Aplicaciones de las Integrales: Cálculo de Áreas, Volúmenes y Longitudes de Arco

Question 1

Calcula el trabajo realizado por una fuerza (F(x) = x^2) a lo largo de la trayectoria (y = x^3) desde el punto (x = 0) hasta el punto (x = 1), utilizando una integral.

Accepted Answer

1/4

Answer

1

Answer

1/2

Answer

1/8

Question 2

Determinar el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x y g(x) = 2x - x^2 alrededor del eje x en el intervalo [0; 1].

Accepted Answer

∫[0,1] π(2x - x^2 - x)^2 dx

Answer

∫[0,2] π(x - 2x + x^2)^2 dx

Answer

∫[0,1] 2π(2x - x^2 - x)^2 dx

Answer

∫[1,2] π(x - 2x + x^2)^2 dx

Question 3

Determinar el área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = sen(x) entre los puntos (0; 0) y (π; 0) alrededor del eje y.

Accepted Answer

∫[0,π] 2π(sen(x)) √(1 + (cos(x))^2) dx

Answer

∫[0,π] 2π(sen(x)) √(1 + (sen(x))^2) dx

Answer

∫[0,π/2] 2π(sen(x)) √(1 + (cos(x))^2) dx

Answer

∫[0,π] 2π(cos(x)) √(1 + (sen(x))^2) dx

Question 4

Determinar el momento de inercia de una región plana limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x^2 y g(x) = 2x + 1 alrededor del eje x en el intervalo [-1; 2].

Accepted Answer

∫[-1,2] (x^4 + 2x^3 + x^2 + 1) dx

Answer

∫[-2,1] (x^4 + 2x^3 + x^2 + 1) dx

Answer

∫[0,1] (x^4 + 2x^3 + x^2 + 1) dx

Answer

∫[1,2] (x^4 + 2x^3 + x^2 + 1) dx

Question 5

Calcular el trabajo realizado por una fuerza F(x) = x^3 - 2x + 1 sobre un objeto que se desplaza desde x = 0 hasta x = 2.

Accepted Answer

∫[0,2] (x^3 - 2x + 1) dx

Answer

∫[1,2] (x^3 - 2x + 1) dx

Answer

∫[0,2] (x^2 - 2x + 1) dx

Question 6

Calcular el caudal de un líquido que fluye a través de un conducto circular con radio r y velocidad del fluido v(r) = k(r^2 - r^4), donde k es una constante.

Accepted Answer

2πk∫[0,r] (r^2 - r^4) r dr

Answer

2πk∫[0,r] (r^2 + r^4) r dr

Answer

2πk∫[r,0] (r^2 - r^4) r dr

Answer

πk∫[0,r] (r^2 - r^4) r dr

Question 7

Calcula la circulación de un campo vectorial **F(x, y) = (x, y)** alrededor de la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.

Accepted Answer

2π

Answer

4π

Answer

π

Answer

0

Question 8

¿Cuál de las siguientes integrales define el área bajo la curva y=x^2 entre x=0 y x=2?

Accepted Answer

∫[0, 2] x^2 dx

Answer

∫[2, 0] x dx

Answer

∫[0, 2] x dx

Answer

∫[2, 0] x^2 dx

Question 9

Se tiene un tanque cilíndrico con un radio de 5 metros y una altura de 10 metros. ¿Cuál es el volumen del tanque?

Accepted Answer

π(5^2)(10)

Answer

π(5^2)(5)

Answer

2π(5)(10)

Answer

2π(5^2)(10)

Question 10

Un motor bombea agua a un depósito a una velocidad de 50 litros por segundo. Si el depósito tiene una capacidad de 10000 litros, ¿en cuánto tiempo se llenará?

Accepted Answer

∫[0, t] 50 dt = 10000

Answer

∫[0, t] 50 dt = 5000

Answer

∫[0, t] 10000 dt = 50

Answer

∫[0, t] 25 dt = 10000

Question 11

¿Cuál de las siguientes integrales representa el trabajo realizado por una fuerza constante F sobre un objeto que se mueve a lo largo de una distancia s?

Accepted Answer

∫[0, s] F ds

Answer

∫[0, s] F dF

Answer

∫[0, s] s dF

Answer

∫[0, s] dF ds

Question 12

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva f(x) = x² + 2 entre los puntos x = 1 y x = 3?

Accepted Answer

∫[1, 3] (x² + 2) dx

Answer

∫[1, 3] (2x) dx

Answer

(x³ / 3) + 2x + C

Answer

∫[0, 3] (x² + 2) dx

Question 13

Un tanque de agua tiene la forma de un cono invertido con un radio de base de 2 metros y una altura de 4 metros. ¿Qué integral representa el volumen del tanque?

Accepted Answer

∫[0, 4] π(x/2)² dx

Answer

∫[0, 4] (x/2)² dx

Answer

∫[0, 4] π(2x)² dx

Answer

∫[0, 2] π(x/4)² dx

Question 14

Se quiere determinar el volumen de un sólido generado al rotar la región acotada por las curvas f(x) = x² y g(x) = √x alrededor del eje x. ¿Qué método sería el más adecuado para resolver este problema?

Accepted Answer

Método de los discos

Answer

Método de las arandelas

Answer

Método de las capas cilíndricas

Answer

Integración por partes

Question 15

La presión ejercida por el agua sobre una placa sumergida verticalmente se calcula como el producto de la densidad del agua, la aceleración debida a la gravedad y la profundidad. Si la placa tiene forma de triángulo con base 4 m y altura 3 m y su base está a 2 m bajo la superficie del agua, ¿cuál es la integral que representa la fuerza total sobre la placa?

Accepted Answer

∫[0, 3] (1000)(9,8)(2 + (2/3)x)(4 - (4/3)x)

Answer

∫[0, 3] (1000)(9,8)(2 + x)(4 - x)

Answer

∫[0, 3] (1000)(9,8)(2x) dx

Question 16

Una placa plana está limitada por las curvas f(x) = x², g(x) = 0, y x = 2. ¿Cuál es el área de la placa?

Accepted Answer

8/3 unidades cuadradas

Answer

2 unidades cuadradas

Answer

16/3 unidades cuadradas

Answer

4/3 unidades cuadradas

Question 17

La región limitada por las curvas *y = x²* e *y = 1* se gira alrededor del eje *x*. ¿Cuál es la integral que representa el volumen del sólido generado?

Accepted Answer

π ∫[0,1] (1-x²)² dx

Answer

π ∫[0,1] (1+x²)² dx

Answer

π ∫[0,1] (x²+1)² dx

Answer

π ∫[0,1] (x²-1)² dx

Question 18

Una placa triangular tiene vértices en (0,0), (2,0) y (0,2). La placa tiene densidad constante. ¿Cuál es la coordenada *x* del centro de masa?

Accepted Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

4/3

Answer

1

Question 19

La curva *y = ln(x)* se extiende desde *x = 1* hasta *x = e*. ¿Cuál es la integral que representa la longitud de arco de esta curva?

Accepted Answer

∫[1,e] √(1+(1/x)²) dx

Answer

∫[1,e] √(1+(1/x)) dx

Answer

∫[1,e] √(1-(1/x)) dx

Answer

∫[1,e] √(1-(1/x)²) dx

Question 20

La curva *y = √x* se gira alrededor del eje *x* desde *x = 0* hasta *x = 4*. ¿Cuál es la integral que representa el área de superficie del sólido generado?

Accepted Answer

2π ∫[0,4] √x √(1+(1/4x)) dx

Answer

2π ∫[0,4] √x √(1-(1/4x)) dx

Answer

2π ∫[0,4] √(1-(1/4x)) dx

Answer

2π ∫[0,4] √(1+(1/4x)) dx

Question 21

La curva *y = ln(x)* se gira alrededor del eje *x* desde *x = 1* hasta *x = e*. ¿Cuál es la longitud de arco de la curva?

Accepted Answer

∫₁ᵉ √(1 + (1/x)²) dx

Answer

∫₁ᵉ √(1 + (1/x)) dx

Answer

∫₁ᵉ √(1 + (ln(x))²) dx

Answer

∫₁ᵉ √(1 - (1/x)²) dx

Question 22

Un tanque de agua tiene forma de cono invertido. El radio de la base es de 4 metros y la altura es de 8 metros. El tanque está lleno de agua hasta una altura de 6 metros. ¿Cuál es el trabajo realizado para bombear toda el agua fuera del tanque?

Accepted Answer

∫₀⁶ 9800π(6 - y)(1/2)y² dy

Answer

∫₀⁶ 9800π(8 - y)y² dy

Answer

∫₀⁶ 9800π(8 - y)(1/2)y² dy

Answer

∫₀⁶ 9800π(6 - y)y² dy

Question 23

Un resorte tiene una constante de resorte de 10 N/m. ¿Cuánto trabajo se realiza para estirar el resorte desde su posición de equilibrio hasta 0.5 metros?

Accepted Answer

∫₀⁰.⁵ 10x dx

Answer

∫₀⁰.⁵ 10x² dx

Answer

∫₀⁰.⁵ 5x² dx

Answer

∫₀⁰.⁵ 5x dx

Question 24

Un cuerpo se mueve con una velocidad de *v(t) = t² + 1* m/s. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el cuerpo en el intervalo de tiempo de 0 a 2 segundos?

Accepted Answer

∫₀² (t² + 1) dt

Answer

∫₀² (t² + 1)² dt

Answer

∫₀² dt

Answer

∫₀² t² dt

Question 25

Se quiere calcular el área de la región limitada por las curvas *y = x³*, *y = x* y el eje *x*. ¿Cuál es el intervalo de integración?

Accepted Answer

[0, 1]

Answer

[-1, 1]

Answer

[-2, 2]

Answer

[0, 2]

Question 26

Un tanque cilíndrico tiene 10 metros de altura y 5 metros de radio. Está completamente lleno de agua. ¿Cuál es el trabajo realizado para bombear toda el agua fuera del tanque?

Accepted Answer

∫₀¹⁰ 9800π(10 - y)25 dy

Answer

∫₀¹⁰ 9800πy25 dy

Answer

∫₀¹⁰ 9800πy5 dy

Answer

∫₀¹⁰ 9800π(10 - y)5 dy

Question 27

Un cuerpo se mueve con una aceleración de a(t) = 2t m/s². Si la velocidad inicial es v(0) = 1 m/s, ¿cuál es la velocidad del cuerpo después de 3 segundos?

Accepted Answer

v(3) = 10 m/s

Answer

v(3) = 7 m/s

Answer

v(3) = 13 m/s

Answer

v(3) = 4 m/s