Aplicaciones de las Integrales: Cálculo de Áreas, Volúmenes, Trabajo y Energía

Question 1

Calcula el trabajo realizado por una fuerza constante F = 5 N aplicada sobre un objeto a lo largo de una distancia de 10 m.

Accepted Answer

50 J

Answer

10 J

Answer

5 J

Answer

100 J

Question 2

Calcula la presión hidrostática ejercida sobre un dique de altura h sumergido en un fluido de densidad ρ.

Accepted Answer

ρgh

Answer

ρg/h

Answer

h/ρg

Answer

ρgh/2

Question 3

Calcula el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva y = x² + 1 alrededor del eje x entre x = 0 y x = 1.

Accepted Answer

2π(√2 + 1)

Answer

π(√2 + 1)

Answer

2π(2 + √2)

Answer

π(2 + √2)

Question 4

Determina el momento de inercia de una placa rectangular de densidad uniforme ρ y dimensiones a x b alrededor del eje x.

Accepted Answer

ρab³/12

Answer

ρab³/48

Answer

ρab³/6

Answer

ρab³/24

Question 5

Para calcular el área bajo la curva y > 0, ¿qué integral definida se utilizaría?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫[b,0] f(x) dx

Answer

∫[0,a] f(x) dx

Answer

∫[a,b] f'(x) dx

Question 6

Una varilla delgada de longitud L tiene una densidad lineal dada por ρ(x). ¿Cuál es la masa de la varilla?

Accepted Answer

∫[0,L] ρ(x) dx

Answer

∫[0,L] ρ'(x) dx

Answer

∫[L,0] ρ(x) dx

Answer

∫[L,0] ρ'(x) dx

Question 7

¿Cuál es la fórmula para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante F que actúa a lo largo de una distancia d?

Accepted Answer

F * d

Answer

F / d

Answer

½ F * d

Answer

½ F / d

Question 8

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad v(t). ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo [a, b]?

Accepted Answer

∫[a,b] v(t) dt

Answer

∫[a,b] v'(t) dt

Answer

∫[b,a] v'(t) dt

Answer

∫[b,a] v(t) dt

Question 9

Una bomba de agua extrae agua de un pozo con un caudal de Q(t) litros por minuto. ¿Cuál es el volumen total de agua extraída en el intervalo de tiempo [0, T]?

Accepted Answer

∫[0,T] Q(t) dt

Answer

∫[T,0] Q'(t) dt

Answer

∫[T,0] Q(t) dt

Answer

∫[0,T] Q'(t) dt

Question 10

La densidad de población de una ciudad en función de la distancia al centro de la ciudad viene dada por ρ(r). ¿Cuál es la población total de la ciudad dentro de un radio R del centro?

Accepted Answer

∫[0,R] 2πr ρ(r) dr

Answer

∫[R,0] 2πr ρ(r) dr

Answer

∫[0,R] πr^2 ρ(r) dr

Answer

∫[R,0] πr^2 ρ(r) dr

Question 11

La tasa de decaimiento radiactivo de un elemento es proporcional a la cantidad del elemento presente en un momento dado. Si la constante de desintegración es λ, ¿qué ecuación diferencial representa este proceso?

Accepted Answer

dy/dt = -λy

Answer

d^2y/dt^2 = -λy

Answer

d^2y/dt^2 = λy

Answer

dy/dt = λy

Question 12

Para calcular el área bajo la curva y entre los puntos (x=a) y (x=b), ¿cuál de las siguientes integrales es la correcta?

Accepted Answer

int_a^b f(x) dx

Answer

int_b^a f(x) dx

Answer

d/dx int_a^b f(x) dx

Question 13

¿Qué integral representa la longitud del arco de la curva y=f(x) entre los puntos x=a y x=b?

Accepted Answer

int_a^b sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

Answer

int_a^b sqrt(x^2 + y^2) dx

Answer

int_a^b dy/dx dx

Question 14

Para calcular el volumen del sólido generado al rotar la región bajo la curva y=f(x) alrededor del eje y, ¿cuál es la integral correcta?

Accepted Answer

int_a^b 2pi x f(x) dx

Answer

int_a^b 2pi x^2 f(x) dx

Answer

int_a^b pi x^2 f(x) dx

Answer

int_a^b pi x f(x) dx

Question 15

¿Qué integral representa la energía potencial de un objeto de masa m sujeto a una fuerza gravitacional g?

Accepted Answer

-mg int_h^0 y dy

Answer

1/2 mg int_h^0 y dy

Answer

mg int_0^h y dy

Answer

-1/2 mg int_0^h y dy

Question 16

Determinar el área de la región limitada por las curvas y = x² y y = 4 e integrada entre 0 y 2.

Accepted Answer

∫[0, 2] (4 - x²) dx

Answer

∫[0, 2] x² dx

Answer

∫[0, 4] (4 - x²) dx

Question 17

Determinar el trabajo realizado por una fuerza constante F = 10 N para desplazar un objeto 5 metros.

Accepted Answer

10 x 5

Answer

5 - 10

Answer

10 + 5

Answer

10 ÷ 5

Question 18

Calcular la energía potencial de un cuerpo de masa m = 2 kg ubicado a una altura h = 10 metros.

Accepted Answer

20 J

Answer

15 J

Answer

5 J

Answer

10 J

Question 19

Calcular el momento de inercia de un cilindro sólido de radio R = 2 m y altura h = 3 m respecto a su eje de simetría.

Accepted Answer

12π/5 kg m²

Answer

π kg m²

Answer

2π kg m²

Answer

π/2 kg m²

Question 20

Determinar la longitud del arco de la curva y = x³/[3(x² + 1)] entre los puntos (0, 0) y (1, 1).

Accepted Answer

∫[0, 1] √(1 + (x²/(x² + 1))²) dx

Answer

∫[0, 1] (x³/(3(x² + 1))) dx

Answer

∫[0, 1] (1 + (x²/x²)) dx

Answer

∫[0, 1] √(x² + (1/x²)²) dx

Question 21

Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable F(x) = x³ N para desplazar un objeto a lo largo de una distancia de 5 metros.

Accepted Answer

∫[0, 5] x³ dx

Answer

∫[5, 0] x³ dx

Answer

x³ ∫[0, 5] dx

Answer

5 ∫[0, 1] x³ dx

Question 22

Se desea calcular el área encerrada entre las curvas y = x² y y = 2x. ¿Cuál es la integral que representa correctamente esta área?

Accepted Answer

∫(2x - x²) dx de 0 a 2

Answer

∫(x² - 2x) dx de -2 a 0

Answer

∫(x² - 2x) dx de 0 a 2

Answer

∫(2x - x²) dx de -2 a 0

Question 23

Una placa delgada tiene la forma de la región delimitada por la curva y = x² y el eje x entre x = 0 y x = 2. Si la densidad de la placa es δ(x) = x, ¿cuál es la masa total de la placa?

Accepted Answer

8/3 unidades de masa

Answer

16/3 unidades de masa

Answer

4/3 unidades de masa

Question 24

Se quiere encontrar la longitud del arco de la curva y = ln(x) desde x = 1 hasta x = e. ¿Cuál es la integral que representa la longitud del arco?

Accepted Answer

∫√(1 + (1/x)²) dx de 1 a e

Answer

∫√(1 - (ln(x))²) dx de 1 a e

Answer

∫√(1 + (ln(x))²) dx de 1 a e

Answer

∫√(1 - (1/x)²) dx de 1 a e

Question 25

Se desea calcular el área de la superficie generada al rotar la curva y = √x, el eje x y la línea x = 4 alrededor del eje x. ¿Cuál es la integral que representa el área de la superficie?

Accepted Answer

2π∫√x √(1 + (1/4x)) dx de 0 a 4

Answer

2π∫√x √(1 + (1/2x)) dx de 0 a 4

Answer

π∫√x √(1 + (1/2x)) dx de 0 a 4

Answer

π∫√x √(1 + (1/4x)) dx de 0 a 4

Question 26

Una empresa tiene un costo marginal de C'(x) = 2x + 10 euros por unidad cuando produce x unidades. Si el costo fijo es de 50 euros, ¿cuál es el costo total de producir 10 unidades?

Accepted Answer

250 euros

Answer

200 euros

Answer

150 euros

Answer

300 euros