Series de potencias: definición, radio de convergencia y aplicaciones

Question 1

Determina el término general de la serie de potencias que representa a e^x

Accepted Answer

x^n/n!

Answer

n^x

Answer

x^n

Answer

1/n^x

Question 2

Halla la suma de la serie ∑(n=1 a ∞) x^n/(n+1)

Accepted Answer

x/(1-x)^2

Answer

x/(1+x)^2

Answer

(x-1)/(1-x)^2

Question 3

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa a la función 1/(1-x)?

Accepted Answer

∑(n=0 a ∞) x^n

Answer

∑(n=0 a ∞) n x^n

Answer

∑(n=1 a ∞) x^n

Answer

∑(n=1 a ∞) n x^n

Question 4

Determina el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑(n=0)^∞ (x^n)/n!:

Accepted Answer

(-∞, ∞)

Answer

No converge

Answer

[0, 1]

Answer

(-1, 1]

Question 5

Identifica la serie de potencias que representa a e^x:

Accepted Answer

∑(n=0)^∞ (x^n)/n!

Answer

∑(n=1)^∞ x^n

Answer

∑(n=1)^∞ (1/n)x^n

Answer

∑(n=0)^∞ (-1)^n x^n

Question 6

Integra la serie de potencias ∑(n=0)^∞ x^n:

Accepted Answer

C + ∑(n=1)^∞ (x^(n+1))/(n+1)

Answer

C - ∑(n=1)^∞ (x^(n+1))/(n+1)

Answer

No se puede integrar

Answer

∑(n=0)^∞ x^(n-1)

Question 7

¿Cuál de las siguientes series de potencias es una aproximación de la función sen(x) para pequeños valores de x?

Accepted Answer

∑(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑(n=0)^∞ x^n/(n+1)

Answer

∑(n=1)^∞ x^n/n

Answer

∑(n=1)^∞ (-1)^n x^(n+1)/(n+1)

Question 8

Dada la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre su radio de convergencia $R$?

Accepted Answer

R está limitado por la distancia hasta la singularidad más cercana de la función analítica representada por la serie.

Answer

R es siempre igual a la suma de los coeficientes de la serie.

Answer

R es siempre igual al valor absoluto del primer coeficiente no nulo de la serie.

Question 9

Sea $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ una serie de potencias con radio de convergencia $R$. ¿Cuál es el valor de $a_n$ en función de $f^{(n)}(0)$?

Accepted Answer

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

Answer

$a_n = R^n f^{(n)}(0)$

Answer

$a_n = \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}$

Answer

$a_n = nf^{(n)}(0)$

Question 10

¿Cuál de las siguientes series es una serie de potencias centrada en x = 0?

Accepted Answer

Σ(n=0 hasta infinito) (x^n)

Answer

Σ(n=0 hasta infinito) (n^2)

Answer

Σ(n=1 hasta infinito) (2^n)

Answer

Σ(n=1 hasta infinito) (1/n)

Question 11

¿Cuál es la suma de la serie de potencias centrada en x = 0, Σ(n=0 hasta infinito) (x^n / (n+1)) para -1 < x < 1?

Accepted Answer

ln(1+x)

Answer

No converge

Answer

(1-x)/(1+x)

Answer

e^x

Question 12

¿Cuál es la integral de la serie de potencias centrada en x = 0, Σ(n=0 hasta infinito) (x^n / n!)?

Accepted Answer

e^x

Answer

No tiene integral

Answer

x

Answer

sen(x)

Question 13

¿En qué campo de las matemáticas se utilizan principalmente las series de potencias?

Accepted Answer

Cálculo

Answer

Estadística

Answer

Álgebra

Answer

Geometría

Question 14

Hallar la derivada de la serie de potencias (sum rac{x^n}{n!})

Accepted Answer

(sum rac{x^(n-1)}{(n-1)!})

Answer

(sum rac{x^(n+1)}{(n+1)!})

Answer

(sum rac{x^n}{n})

Answer

0

Question 15

Encontrar la expansión en serie de potencias de la función (f(x) = e^x) alrededor de (x = 0)

Accepted Answer

(sum rac{x^n}{n!})

Answer

(sum rac{x^n}{(n+1)!})

Answer

(sum rac{x^(n+1)}{n!})

Answer

(sum rac{x^(n-1)}{(n-1)!})

Question 16

Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (x-2)^n / 3^n.

Accepted Answer

x ∈ (-1, 5)

Answer

x ∈ (-∞, -1] ∪ [5, ∞)

Answer

x ∈ [ -1, 5 ]

Answer

x ∈ (-∞, ∞)

Question 17

La serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (x^n) / (n!) converge a:

Accepted Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

ln(x)

Answer

cos(x)

Question 18

Calcule el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (-1)^n (x/2)^n.

Accepted Answer

(-2, 2)

Answer

(-∞, -2] ∪ [2, ∞)

Answer

[-2, 2]

Answer

(-∞, ∞)

Question 19

Si la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ a_n(x-c)^n converge para x = 5 y diverge para x = 7, determine el radio de convergencia.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

∞

Question 20

Halle la derivada de la serie de potencias ∑_(n=1)^∞ (n+1)x^n.

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (n+1)^2 x^(n-1)

Answer

∑_(n=1)^∞ nx^(n-1)

Answer

∑_(n=1)^∞ (n+1)^2 x^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (n+1)x^n

Question 21

¿A qué función representa la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (x^n) / (n+1)?

Accepted Answer

-ln(1-x)

Answer

ln(1+x)

Answer

1/(1+x)

Answer

1/(1-x)

Question 22

La serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n) / (2n)! converge a:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

e^x

Answer

ln(x)

Answer

sin(x)

Question 23

Si la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ a_n(x-c)^n tiene radio de convergencia R, determine el radio de convergencia de la serie ∑_(n=0)^∞ a_n(x-c)^(2n).

Accepted Answer

√R

Answer

R^2

Answer

2R

Answer

R

Question 24

Obtenga la integral de la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ x^(2n).

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n+1)

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n)

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n+1)

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n)

Question 25

Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (x^n) / (n+1)^2.

Accepted Answer

x ∈ [-1, 1]

Answer

x ∈ (-∞, ∞)

Answer

x ∈ (-1, 1)

Answer

x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)