es 1

Answer

El término general de la serie es positivo para todo n

Question 11

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa la función cos(x)?

Accepted Answer

Σ((-1)^n x^(2n)/(2n)!)

Answer

Σ(1/(n! x^n))

Answer

Σ(n! x^n)

Answer

Σ(x^n)

Question 12

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para determinar si una serie de potencias converge uniformemente en un intervalo?

Accepted Answer

Prueba de Weierstrass

Answer

Prueba del límite

Answer

Prueba de la comparación

Answer

Prueba de la integral

Question 13

¿Cuál es la suma de la serie de potencias Σ(x^(2n+1))/(2n+1)?

Accepted Answer

x/(1-x^2)

Answer

x^2/(1-x^2)

Answer

1/(1-x^2)

Answer

(x^3)/(1-x^2)

Question 14

Selecciona la propiedad de las series de potencias:

Accepted Answer

Son analíticas (infinitamente diferenciables) dentro de su radio de convergencia.

Answer

Solo pueden representar funciones polinómicas

Answer

Siempre convergen para cualquier valor de x

Question 15

Dados los dos primeros términos de una serie de potencias, 1 y 1+x, ¿cuál es la función a la que converge esta serie?

Accepted Answer

e^x

Answer

Coseno de x

Answer

Seno de x

Question 16

Determina el radio de convergencia de la serie de potencias Σ(n=0, ∞) (x-1)^n /(2^n)

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Question 17

Dada la serie de potencias Σ(n=0, ∞) (-1)^n x^(2n+1) / (n+1), ¿cuál es su intervalo de convergencia?

Accepted Answer

-1 ≤ x < 1

Answer

Para cualquier valor de x

Answer

0 ≤ x ≤ 2

Answer

-1/2 ≤ x < 1/2

Question 18

¿Cuál de las siguientes funciones NO puede representarse como una serie de potencias?

Accepted Answer

y = x^(1/2)

Answer

y = ln(x)

Answer

y = e^x

Answer

y = cos(x)

Question 19

Dada la serie de potencias Σ(n=0, ∞) (3x)^n, ¿cuál es su intervalo de convergencia?

Accepted Answer

-1/3 ≤ x ≤ 1/3

Answer

Para cualquier valor de x

Answer

0 ≤ x ≤ 2

Answer

-1 ≤ x ≤ 1

Question 20

Utiliza el teorema de Taylor para encontrar el orden de convergencia de la serie de potencias (sum_{k=1}^infty rac{x^k}{k!}).

Accepted Answer

e

Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 21

¿Para qué valor de x la serie ∑(n=0 to ∞) (x-1)^n/n^2 converge?

Accepted Answer

|x-1| < 1

Answer

Para todos los valores de x

Answer

|x-1| = 1

Answer

|x-1| > 1

Question 22

Expande la función f(x) = e^x en una serie de potencias centrada en a = 2.

Accepted Answer

∑(n=0 to ∞) (x-2)^n / n!

Answer

∑(n=1 to ∞) (x-2)^n / (n+1)!

Answer

∑(n=1 to ∞) (x-2)^n / n!

Answer

∑(n=0 to ∞) (x-2)^n / (n+1)!

Question 23

¿Cuál es el término general de la serie de potencias representada por la función f(x) = (1+x)^-1?

Accepted Answer

(-1)^n x^n

Answer

(-1)^n x^(n+1)

Answer

1/x^n

Answer

x^n

Question 24

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las series de potencias es verdadera?

Accepted Answer

Una serie de potencias puede converger para algunos valores de x y divergir para otros.

Answer

Todas las series de potencias convergen para todos los valores de x.

Answer

Todas las series de potencias divergen para todos los valores de x.

Question 25

¿Cuál de las siguientes series de potencias converge para todo valor de x?

Accepted Answer

Σ (x^n) / n!

Answer

Σ n!x^n

Answer

Σ (n^2)x^n

Answer

Σ x^n

Question 26

El radio de convergencia de la serie de potencias Σ (x - 3)^n / 2^n es:

Accepted Answer

2

Answer

Infinito

Answer

1/2

Answer

3

Question 27

La serie de potencias Σ (-1)^n x^(2n) / (2n)! es la representación en serie de Taylor de la función:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Question 28

El polinomio de Taylor de grado 2 para la función f(x) = e^x centrado en x = 0 es:

Accepted Answer

1 + x + x^2 / 2

Answer

1 + x

Answer

1 + x^2 / 2

Answer

x + x^2 / 2

Question 29

Para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias, ¿cuál de los siguientes métodos se utiliza generalmente?

Accepted Answer

Criterio de la razón o criterio de la raíz

Answer

Criterio de la serie alternada

Answer

Criterio de la integral

Answer

Criterio de comparación directa

Question 30

La serie de Maclaurin para la función f(x) = 1 / (1 - x) es:

Accepted Answer

Σ x^n

Answer

Σ x^n / n!

Answer

Σ (-1)^n x^n

Question 31

La serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ converge para:

Accepted Answer

Todos los valores reales de x.

Answer

x > 0.

Answer

x < 0.

Answer

x = 0.

Question 32

Encuentre el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n^2}$.

Accepted Answer

R = 1

Answer

R = ∞

Answer

R = 0

Answer

R = 2

Question 33

La serie de Taylor de la función $f(x) = e^x$ centrada en x = 0 es:

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Question 34

La serie de Maclaurin de la función $f(x) = sin(x)$ es:

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Question 35

La serie de Taylor de la función $f(x) = \frac{1}{1-x}$ centrada en x = 0 es:

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{(2n)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Question 36

Si la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge en x = 2, ¿qué podemos decir sobre su convergencia en x = -2?

Accepted Answer

No podemos determinar la convergencia en x = -2.

Answer

La serie diverge en x = -2.

Answer

La serie también converge en x = -2.

Answer

La serie converge absolutamente en x = -2.

Question 37

Dada la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$, ¿cuál es el intervalo de convergencia?

Accepted Answer

(-∞, ∞)

Answer

(-1, 1)

Answer

[0, 1]

Answer

[-1, 1]

Question 38

La serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ converge a la función:

Accepted Answer

$\frac{1}{1-x}$

Answer

$e^x$

Answer

$cos(x)$

Answer

$sin(x)$

Question 39

Si la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ a_n(x-a)^n converge en x=b, ¿qué se puede decir sobre su convergencia en x=c, donde |c-a| < |b-a|?

Accepted Answer

La serie también converge en x=c.

Answer

La serie diverge en x=c.

Answer

No se puede determinar la convergencia en x=c.

Answer

La serie converge condicionalmente en x=c.

Question 40

Encuentra la serie de Taylor de la función f(x) = e^x centrada en x=0.

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ x^n/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^n/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n)/n!

Question 41

Calcula la suma de la serie ∑_(n=0)^∞ (1/2)^n.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

∞