Ecuaciones Diferenciales Parciales de Primer Orden: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Identifica la ecuación diferencial parcial de primer orden de las siguientes opciones:

Accepted Answer

∂u/∂t + c∂u/∂x = 0

Answer

u''(x) + u(x) = 0

Answer

d³u/dt³ + du/dt = 0

Answer

d²u/dx² + d²u/dy² = 0

Question 2

La ecuación del calor describe la distribución de temperatura en un cuerpo. ¿Cuál es su forma general?

Accepted Answer

∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)

Answer

∂²u/∂t² = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)

Answer

∂u/∂t = α(∂u/∂x² - ∂u/∂y²)

Answer

∂u/∂t = α(∂u/∂x + ∂u/∂y)

Question 3

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial parcial de primer orden requiere especificar la condición inicial. ¿Qué información nos proporciona?

Accepted Answer

El valor de la solución en un momento específico.

Answer

El valor de la solución en un punto específico del espacio.

Answer

La derivada de la solución en un momento específico.

Answer

La derivada de la solución en un punto específico.

Question 4

El método de separación de variables se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales. ¿En qué consiste este método?

Accepted Answer

Buscar soluciones de la forma u(x,t) = X(x)T(t).

Answer

Transformar la ecuación en una ecuación diferencial ordinaria.

Answer

Resolver la ecuación para una variable y luego sustituir en la otra.

Question 5

La ecuación de la onda describe la propagación de ondas. ¿Qué método se utiliza comúnmente para resolverla?

Accepted Answer

Método de D'Alembert

Answer

Método de características

Answer

Método de Frobenius

Answer

Método de separación de variables

Question 6

Un problema de contorno para una ecuación diferencial parcial de primer orden requiere especificar las condiciones de contorno. ¿Qué información nos brindan?

Accepted Answer

El valor de la solución en los límites del dominio.

Answer

La derivada de la solución en los límites del dominio.

Answer

El valor de la solución en un punto específico del dominio.

Question 7

La ecuación de Laplace describe el equilibrio de un potencial. ¿Qué característica especial tienen sus soluciones?

Accepted Answer

Son armónicas.

Answer

Son lineales.

Answer

Son periódicas.

Question 8

Para resolver una ecuación diferencial parcial de primer orden mediante el método de características, ¿qué se necesita encontrar primero?

Accepted Answer

Las características.

Answer

Las condiciones de contorno.

Answer

La solución general.

Answer

Las condiciones iniciales.

Question 9

Una ecuación diferencial parcial de primer orden es lineal si:

Accepted Answer

La ecuación es lineal en la función desconocida y sus derivadas.

Answer

La ecuación se puede resolver mediante el método de separación de variables.

Answer

La ecuación tiene una solución única.

Question 10

¿Cuál de las siguientes aplicaciones NO es un ejemplo de un problema que se puede modelar con una ecuación diferencial parcial de primer orden?

Accepted Answer

El movimiento de un péndulo simple.

Answer

La propagación de una onda en una cuerda.

Answer

El flujo de un fluido incompresible.

Answer

El flujo de calor en un cuerpo.

Question 11

Identifica la ecuación diferencial parcial de primer orden que describe la difusión del calor en una barra unidimensional:

Accepted Answer

∂u/∂t = k * ∂²u/∂x²

Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Answer

∂²u/∂t² = c² * ∂²u/∂x²

Answer

∂u/∂t + c * ∂u/∂x = 0

Question 12

La ecuación de la onda describe la propagación de ondas en un medio. ¿Cuál es la forma general de esta ecuación en una dimensión?

Accepted Answer

∂²u/∂t² = c² * ∂²u/∂x²

Answer

∂u/∂t = k * ∂²u/∂x²

Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Answer

∂u/∂t + c * ∂u/∂x = 0

Question 13

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial parcial de primer orden se caracteriza por:

Accepted Answer

Conocer la solución en un instante inicial y su derivada en ese instante.

Answer

Conocer la solución en todos los puntos del dominio espacial.

Answer

Conocer la solución en los límites del dominio espacial.

Question 14

Un problema de contorno para una ecuación diferencial parcial de primer orden se caracteriza por:

Accepted Answer

Conocer la solución en los límites del dominio espacial.

Answer

Conocer la solución en todos los puntos del dominio espacial.

Answer

Conocer la solución en un instante inicial y su derivada en ese instante.

Question 15

El método de separación de variables es una técnica útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales. ¿En qué consiste este método?

Accepted Answer

Buscar soluciones que sean producto de funciones que dependen solo de una variable.

Answer

Transformar la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria.

Answer

Utilizar una solución fundamental para construir la solución general.

Question 16

La ecuación de Laplace se utiliza para describir:

Accepted Answer

El potencial electrostático en una región sin cargas.

Answer

La difusión del calor en una barra unidimensional.

Answer

La propagación de ondas en un medio.

Question 17

La solución general de la ecuación de transporte ∂u/∂t + c * ∂u/∂x = 0 es:

Accepted Answer

u(x,t) = f(x - ct)

Answer

u(x,t) = f(x) + g(t)

Answer

u(x,t) = f(x + ct)

Answer

u(x,t) = f(x) * g(t)

Question 18

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales parciales de primer orden NO es lineal?

Accepted Answer

∂u/∂t + u * ∂u/∂x = 0

Answer

∂u/∂t = k * ∂²u/∂x²

Answer

∂u/∂t + c * ∂u/∂x = 0

Answer

∂²u/∂t² = c² * ∂²u/∂x²

Question 19

Un problema de valor inicial para la ecuación del calor en una barra unidimensional se define por:

Accepted Answer

La temperatura inicial de la barra y la temperatura en los extremos de la barra.

Answer

La temperatura en un punto específico de la barra.

Answer

La velocidad de cambio de la temperatura en un punto específico de la barra.