Aplicaciones de las Matemáticas Discretas: Criptografía, Teoría de Códigos y Álgebra Lineal

Question 1

¿En qué aplicación se emplea la descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Análisis estructural

Answer

Ingeniería de software

Answer

Optimización

Answer

Procesamiento de imágenes

Question 2

¿Qué método se utiliza para codificar un mensaje con un código de Huffman?

Accepted Answer

Codificación por longitud variable

Answer

Codificación por longitud fija

Answer

Codificación por bloque

Answer

Codificación por convolución

Question 3

¿Qué tipo de criptografía utiliza claves públicas y privadas para encriptar y desencriptar mensajes?

Accepted Answer

Criptografía asimétrica

Answer

Criptografía simétrica

Answer

Criptografía de clave secreta

Answer

Criptografía cuántica

Question 4

¿Qué estructura algebraica representa el conjunto de matrices cuadradas invertibles?

Accepted Answer

Grupo lineal general

Answer

Grupo simétrico

Answer

Anillo de polinomios

Answer

Álgebra de Lie

Question 5

¿Qué algoritmo emplea la división de polinomios para hallar el resto de una división?

Accepted Answer

Algoritmo de Euclides

Answer

Algoritmo de Gauss-Jordan

Answer

Algoritmo de Cramer

Answer

Algoritmo de LU

Question 6

¿Cuál es el objetivo de la teoría de códigos?

Accepted Answer

Detectar y corregir errores en la transmisión de datos

Answer

Encriptar y desencriptar mensajes de forma segura

Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales

Answer

Modelar fenómenos físicos

Question 7

En teoría de códigos, el peso de Hamming de un código se define como:

Accepted Answer

El número de bits invertidos en el código.

Answer

El número de bits correctos en el código.

Answer

El número de bits añadidos al código.

Answer

El número de bits eliminados del código.

Question 8

¿Cuál de las siguientes transformaciones lineales se utiliza en álgebra lineal para representar rotaciones?

Accepted Answer

Matriz de rotación

Answer

Matriz de traslación

Answer

Matriz de proyección

Answer

Matriz de escala

Question 9

¿Cuál de las siguientes estructuras algebraicas es un grupo?

Accepted Answer

Los números enteros con la operación de suma.

Answer

Los números racionales con la operación de multiplicación.

Answer

Los números complejos con la operación de suma.

Answer

Los números reales positivos con la operación de multiplicación.

Question 10

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los campos es correcta?

Accepted Answer

Un campo es un anillo conmutativo con identidad multiplicativa.

Answer

Un campo es un anillo no conmutativo con identidad multiplicativa.

Answer

Un campo es un anillo conmutativo sin identidad multiplicativa.

Answer

Un campo es un anillo no conmutativo sin identidad multiplicativa.

Question 11

En teoría de códigos, ¿qué representa la distancia de Hamming?

Accepted Answer

El número de posiciones donde dos palabras código difieren.

Answer

La longitud de una palabra código.

Answer

El número de errores que un código puede corregir.

Question 12

En álgebra lineal, ¿qué define el rango de una matriz?

Accepted Answer

El número de columnas o filas linealmente independientes.

Answer

El determinante de la matriz.

Answer

La traza de la matriz.

Question 13

En el contexto de la criptografía, ¿cuál es el propósito principal de una función hash?

Accepted Answer

Crear una representación única de un mensaje.

Answer

Descifrar mensajes cifrados.

Answer

Transmitir datos de forma segura.

Answer

Generar claves criptográficas.

Question 14

En álgebra lineal, ¿qué propiedad caracteriza a una transformación lineal?

Accepted Answer

Preserva combinaciones lineales.

Answer

Preserva el producto escalar.

Answer

Preserva el determinante.

Answer

Preserva el rango.

Question 15

En criptografía, ¿qué algoritmo de cifrado por bloques es reconocido por su alta seguridad y se utiliza ampliamente en aplicaciones como HTTPS?

Accepted Answer

AES.

Answer

RC4.

Answer

RSA.

Answer

DES.

Question 16

En criptografía, ¿qué tipo de algoritmo asimétrico permite a un usuario firmar digitalmente un documento y a otro usuario verificar la firma utilizando una clave pública?

Accepted Answer

RSA.

Answer

DES.

Answer

SHA-256.

Answer

AES.

Question 17

En teoría de códigos, ¿cuál es la función principal de un código corrector de errores?

Accepted Answer

Detectar y corregir errores en los datos transmitidos, mejorando su integridad

Answer

Mejorar únicamente la velocidad de transmisión de datos

Answer

Comprimir datos para optimizar su almacenamiento

Question 18

En álgebra lineal, ¿cómo se define un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores que cumplen con operaciones algebraicas específicas, formando una estructura matemática

Answer

Una ecuación que representa una línea o un plano en un sistema de coordenadas

Answer

Un conjunto de puntos que forman una figura geométrica en un plano o espacio

Question 19

En criptografía, ¿cuál es el algoritmo de cifrado simétrico más ampliamente utilizado?

Accepted Answer

AES (Estándar de Cifrado Avanzado)

Answer

RSA (Rivest-Shamir-Adleman)

Answer

ECC (Criptografía de Curva Elíptica)

Answer

DES (Estándar de Cifrado de Datos)

Question 20

En teoría de códigos, ¿cuál es la distinción clave entre un código lineal y un código no lineal?

Accepted Answer

Los códigos lineales utilizan operaciones algebraicas lineales, mientras que los códigos no lineales no

Answer

Los códigos lineales solo pueden corregir errores aleatorios, mientras que los códigos no lineales pueden corregir errores de ráfaga

Question 21

En criptografía, ¿cuál es el propósito principal de un hash?

Accepted Answer

Generar una huella digital única e irreversible para datos digitales

Answer

Cifrar datos para almacenamiento seguro

Answer

Verificar la autenticidad de las firmas digitales

Answer

Detectar y corregir errores en datos transmitidos

Question 22

En teoría de códigos, ¿qué mide la distancia de Hamming?

Accepted Answer

El número de posiciones de bits diferentes entre dos palabras de código

Answer

La cantidad de información transmitida por un código

Answer

La capacidad de un código para corregir errores

Question 23

En álgebra lineal, ¿qué representa el rango de una matriz?

Accepted Answer

El número de filas o columnas linealmente independientes

Answer

El número de filas de la matriz

Answer

El número de columnas de la matriz

Question 24

En criptografía, ¿cuál es la diferencia fundamental entre un cifrado en bloque y un cifrado de flujo?

Accepted Answer

Los cifrados en bloque operan en bloques de datos de tamaño fijo, mientras que los cifrados de flujo operan en un flujo continuo de bits

Answer

Los cifrados en bloque son inherentemente más seguros que los cifrados de flujo

Question 25

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las estructuras algebraicas en criptografía?

Accepted Answer

Cifrado de datos asegurando su confidencialidad

Answer

Análisis estadístico de grandes conjuntos de datos

Answer

Optimización de algoritmos mejorando su eficiencia

Answer

Modelado de sistemas físicos utilizando ecuaciones diferenciales

Question 26

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las estructuras algebraicas es FALSA?

Accepted Answer

Son siempre estructuras concretas y específicas, aplicables a un solo dominio.

Answer

Son independientes de cualquier contexto específico y se aplican en distintos dominios.

Answer

Son esenciales para diversas aplicaciones prácticas en varios campos.

Answer

Se utilizan para modelar sistemas o fenómenos del mundo real.

Question 27

¿Qué propiedad de las estructuras algebraicas las hace idóneas para aplicaciones en criptografía?

Accepted Answer

Operaciones cerradas y elementos inversos, lo que permite crear sistemas seguros.

Answer

Distributividad y modularidad, propiedades útiles en el álgebra abstracta pero no esenciales en criptografía.

Answer

Conmutatividad y asociatividad, propiedades que facilitan la manipulación de expresiones algebraicas.

Question 28

¿Qué método de álgebra lineal se emplea para hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Eliminación gaussiana, un algoritmo sistemático para reducir una matriz a su forma escalonada.

Answer

Regla de Cramer, un método para resolver sistemas con un número limitado de variables.

Answer

Factorización QR, un método para descomponer una matriz en una matriz ortogonal y una matriz triangular.

Answer

Descomposición LU, un método para factorizar una matriz en matrices triangulares.

Question 29

¿Cuál de las siguientes es una ventaja de utilizar estructuras algebraicas en las aplicaciones?

Accepted Answer

Proporcionan un marco abstracto y unificado, simplificando el modelado y la resolución de problemas.

Answer

Simplifican los cálculos numéricos, lo cual es solo una de las posibles ventajas.

Answer

Aumentan la velocidad de ejecución de los algoritmos, lo cual depende de la aplicación específica.

Answer

Eliminan la necesidad de pruebas matemáticas, lo cual no es cierto.

Question 30

¿Qué concepto del álgebra lineal resulta crucial en la compresión de imágenes?

Accepted Answer

Transformada de Fourier, una herramienta matemática para analizar y procesar señales e imágenes.

Answer

Regresión lineal, una técnica estadística para modelar relaciones entre variables.

Answer

Análisis de componentes principales, un método para reducir la dimensionalidad de los datos.

Answer

Programación lineal, una técnica de optimización para resolver problemas con restricciones lineales.

Question 31

Una aplicación clave de la teoría de códigos es:

Accepted Answer

Transmitir datos de manera eficiente y confiable

Answer

Almacenar grandes cantidades de datos en discos

Answer

Optimizar la búsqueda en bases de datos

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales parciales

Question 32

En matemáticas, ¿en qué área se utilizan los espacios vectoriales para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Álgebra lineal

Answer

Análisis matemático

Answer

Topología

Answer

Estadística

Question 33

Un algoritmo común utilizado en álgebra lineal para encontrar los autovalores y autovectores de una matriz se llama:

Accepted Answer

Algoritmo de QR

Answer

Algoritmo de Newton

Answer

Algoritmo de Jacobi

Answer

Algoritmo de Gauss-Jordan

Question 34

En criptografía, un sistema de cifrado que utiliza una clave única para cifrar y descifrar mensajes se conoce como:

Accepted Answer

Cifrado simétrico

Answer

Cifrado asimétrico

Answer

Cifrado por transposición

Answer

Cifrado por sustitución

Question 35

Un grupo cíclico de orden 'n' está generado por:

Accepted Answer

Un elemento de orden 'n'

Answer

Un conjunto de 'n' elementos

Answer

Cualquier subgrupo de orden 'n'

Answer

Un elemento de orden 'n/2'

Question 36

En álgebra lineal, una matriz ortogonal es una matriz que:

Accepted Answer

Es su propia inversa

Answer

Tiene autovalores iguales a 1

Answer

Es simétrica y definida positiva

Answer

Es triangular superior

Question 37

¿Cuál de las siguientes estructuras algebraicas se utiliza en criptografía asimétrica?

Accepted Answer

Grupos cíclicos

Answer

Semigrupos

Answer

Cuerpos

Answer

Anillos

Question 38

En la teoría de códigos, ¿cuál es el propósito de un código corrector de errores?

Accepted Answer

Detectar y corregir errores en los datos transmitidos.

Answer

Comprimir datos

Answer

Cifrar datos

Question 39

En álgebra lineal, ¿cuál es el espacio vectorial de todas las matrices 3x3 con entradas reales?

Accepted Answer

R^(3x3)

Answer

R^18

Answer

R^3

Answer

R^(9)

Question 40

En criptografía, ¿qué técnica utiliza la descomposición en números primos para descifrar mensajes?

Accepted Answer

Algoritmo RSA

Answer

DES

Answer

AES

Answer

SHA-256

Question 41

¿Cuál de los siguientes códigos es un código Hamming?

Accepted Answer

(7,4)

Answer

(8,4)

Answer

(5,2)

Question 42

En álgebra lineal, ¿cuál es el rango de la matriz?

Accepted Answer

El número de filas o columnas linealmente independientes.

Answer

El número de ceros en la matriz.

Answer

La suma de los elementos de la diagonal principal.

Question 43

¿Cuál de las siguientes estructuras algebraicas es un subgrupo de un grupo?

Accepted Answer

Subgrupo generado por un conjunto de elementos.

Answer

Producto de subgrupos

Answer

Clase lateral de un elemento

Question 44

En la teoría de códigos, ¿qué es la distancia de Hamming?

Accepted Answer

El número de bits diferentes entre dos palabras de código.

Answer

El peso de una palabra de código.

Answer

El número de bits cero en una palabra de código.

Question 45

En álgebra lineal, ¿cuál es el núcleo de una transformación lineal?

Accepted Answer

El conjunto de vectores que se mapean al vector cero.

Answer

El conjunto de vectores que se mapean al vector unitario.

Answer

El conjunto de vectores que se mapean a sí mismos.

Question 46

¿Cuál de las siguientes aplicaciones utiliza álgebra lineal para resolver ecuaciones diferenciales parciales?

Accepted Answer

Análisis de elementos finitos

Answer

Aprendizaje automático

Answer

Procesamiento de imágenes

Answer

Criptografía