Cálculo de Áreas, Volúmenes y Momentos: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

¿Qué representa el momento de inercia de una región con respecto al eje y?

Accepted Answer

La suma de los momentos de las áreas de las secciones perpendiculares al eje y

Answer

La suma de las áreas de las secciones perpendiculares al eje y

Answer

El área total de la región

Answer

El centroide de la región

Question 2

¿En qué unidades se expresa el momento de inercia?

Accepted Answer

Metros a la cuarta potencia

Answer

Metros

Answer

Metros cuadrados

Answer

Metros cúbicos

Question 3

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las integrales impropias es verdadera?

Accepted Answer

Pueden converger o divergir

Answer

Siempre convergen

Answer

Siempre divergen

Answer

Son siempre positivas

Question 4

Calcular el área de la región limitada por la curva y = x^2 - 4 y las rectas verticales x = -2 y x = 2. Utiliza el método de integrales para resolverlo.

Accepted Answer

16 unidades cuadradas

Answer

24 unidades cuadradas

Answer

32 unidades cuadradas

Answer

8 unidades cuadradas

Question 5

Calcula el momento de inercia del disco circular de radio R alrededor de un eje que pasa por su centro y es paralelo al plano del disco.

Accepted Answer

(1/2)πR^4 unidades masa longitud al cuadrado

Answer

(3/4)πR^4 unidades masa longitud al cuadrado

Answer

πR^4 unidades masa longitud al cuadrado

Answer

(1/4)πR^4 unidades masa longitud al cuadrado

Question 6

Evalúa la integral impropia ∫[0,∞) e^(-x^2) dx.

Accepted Answer

√(π/2)

Answer

e^(-π/2)

Answer

π/2

Answer

La integral no converge

Question 7

Calcular el área bajo la curva de la función f(x) = 1/x desde x = 1 hasta x = ∞. ¿Qué tipo de integral se utiliza en este caso?

Accepted Answer

Integral impropia de primera especie

Answer

Integral impropia de segunda especie

Answer

Integral definida

Answer

Integral indefinida

Question 8

Una placa rectangular con densidad uniforme tiene un agujero circular en el centro. Para calcular el momento de inercia de la placa respecto a un eje que pasa por el centro del agujero, ¿qué tipo de integral se necesita?

Accepted Answer

Integral doble

Answer

Integral de línea

Answer

Integral de superficie

Answer

Integral simple

Question 9

El volumen de un sólido de revolución generado al rotar la región limitada por la curva y = x² y el eje x en el intervalo [0, 1] alrededor del eje x se puede calcular mediante:

Accepted Answer

∫[0,1] π(x²)² dx

Answer

∫[0,1] π(x²) dx

Answer

∫[0,1] 2πx² dx

Answer

∫[0,1] πx² dx

Question 10

Si la función f(x) es discontinua en un punto dentro del intervalo de integración, ¿qué tipo de integral se utiliza para calcular el área bajo la curva?

Accepted Answer

Integral impropia de segunda especie

Answer

Integral definida

Answer

Integral indefinida

Answer

Integral impropia de primera especie

Question 11

¿Cuál de los siguientes métodos numéricos se puede utilizar para aproximar el valor de una integral impropia?

Accepted Answer

Regla del trapecio

Answer

Método de Runge-Kutta

Answer

Método de Euler

Answer

Método de Newton-Raphson

Question 12

Para calcular el volumen de un sólido con forma irregular, se utiliza la siguiente fórmula:

Accepted Answer

V = ∫[a,b] A(x) dx

Answer

V = ∫[a,b] f(x) dx

Answer

V = ∫[a,b] π(f(x))² dx

Answer

V = ∫[a,b] 2πf(x)√(1 + (f'(x))²) dx

Question 13

Calcular el momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable respecto a un eje perpendicular a la varilla. ¿Qué tipo de integral se utiliza para este cálculo?

Accepted Answer

Integral simple

Answer

Integral de línea

Answer

Integral doble

Question 14

Si una integral impropia converge, significa que:

Accepted Answer

El área bajo la curva es finita

Answer

La integral tiene un valor definido

Answer

La función es continua en el intervalo de integración

Answer

El límite de la función en el punto singular existe

Question 15

¿Cuál de las siguientes expresiones representa el volumen de un sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = f(x) y el eje x en el intervalo [a, b] alrededor del eje y?

Accepted Answer

∫[a,b] 2πx f(x) dx

Answer

∫[a,b] π(f(x))² dx

Answer

∫[a,b] 2πf(x)√(1 + (f'(x))²) dx

Answer

∫[a,b] πx² f(x) dx

Question 16

La integral impropia ∫[0,1] 1/√x dx, ¿converge o diverge?

Accepted Answer

Converge

Answer

Diverge

Answer

Depende del valor de x

Answer

No se puede determinar