Concepto de Integral: Definición, Propiedades y Ejemplos

Question 1

La integral indefinida de ∫(x² + 2x) dx es:

Accepted Answer

(1/3)x³ + x² + C

Answer

(1/3)x³ - x² + C

Answer

x³ + 2x² + C

Answer

x³ - 2x² + C

Question 2

La técnica de integración por partes se utiliza cuando:

Accepted Answer

El integrando es un producto de dos funciones.

Answer

El integrando es un exponencial.

Answer

El integrando es una fracción racional.

Answer

El integrando es una función trigonométrica.

Question 3

La integral de ∫1/(x² + 1) dx es:

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

ln(x² + 1) + C

Answer

x/(x² + 1) + C

Answer

-ln(x² + 1) + C

Question 4

La integral de ∫cos(x) dx es:

Accepted Answer

sen(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sen(x) + C

Question 5

La integral de ∫dx / √(x² + 1) es:

Accepted Answer

ln(|x| + √(x² + 1)) + C

Answer

-ln(|x| + √(x² + 1)) + C

Answer

ln(√(x² + 1)) + C

Answer

-ln(√(x² + 1)) + C

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente una integral indefinida?

Accepted Answer

Es una familia de funciones cuyas derivadas son la función original.

Answer

Es una constante arbitraria.

Answer

Es el área bajo la curva de la función.

Question 7

¿Qué teorema establece la relación entre una integral definida y una integral indefinida?

Accepted Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema de Pitágoras

Answer

Teorema de la media

Question 8

En el método de integración por sustitución, ¿qué se sustituye?

Accepted Answer

Una variable por una expresión

Answer

El intervalo de integración por otro intervalo

Answer

La función original por su derivada

Answer

La constante de integración por un valor específico

Question 9

Para integrar la función 1/(x-1) dx, ¿cuál es el resultado?

Accepted Answer

ln|x-1| + C

Answer

x-1 + C

Answer

1/x-1 + C

Answer

La integral no puede resolverse

Question 10

Define el concepto de integral impropia.

Accepted Answer

Una integral cuyo intervalo de integración es infinito o tiene puntos singulares en él.

Answer

Una integral que representa una función discontinua

Answer

Una integral que no se puede resolver usando métodos estándar

Question 11

Al calcular la integral impropia de 1/x dx entre los límites 1 e infinito, ¿cuál es el resultado?

Accepted Answer

Infinito

Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Question 12

¿Cuál de las siguientes expresiones representa el concepto de integral indefinida de f(x)?

Accepted Answer

∫f(x)dx

Answer

[∫f(x)]²dx

Answer

f'(x)

Answer

lim[f(x)]/x→0

Question 13

Calcula la integral indefinida de x²:

Accepted Answer

x³/3 + C

Answer

2x + C

Answer

x³ + C

Answer

x/3 + C

Question 14

Calcula la integral de la función f(x) = 2/(x² + 1):

Accepted Answer

2arctg(x) + C

Answer

2x + C

Answer

ln(x² + 1) + C

Answer

x/2 + C

Question 15

¿Cuál de las siguientes funciones es la antiderivada de f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

x

Answer

1

Answer

sen(x)

Question 16

Calcula la siguiente integral: ∫e^x * (e^x + 1) dx

Accepted Answer

1/2 * (e^x)² + e^x + C

Answer

e^x + 1 + C

Answer

2 * (e^x)³ + C

Answer

1/2 * (e^x)² + 2e^x + C

Question 17

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b]. ¿Cuál es la expresión general para la integral indefinida de f(x)?

Accepted Answer

F(x) + C, donde F(x) es una antiderivada de f(x) y C es una constante

Answer

x * f(x) + C

Answer

∫f(x) dx + C

Question 18

¿Cuál es el método de integración más adecuado para calcular la integral de la función ∫(x^3 + 2x)/(x^2 + 1) dx?

Accepted Answer

Descomposición en fracciones parciales

Answer

Integración trigonométrica

Answer

Integración por partes

Answer

Sustitución

Question 19

Indica la interpretación geométrica de la integral definida ∫[a, b] f(x) dx, donde f(x) es una función positiva en el intervalo [a, b].

Accepted Answer

El área de la región limitada por la gráfica de f(x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b

Answer

La longitud de la curva y = f(x) entre los puntos a y b

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la gráfica de f(x) alrededor del eje y

Question 20

Evalúa la integral impropia ∫[1, ∞] (1/x^2) dx.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

No existe

Answer

∞

Question 21

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y g(x) = ∫[a, x] f(t) dt. En virtud del teorema del valor extremo para integrales, ¿cuál es el máximo valor posible de g(x) en el intervalo [a, b]?

Accepted Answer

g(b)

Answer

f(a)

Answer

g(a)

Answer

f(b)