Métodos Iterativos: Aprende Jacobi, Gauss-Seidel y SOR

Question 1

Un sistema de ecuaciones lineales es **dominante diagonal** si:

Accepted Answer

La suma de los valores absolutos de los elementos no diagonales de cada fila es menor que el valor absoluto del elemento diagonal correspondiente.

Answer

Todos los elementos de la diagonal principal son positivos.

Question 2

El método de Jacobi es un método iterativo que:

Accepted Answer

Calcula cada componente de la solución en la próxima iteración utilizando los valores de la iteración actual.

Answer

Utiliza la matriz inversa para resolver el sistema.

Question 3

El método de Gauss-Seidel se diferencia del método de Jacobi en que:

Accepted Answer

Utiliza los valores actualizados de las componentes ya calculadas en la misma iteración.

Answer

Es un método directo, no iterativo.

Answer

Es siempre más lento que el método de Jacobi.

Question 4

El factor de relajación (ω) en el método SOR se utiliza para:

Accepted Answer

Controlar la velocidad de convergencia ajustando la influencia de las iteraciones anteriores.

Answer

Convertir un sistema no dominante diagonal en uno dominante diagonal.

Answer

Reducir el número de iteraciones necesarias para alcanzar la solución.

Question 5

La condición de convergencia para el método de Gauss-Seidel es que:

Accepted Answer

La matriz del sistema sea diagonalmente dominante.

Answer

El sistema tenga una solución única.

Answer

El determinante de la matriz sea diferente de cero.

Answer

La matriz sea simétrica.

Question 6

Si el factor de relajación (ω) en el método SOR es menor que 1, se dice que el método es:

Accepted Answer

Sub-relajado.

Answer

Sobre-relajado.

Answer

Estable.

Question 7

Una de las ventajas de los métodos iterativos es que:

Accepted Answer

Pueden ser más eficientes en términos de recursos computacionales para sistemas de gran tamaño.

Answer

No requieren que el sistema sea dominante diagonalmente.

Answer

Son siempre más rápidos que los métodos directos.

Question 8

¿Cuál de los siguientes métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales converge siempre para matrices estrictamente dominantes diagonalmente?

Accepted Answer

Método de Jacobi y Método de Gauss-Seidel

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

Solo el método de Jacobi

Answer

Solo el método de Gauss-Seidel

Question 9

El método de Jacobi para resolver Ax = b se puede escribir como:

Accepted Answer

x^(k+1) = D^(-1)(b - (L+U)x^(k))

Answer

x^(k+1) = (D-U)^(-1)(Lx^(k) + b)

Answer

x^(k+1) = D(b - (L+U)x^(k))

Answer

x^(k+1) = (D-L)^(-1)(Ux^(k) + b)

Question 10

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el método de Gauss-Seidel en comparación con el método de Jacobi?

Accepted Answer

Generalmente converge más rápido que el método de Jacobi, especialmente para matrices con una diagonal dominante fuerte.

Answer

Siempre converge, mientras que el método de Jacobi puede no converger.

Answer

Utiliza menos memoria que el método de Jacobi.

Question 11

¿Qué controla el parámetro de relajación (ω) en el método SOR?

Accepted Answer

La velocidad de convergencia del método.

Answer

El número máximo de iteraciones.

Answer

La precisión de la solución

Answer

No afecta al método SOR.

Question 12

Un valor óptimo del parámetro de relajación (ω) en SOR:

Accepted Answer

Acelera la convergencia.

Answer

No tiene efecto en la convergencia.

Answer

Hace que el método diverja.

Answer

Ralentiza la convergencia.

Question 13

Para resolver sistemas lineales dispersos de gran tamaño, ¿qué métodos son más adecuados?

Accepted Answer

Métodos iterativos.

Answer

Factorización LU.

Answer

Eliminación gaussiana.

Answer

Métodos directos.

Question 14

En el método de Jacobi, ¿cuál NO es una condición suficiente para garantizar la convergencia?

Accepted Answer

Matriz de coeficientes simétrica.

Answer

Matriz de coeficientes definida positiva.

Answer

Radio espectral de la matriz de iteración menor que 1.

Answer

Matriz de coeficientes estrictamente diagonalmente dominante.

Question 15

¿Cuál es una ventaja principal de los métodos iterativos sobre los métodos directos para resolver sistemas lineales?

Accepted Answer

Mayor eficiencia para sistemas grandes y dispersos.

Answer

Siempre encuentran una solución exacta.

Answer

Son menos complejos de implementar.

Answer

Son siempre más rápidos.

Question 16

En el contexto de los métodos iterativos, ¿qué es un ciclo?

Accepted Answer

Un conjunto de ecuaciones donde las incógnitas dependen cíclicamente unas de otras.

Answer

Un conjunto de ecuaciones con infinitas soluciones.

Answer

Un tipo especial de matriz.

Answer

Un conjunto de ecuaciones sin solución.

Question 17

Dado un sistema lineal Ax = b con A no singular, ¿qué método iterativo siempre converge si A es estrictamente diagonalmente dominante?

Accepted Answer

Método de Jacobi.

Answer

Ninguno de los anteriores.

Answer

Método de Gauss-Seidel.

Answer

Método SOR.

Question 18

En el método de Gauss-Seidel, ¿cómo se actualizan las soluciones en cada iteración?

Accepted Answer

Usando valores actualizados de componentes ya calculadas en la misma iteración.

Answer

Actualizando todas las componentes simultáneamente.

Answer

Usando valores iniciales.

Answer

Usando valores de la iteración anterior.

Question 19

El método SOR (relajación sobreptima sucesiva) es una variante de Gauss-Seidel que introduce el parámetro de relajación ω. ¿Cuál es el rango válido de valores para ω?

Accepted Answer

0 < ω < 2

Answer

ω > 1

Answer

ω ≤ 1

Answer

ω ≥ 0

Question 20

Dado un sistema lineal con una matriz A de dimensión 5x5, ¿cuántos pasos se requieren para una iteración completa del método de Jacobi?

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

10

Answer

25

Question 21

Si el parámetro de relajación ω en el método SOR es igual a 1, ¿qué método equivale?

Accepted Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método de la secante

Answer

Método de Jacobi

Answer

Método de Newton-Raphson

Question 22

¿Cuál de los siguientes criterios de parada se utiliza comúnmente en los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Norma del error relativo

Answer

Norma de la matriz de coeficientes

Answer

Norma de la solución

Answer

Norma del vector de términos independientes

Question 23

En un sistema de ecuaciones lineales con una matriz A no diagonal dominante, ¿qué método iterativo es más probable que converja?

Accepted Answer

No se puede determinar con certeza.

Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método SOR

Answer

Método de Jacobi

Question 24

Se tiene un sistema de ecuaciones lineales con una matriz A simétrica y definida positiva. ¿Qué método iterativo es generalmente más eficiente para resolver este sistema?

Accepted Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método de Jacobi

Answer

No hay diferencia significativa entre ellos

Answer

Método SOR

Question 25

¿Cuál es la principal ventaja de utilizar el método SOR en comparación con el método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

Posibilidad de acelerar la convergencia con una elección adecuada del parámetro ω.

Answer

Menor número de iteraciones necesarias.

Answer

Mayor precisión en la solución.

Question 26

Se tiene un sistema de ecuaciones lineales con una matriz A que tiene elementos muy pequeños en la diagonal principal. ¿Qué método iterativo es menos adecuado para resolver este sistema?

Accepted Answer

Método de Jacobi

Answer

Método SOR

Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

El método SOR es el menos adecuado